【KS5U解析】北京市朝陽區(qū)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、2019-2020學(xué)年北京市朝陽區(qū)高一第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一選擇題（共10小題）.1. （ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式可得的值.詳解】解：.故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值，考查基本的概念與知識，屬于基礎(chǔ)題.2. 已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)等于（ ）a. 0b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】解：由復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)；故選：c.【點(diǎn)睛】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題型.3. 在中，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由余弦定理得推論可得的值.【詳解】在中，由題意知：

2、 ，故選：b【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理得推理，屬于基礎(chǔ)題.4. 下列正確的命題的序號是（ ）平行于同一條直線的兩條直線平行；平行于同一條直線的兩個平面平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行；垂直于同一個平面的兩個平面垂直.a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由公理4即可判斷，平行于同一條直線的兩個平面平行或相交即可判斷，由線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷，垂直于同一個平面的兩個平面可能相交或平行即可判斷【詳解】對于：由公理4可得平行于同一條直線的兩條直線平行，故正確；對于：平行于同一條直線的兩個平面平行或相交，故錯誤；對于：由線面垂直的性質(zhì)定理可得，垂直于同一個平面的兩條直線平行，故正確

3、；對于：垂直于同一個平面的兩個平面可能相交或平行，比如正方體的相對的兩個底面就與側(cè)面垂直，但它們平行，故錯誤.故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面、線線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5. 如圖，在正方形中，是邊的中點(diǎn)，設(shè)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用平面向量的加法法則可得出關(guān)于、的表達(dá)式.【詳解】因?yàn)樵谡叫沃?，是的中點(diǎn)，設(shè)，則.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基底表示，考查了平面向量加法法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6. 如圖記錄了某校高一年級6月第一周星期一至星期五參加乒乓球訓(xùn)練的學(xué)生人數(shù).通過圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算這五天參加乒乓球訓(xùn)練的學(xué)生的平均數(shù)和中位數(shù)后

4、，教練發(fā)現(xiàn)圖中星期五的數(shù)據(jù)有誤，實(shí)際有21人參加訓(xùn)練.則實(shí)際的平均數(shù)和中位數(shù)與由圖中數(shù)據(jù)星期得到的平均數(shù)和中位數(shù)相比，下列描述正確的是（ ）a. 平均數(shù)增加1，中位數(shù)沒有變化b. 平均數(shù)增加1，中位數(shù)有變化c. 平均數(shù)增加5，中位數(shù)沒有變化d. 平均數(shù)增加5，中位數(shù)有變化【答案】b【解析】【分析】先求出平均數(shù)應(yīng)增加，再求出中位數(shù)有變化，即得解.【詳解】實(shí)際星期五的數(shù)據(jù)為21人，比原來星期五的數(shù)據(jù)多了人，平均數(shù)應(yīng)增加.原來從星期一至星期五的數(shù)據(jù)分別為20，26，16，22，16.按從小到大的順序排列后，原來的中位數(shù)是20，實(shí)際從星期一至星期五的數(shù)據(jù)分別為20，26，16，22，21.按從小到大的

5、順序排列后，實(shí)際的中位數(shù)是21.所以中位數(shù)有變化.故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7. 如圖，在邊長為1的菱形中，則（ ）a. b. c. 1d. 【答案】d【解析】【分析】求出，即得解.【詳解】根據(jù)題意，.故選：d.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8. 如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為1的正方形，則側(cè)面與底面所成的二面角的大小是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由題意可推出，可知為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，由可得答案.【詳解】解：底面，平面，又底面是

6、正方形，而，平面，得，可知為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角.在中，由，可得.即側(cè)面與底面所成的二面角的大小是.故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查二面角的概念與求法，考查學(xué)生的直觀想象能力與論證推理的能力，求出為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9. 已知平面向量，滿足，則“與互相垂直”是“”的（ ）a. 充分而不必要條件b. 必要而不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】d【解析】【分析】由與互相垂直可得，進(jìn)而得，即可判斷.【詳解】與互相垂直，故“與互相垂直”是“”的既不充分也不必要條件.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判斷，涉及到向量垂直

7、的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題.10. 連接空間幾何體上的某兩點(diǎn)的直線，如果把該幾何體繞此直線旋轉(zhuǎn)角，使該幾何體與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體的旋轉(zhuǎn)軸.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點(diǎn)，在同一平面內(nèi).則這個八面體的旋轉(zhuǎn)軸共有（ ）a. 7條b. 9條c. 13條d. 14條【答案】c【解析】【分析】根據(jù)該幾何體的結(jié)構(gòu)特征和對稱性即可求出旋轉(zhuǎn)軸的條數(shù).【詳解】由對稱性結(jié)合題意可知，過的直線為旋轉(zhuǎn)軸，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角最小為；過正方形，對邊中點(diǎn)的直線為旋轉(zhuǎn)軸，共6條，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角最小為；過八面體相對面中心的連線為旋轉(zhuǎn)軸，共4條，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角最小為.綜上，這個八面體的旋轉(zhuǎn)軸共有13條.故選：c.【點(diǎn)睛

8、】本題考查幾何體結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.二填空題（共6小題）.11. 復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在第_象限.【答案】二【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)，即可判斷對應(yīng)點(diǎn)所象限.【詳解】，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第二象限.故答案為：二.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的象限，屬于基礎(chǔ)題.12. 如圖，設(shè)是邊長為1的正六邊形的中心，寫出圖中與向量相等的向量_.（寫出兩個即可）【答案】，【解析】【分析】由題意與相等向量的定義可得答案.【詳解】解：由題可得：與相等的向量是：，；故答案為： ，.【點(diǎn)睛】本題主要考查相等向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.13. 已知在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_

9、.【答案】【解析】【分析】設(shè)，求出，即可根據(jù)向量相等求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則，；因?yàn)?，故；?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.14. 某班數(shù)學(xué)興趣小組組織了線上“統(tǒng)計(jì)”全章知識的學(xué)習(xí)心得交流：甲同學(xué)說：“在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和小于1”；乙同學(xué)說：“簡單隨機(jī)抽樣因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，可能會岀現(xiàn)比較極端的樣本，相對而言，分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)波動幅度更均勻”；丙同學(xué)說：“扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例”；丁同學(xué)說：“標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越小”.以上四人中，觀點(diǎn)正確的同學(xué)是_.【答案】乙丙【解析】【分析】利用統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識可逐個判斷各同

10、學(xué)觀點(diǎn)的正誤.【詳解】在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1，故甲的觀點(diǎn)錯誤；“簡單隨機(jī)抽樣因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，可能會岀現(xiàn)比較極端的樣本，相對而言，分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)波動幅度更均勻”，故乙的觀點(diǎn)正確，“扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例”，故丙的觀點(diǎn)正確；“標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大”，故丁的觀點(diǎn)錯誤.故答案為：乙丙.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，終邊分別是射線和射線，且射線和射線關(guān)于軸對稱，射線與單位圓的交點(diǎn)為，則_，的值是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義以及對稱性

11、可得出、的余弦值和正弦值，再利用兩角差的余弦公式可求得的值.【詳解】由題意，射線與單位圓的交點(diǎn)為，射線和射線關(guān)于軸對稱，射線與單位圓的交點(diǎn)為，由三角函數(shù)的定義可知，可得：.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角差的余弦公式求值，同時(shí)也考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16. 某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣大的四面體得到的（如圖）.則該幾何體共有_面；如果被截正方體的棱長是，那么石凳的表面積是_.【答案】 (1). 14 (2). 【解析】【分析】由題意知，截去的八個四面體是全等的正三棱錐，8個底面三角形，再加上6個小正方形，所以該幾何體共有14

12、個面；再根據(jù)面積公式即可求出表面積.【詳解】由題意知，截去的八個四面體是全等的正三棱錐，8個底面三角形，再加上6個小正方形，所以該幾何體共有14個面；如果被截正方體的棱長是，那么石凳的表面積是.故答案為：14，.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體面數(shù)的辨析，考查多面體表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.三解答題：本大題共4小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17. 某單位工會有500位會員，利用“健步行”開展全員參與的“健步走獎勵”活動.假設(shè)通過簡單隨機(jī)抽樣，獲得了50位會員5月10日的走步數(shù)據(jù)如下：（單位：萬步）1.1 1.4 1.3 1.6 0.3 1.6 0.9 1.4 1.4 0.91.

13、4 1.2 1.5 1.6 0.9 1.2 1.2 0.5 0.8 1.01.4 0.6 1.0 1.1 0.6 0.8 0.9 0.8 1.1 0.40.8 1.4 1.6 1.2 1.0 0.6 1.5 1.6 0.90.71.3 1.1 0.8 1.0 1.2 0.6 0.5 0.2 0.8 1.4頻率分布表：分組頻數(shù)頻率20.040.0650.10110.2280.1670.14合計(jì)501.00（1）寫出，的值；（2）繪制頻率分布直方圖；假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)該單位所有會員當(dāng)日步數(shù)的平均值；（3）根據(jù)以上50個樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù).你認(rèn)

14、為如果定1.3萬步為健步走獲獎標(biāo)準(zhǔn)，一定能保證該單位至少的工會會員當(dāng)日走步獲得獎勵嗎?說明理由.【答案】（1），；（2）答案見解析；1.088萬步；（3）能，答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為，由題中條件列出方程求解，即可得出，由樣本容量及對應(yīng)區(qū)間的頻率，即可得出，；（2）由題中數(shù)據(jù)，直接完善頻率分布直方圖；由每組的中間值乘以該組的頻率，再求和，即可得出平均數(shù)；（3）根據(jù)題中條件，可直接得出分位數(shù)；進(jìn)而可得出萬時(shí)，能滿足題意.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)闃颖局泄?0 人，.（2）頻率分布直方圖如下圖所示設(shè)平均值為，則有，則該單位所有會員當(dāng)日步數(shù)的平均值為1.088萬步.（3），分

15、位數(shù)為第35和36個數(shù)的平均數(shù)，共有14人，且1.3有2個， 第35和第36個數(shù)均為1.3，分位數(shù)為1.3，設(shè)為會員步數(shù)，則萬時(shí)，人數(shù)不少于， 能保證的工會會員獲得獎勵.【點(diǎn)睛】本題主要考查完善頻率分布表，考查畫頻率分布直方圖，以及由頻率分布直方圖求平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.18. 在中，分別是角，的對邊，.（1）若，求；（2）若_，求的值及的面積.請從，這兩個條件中任選一個，將問題（2）補(bǔ)充完整，并作答.注意，只需選擇其中的一種情況作答即可，如果選擇兩種情況作答，以第一種情況的解答計(jì)分.【答案】（1）；（2）選：；選：；.【解析】【分析】（1）由正弦定理可直接得值.（2）選：由余弦定理可求得的值

16、，然后利用三角形的面積公式計(jì)算可得結(jié)果.選:由正弦定理可得，然后利用三角形面積公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）由，由正弦定理可得，則.（2） 若選：由余弦定理可得，即，整理可得，解得， （舍去），；選:，可得，.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19. 已知函數(shù).（1）求的值；（2）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有且僅有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）2；（2）；，；（3）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡，即可代入，求出結(jié)果；（2）根據(jù)最小正周期的公

17、式即可計(jì)算出周期，令可解出單調(diào)遞增區(qū)間；（3）先求出解析式，則該題等價(jià)于在上有且僅有兩個實(shí)數(shù)，滿足，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出范圍.【詳解】（1）函數(shù)，故 （2）由函數(shù)的解析式為可得，它的最小正周期為.令，求得，可得它的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有且僅有兩個零點(diǎn)，則在上有且僅有兩個實(shí)數(shù)，滿足，即.上，求得.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，考查最小正周期和單調(diào)區(qū)間的求解，考查三角函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題.20. 如圖1，設(shè)正方形邊長為1，分別為，的中點(diǎn)，沿，把圖形折成一個四面體，使，三點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖2.（1）求證：平面；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，在圖2中作出過點(diǎn)與平面平行的平面，并說明理由；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）圖象見解析；理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）通過證明和即可證明平面；（2）根據(jù)面面平