概率論和數(shù)理統(tǒng)計

1、概率論和數(shù)理統(tǒng)計2因此算出X的分布律為X-1012pk0.216 0.324 0.270 0.190設(shè)A=X0, 有PXs+t|Xs=PXt.(4.10)因為()()()|1()1( ).s tstPXstXsP Xst XsP XsP XstF steP XsF seeP Xt-=-=-=12服從指數(shù)分布的隨機變量X具有無記憶性, 即對任意s,t0, 有PXs+t|Xs=PXt.(4.10)若X表示某一元件的壽命, 則(4.10)式表明: 已知元件已使用了s小時, 它總共能使用至少s+t小時的條件概率與從開始使用時算起它至少能使用t小時的概率相等, 即元件對它已經(jīng)使用過s小時沒有記憶, 具有

2、這一性質(zhì)是指數(shù)分布具有廣泛應(yīng)用的重要原因.13例例4 某元件的壽命X服從指數(shù)分布, 已知其參數(shù)=0.001, 求3個這樣的元件使用1000小時, 至少有一個損壞的概率.解解 由題設(shè)知, X的分布函數(shù)為0.0011,0,( )0,0.xexF xx- -=由此得到PX1000=1-F(1000)=e-1.各元件的壽命是否超過1000小時是獨立的, 用Y表示三個元件中使用1000小時損壞的元件數(shù), 則Yb(3, 1-e-1).14解解 由題設(shè)知, X的分布函數(shù)為0.0011,0,( )0,0.xexF xx- -=由此得到PX1000=1-F(1000)=e-1.各元件的壽命是否超過1000小時是

3、獨立的, 用Y表示三個元件中使用1000小時損壞的元件數(shù), 則Yb(3, 1-e-1). 所求概率為01 01 3331 101(1) ()10.95P YP YCeee-= -= -= -=153. 正態(tài)分布正態(tài)分布定義定義4 若隨機變量X的概率密度為22()21( ),.(4.11)2xf xex-=- 其中和(0)都是常數(shù), 則稱X服從參數(shù)為和2的正態(tài)分布. 記為XN(,2).易見, (1) f(x)0;16其中利用泊松積分222()221(2)( )dd211d1.22xxttf xxexet-=-=2dxex-=17一般來說, 一個隨機變量如果受到許多隨機因素的影響, 而其中每一個因

4、素都不起主導(dǎo)作用(作用微小), 則它服從正態(tài)分布. 這是正態(tài)分布在實踐中得以廣泛應(yīng)用的原因. 例如, 產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo), 元件的尺寸, 某地區(qū)成年男子的身高, 體重, 測量誤差, 射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差, 信號噪聲, 農(nóng)作物的產(chǎn)量, 等等, 都服從或近似服從正態(tài)分布.18正態(tài)分布的圖形特征f(x)Ox(1) 密度曲線關(guān)于x=對稱;(2) 曲線當(dāng)x=時達到最大值.1( )2f x=19正態(tài)分布的圖形特征f(x)Ox(3) 曲線在x=處有拐點且以x軸為漸近線.-20f(x)Ox(4) 確定了曲線的位置. 確定了曲線中峰的陡峭程度.21若XN(,2), 則X的分布函數(shù)為22()21( )d ,2(4

5、.12)txF xetx-=- 22正態(tài)分布當(dāng)=0, =1時稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 此時, 其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用j(x)和F(x)表示:22221( )21( )d2xtxxexetjF-=23-3-2-10123222211( ),( )d22xtxxexetjF-=j(x)F(x)24標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于, 任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理定理1 設(shè)XN(,2), 則(0,1).XYN-=25證明證明 的分布函數(shù)為XY-=222()221d21d( )2txtuuxXP YxPP Xxxeteux F-=-=所以(0,1).XYN-=26對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

6、分布函數(shù)F(x), 人們利用近似計算方法計算求出其近似值, 并編制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(見附表)供使用時查用.一些辦公軟件如Excel也已經(jīng)能夠直接計算任何正態(tài)分布的分布函數(shù)值, 本課程給學(xué)生提供的軟件也可以用來當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查用.27z012345678900.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.10.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.20.5793 0.5832 0.5871 0.59

7、10 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.30.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.40.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.50.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.60.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.738

8、9 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表2/21( )d2zuzeuP ZzF-=28標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用:(1) 表中給出了x0時, F(x)的數(shù)值, 當(dāng)x0時, 利用正態(tài)分布密度函數(shù)的對稱性, 易見有F(x)=1-F(-x);(2) 若XN(0,1), 則由連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)2, 有PaXb=PaXb=PaXb=PaXb=F(b)-F(a);29(3) 若XN(,2), 則(0,1),XYN-=故X的分布函數(shù)( );.XxF xP XxPbabP aXbPYbaFFF-=-=-=-=-30例例5 設(shè)XN(1,4), 求F(5), P

9、025616.85%41PX25616.85% 因考生總?cè)藬?shù)為1657人, 名次排在考生B之前的考生人數(shù)約有165716.85%280即考生B大約排在281名.由于一共招收300名, 故考生B可以被錄取, 但正式工只招280名, 而281280, 故考生B被錄為臨時工的可能性很大.42例例8 在電源電壓不超過200伏, 在200400伏之間, 超過240伏三種情況下, 某種電子元件損壞的概率分別為和0.2. 假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220, 252), 試求:(1) 該電子元件損壞的概率a;(2) 該電子元件損壞時, 電源電壓在200240伏的概率b.43解解 引入事件A1=X200,

10、A2=200240, B=電子元件損壞.先查表得Fz01234567890.80.78810.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.90.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 10.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.10.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8

11、749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 44解解 引入事件A1=X200, A2=200240, B=電子元件損壞.F(0.8)=0.7881, XN(220, 252)123200220()20025( 0.8)1(0.8)0.212220()2002400.80.8252(0.8) 10.576()24012401(0.8)0.212P AP XXP APXPP AP XP XFFFFF-=-= -=-=-=- = -= -=45解解 A1=X200, A2=200240, B=電子元件損壞.F(0.8)=0.7881, XN(220, 252)P(A1)=0.21

12、2, P(A2)=0.576, P(A3)=0.212P(B|A1)=0.1, P(B|A2)=0.001, P(B|A3)=0.2,(1) 由全概率公式, 有31( )() (|)0.0642iiiP BP A P B Aa=46解解 A1=X200, A2=200240, B=電子元件損壞.F(0.8)=0.7881, XN(220, 252)P(A1)=0.212, P(A2)=0.576, P(A3)=0.212P(B|A1)=0.1, P(B|A2)=0.001, P(B|A3)=0.2,(2) 由貝葉斯公式, 有222() (|)(|)0.009( )P A P B AP ABP Bb=47注: 設(shè)XN(,2), 則(1) 112(1) 10.6826;(2) 22