數(shù)學(xué)分析課件華東師大版學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(sh xu fn x)課件華東師大版課件華東師大版第一頁，共23頁。數(shù)集分類數(shù)集分類(fn li):N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)整數(shù)(zhngsh)集集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)(shsh)集集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN .,相等相等與與就稱集合就稱集合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 則則不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集.)(記作記作例如例如,01,2 xRxx規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.第1頁/共23頁第二頁，共23頁。2.2.區(qū)間區(qū)間(q (q jin):

2、jin):是指介于某兩個(gè)是指介于某兩個(gè)(lin )實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)實(shí)數(shù).這兩個(gè)這兩個(gè)(lin )實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,baRba 且且bxax 稱為稱為(chn wi)開區(qū)間開區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxab第2頁/共23頁第三頁，共23頁。bxax bxax 稱為稱為(chn wi)半開半開區(qū)間區(qū)間,稱為稱為(chn wi)半開區(qū)間半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限有限(yuxin)區(qū)區(qū)間間無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義區(qū)間長度的定義: :兩端點(diǎn)間的距離

3、兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度線段的長度)稱為區(qū)間的長度稱為區(qū)間的長度.第3頁/共23頁第四頁，共23頁。3.3.鄰域鄰域(ln (ln y):y):. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).(0aU 記作記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰域鄰域的去心的的去心的點(diǎn)點(diǎn) a. 0)( axxaU,鄰域鄰域的的稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx 第4頁/共23頁第五頁，共23頁。,MxS 有xM.00,MxSx 有M.,LxS 有xL.00,LxSx 有L.,MxSx 有M.00,MxSx 有M.第5頁/共23頁第六

4、頁，共23頁。,a b( , ) a b sin , ( , )Eyyxx ( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) 1 , ( 0 , 1 )Eyyxx第6頁/共23頁第七頁，共23頁。例例1 證證明明(zhngmng)集合集合 ) 1 , 0 ( ,1 xxyyE是無界數(shù)集是無界數(shù)集.0M, 存在存在(cnzi) 11(0,1),11xyE y MMMx 由無界集定由無界集定義義(dngy)，E 為為無界集。無界集。證明：對任意證明：對任意第7頁/共23頁第八頁，共23頁。 2）使使得得。EMsup第8頁/共23頁第九頁，共23頁。M第9頁/共23頁第十頁，共23頁。 1）m是E

5、的下 界， 2）使得 .EEx , 0/xm第10頁/共23頁第十一頁，共23頁。,) 1(1nSn._inf _,supSS. ), 0 ( ,sin xxyyE._inf _,supEE.AS .infinf ,supsupASAS第11頁/共23頁第十二頁，共23頁。x A y B ,xysupinf.AB,yB .sup yA Asup .infsup BA第12頁/共23頁第十三頁，共23頁。例4 設(shè) A, B為非空數(shù)集,滿足:.,yxByAx有證明數(shù)集 A有上確界, 數(shù)集B有下確界,且.infsupBA證: 故有確界原理(yunl)知,數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界. 是數(shù)集A的一

6、個(gè)上界,而由上確界的定義知,Byy由假設(shè),數(shù)集B中任一數(shù) 都是數(shù)集A的上界, y A中任一數(shù) 都是B的下界,xy.supA 是數(shù)集A的最小上界, 故有supA 而此式又表明數(shù) 是數(shù)集B的一個(gè)下界, supA 故由下確界的定義證得 .infsupBA第13頁/共23頁第十四頁，共23頁。例例5 5 AB為為非空數(shù)集非空數(shù)集, , .BAS 試證明試證明(zhngmng): (zhngmng): . inf , inf mininfBAS 證證 ,Sx有有Ax或或,Bx 由由Ainf和和Binf分分別別(fnbi)是是AB的下界的下界(xi ji),有有Axinf或或. inf , inf min

7、 .infBAxBx即即 inf , inf minBA是數(shù)集是數(shù)集S的下界的下界, . inf , inf mininf BAS 和和第14頁/共23頁第十五頁，共23頁。 又又SAS , 的下界的下界(xi ji)就是就是A的下界的下界(xi ji), Sinf是是S的下界的下界(xi ji), Sinf 是A的下界的下界, ;infinf AS 同理有同理有.infinfBS inf , inf mininfBAS inf , inf mininfBAS 于是有于是有綜上綜上, 有有第15頁/共23頁第十六頁，共23頁。例例5 5 AB為為非空數(shù)集非空數(shù)集, , .BAS 試證明試證明(

8、zhngmng): (zhngmng): . inf , inf mininfBAS 證證 ,Sx有有Ax或或,Bx 由由Ainf和和Binf分分別別(fnbi)是是AB的下界的下界(xi ji),有有Axinf或或. inf , inf min .infBAxBx即即 inf , inf minBA是數(shù)集是數(shù)集S的下界的下界, . inf , inf mininf BAS 和和第16頁/共23頁第十七頁，共23頁。AsupAsup命題命題(mng t)3(mng t)3：設(shè)數(shù)集：設(shè)數(shù)集有上（下）確界，則這上有上（下）確界，則這上，且，則不妨(bfng)設(shè)有對，使，矛盾(modn)。（下）確界

9、必是唯一的。（下）確界必是唯一的。證：設(shè)第17頁/共23頁第十八頁，共23頁。Emax.supmaxEE 第18頁/共23頁第十九頁，共23頁。 5 確界原理確界原理(yunl) 定理定理1 (確界原理確界原理(yunl). 設(shè)設(shè) E 為非空數(shù)集，若為非空數(shù)集，若E有上界，則有上界，則E必必有上確界；若有上確界；若E有下界，則有下界，則E必有下確界。必有下確界。第19頁/共23頁第二十頁，共23頁。A非空，有上界(shngji)： ，(1).若中有最大數(shù)，則即為上確界；中無最大數(shù)，用下述方法(fngf)產(chǎn)生實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃；，其余(qy)的實(shí)數(shù)歸入下類，則是實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃。證明證明 設(shè).(2).

10、若的一切上界歸入上類EEEA 。其次，由于不是的最大數(shù)，所以它不是的上界，即。這說明中任一元素都屬于下類；A,B不空.首先取第20頁/共23頁第二十一頁，共23頁。 A、B不漏性由A、B定義(dngy)即可看出； A、B不亂.設(shè) Bb ，因a不是(b shi)E的上界， ，使得(sh de) ，而E內(nèi)每一元素屬于A，所以 .A 由的證明可見無最大數(shù). 所以 )|(BA是實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃.由戴德金定理， 知上類B必有最小數(shù)，記作c. Ex1由 知 Ax，即得 .E這表明c是的一個(gè)上界. 若b是E的一個(gè)上界，則 Bb，由此得 ，所以c是上界中最小的， 由上確界定義， 為集合的上確界，記作 。 第21頁/共23頁第二十二頁，共23頁。下證下證:非空的有下界非空的有下界(xi ji)的集合必有下確界。的集合必有下確界。事實(shí)上，設(shè)集合(jh) xE 有下界(xi ji)b， 則非空集合 有上界-b，