第二章數(shù)學(xué)模型和數(shù)值分析方法

1、計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用王建剛王建剛第第1 1章章 數(shù)學(xué)模型與數(shù)值分析方法數(shù)學(xué)模型與數(shù)值分析方法1.1 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)1.2 建模步驟和原則建模步驟和原則1.3 建模方法建模方法第一部分第一部分 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型第第1 1章章 數(shù)學(xué)模型與數(shù)值分析方法數(shù)學(xué)模型與數(shù)值分析方法 對(duì)于一個(gè)對(duì)于一個(gè)客觀實(shí)際客觀實(shí)際，為了一個(gè)，為了一個(gè)特定目的特定目的，根據(jù)其，根據(jù)其本身屬性本身屬性及內(nèi)在規(guī)律及內(nèi)在規(guī)律，作出必要的，作出必要的抽象、簡(jiǎn)化假設(shè)抽象、簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)?，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工數(shù)學(xué)工具（數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號(hào)、程序及圖表等）具（數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號(hào)、程序及圖表等），得到的一個(gè)，得到的一個(gè)數(shù)

2、學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)?；靖拍罨靖拍?1現(xiàn)現(xiàn)實(shí)實(shí)世世界界數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)世世界界建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型翻譯為實(shí)際解答翻譯為實(shí)際解答始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界1.1 1.1 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)2 2數(shù)學(xué)模型分類數(shù)學(xué)模型分類 2 2按照建立模型數(shù)學(xué)方法按照建立模型數(shù)學(xué)方法初等模型初等模型、圖論模型、圖論模型、規(guī)劃論模型規(guī)劃論模型、微分方程模型微分方程模型、最優(yōu)控制模型最優(yōu)控制模型、隨機(jī)模型、模擬模型等。隨機(jī)模型、模擬模型等。初等模型初等模型-為采用簡(jiǎn)單而且初等的方法建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。為采用簡(jiǎn)單而且初等的方法建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。微分方程模型微分方程模型-指的是在所研究的現(xiàn)象或

3、過(guò)程中取一局部或一瞬間，指的是在所研究的現(xiàn)象或過(guò)程中取一局部或一瞬間，然后找出有關(guān)變量和未知變量的微分（或差分）之間的關(guān)系式，從而然后找出有關(guān)變量和未知變量的微分（或差分）之間的關(guān)系式，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。1.1 1.1 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)按照對(duì)實(shí)體的認(rèn)識(shí)過(guò)程按照對(duì)實(shí)體的認(rèn)識(shí)過(guò)程描述性模型、解釋性數(shù)學(xué)模型。描述性模型、解釋性數(shù)學(xué)模型。描述性模型描述性模型從特殊到一般，從分析具體客觀事物及其狀態(tài)開(kāi)始，最從特殊到一般，從分析具體客觀事物及其狀態(tài)開(kāi)始，最終得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型。終得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型。解釋性模型解釋性模型由一般到特殊，從一般的公理系統(tǒng)出發(fā)，借助于數(shù)學(xué)殼由一般到特

4、殊，從一般的公理系統(tǒng)出發(fā)，借助于數(shù)學(xué)殼體，對(duì)公理系統(tǒng)給出正確解釋。體，對(duì)公理系統(tǒng)給出正確解釋。1.1 1.1 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、水資源模型、再生資源人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、水資源模型、再生資源利用模型等。利用模型等。按照模型的特征按照模型的特征靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型、確定性模型和隨機(jī)、離散模型和連續(xù)性模型、靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型、確定性模型和隨機(jī)、離散模型和連續(xù)性模型、線性模型和非線性模型等。線性模型和非線性模型等。按照模型的了解程度按照模型的了解程度白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。白箱模型、灰箱模型和黑箱

5、模型。數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型進(jìn)行抽象和數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化，便于人們采用定量的方法去分析和解決實(shí)際簡(jiǎn)化，便于人們采用定量的方法去分析和解決實(shí)際問(wèn)題。問(wèn)題。材料科學(xué)從最早的試錯(cuò)法的手工操作到作為當(dāng)代重要科材料科學(xué)從最早的試錯(cuò)法的手工操作到作為當(dāng)代重要科學(xué)支柱，數(shù)學(xué)的應(yīng)用起著非常重要的作用，利用數(shù)學(xué)這一有學(xué)支柱，數(shù)學(xué)的應(yīng)用起著非常重要的作用，利用數(shù)學(xué)這一有效工具，可以深刻認(rèn)識(shí)客觀現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，促進(jìn)學(xué)科發(fā)展。效工具，可以深刻認(rèn)識(shí)客觀現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，促進(jìn)學(xué)科發(fā)展。在材料研究和應(yīng)用中，要對(duì)有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，就必須先建在材料研究和應(yīng)用中，要對(duì)有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，就必

6、須先建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。（材料設(shè)計(jì)，生產(chǎn)過(guò)程（極端條件，立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。（材料設(shè)計(jì)，生產(chǎn)過(guò)程（極端條件，納米槍）納米槍）1.1 1.1 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)2數(shù)學(xué)模型的作用數(shù)學(xué)模型的作用 33.1 3.1 數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型應(yīng)用模模型型準(zhǔn)準(zhǔn)備備了解實(shí)際背景了解實(shí)際背景明確建模目的明確建模目的搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征掌握對(duì)象特征形成一個(gè)形成一個(gè)比較清晰比較清晰的的問(wèn)題問(wèn)題1.2 1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則3.1

7、3.1 數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模建模一般步驟建模一般步驟 ：模模型型假假設(shè)設(shè)目的性原則、簡(jiǎn)明性原則、目的性原則、簡(jiǎn)明性原則、 真實(shí)性原則、全面性原則真實(shí)性原則、全面性原則在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模模型型構(gòu)構(gòu)成成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力發(fā)揮想像力 使用類比法使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具1.2 1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則3.1 3.1 數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模模型模型求解求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)。各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)。模型模型分析

8、分析如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析。數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析。模型模型檢驗(yàn)檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮吓c實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性。理性、適用性。模型應(yīng)用模型應(yīng)用1.2 1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則3.1 3.1 數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模建模的全過(guò)程建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述表述求解求解解釋解釋驗(yàn)證驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述表述求解求解解釋解釋驗(yàn)證驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題根據(jù)建模

9、目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯翻譯”回實(shí)際對(duì)象回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)現(xiàn)實(shí)實(shí)世世界界數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)世世界界理論實(shí)踐1.2 1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則實(shí)例：激光沖擊殘余應(yīng)力的估算目前，人們對(duì)殘余應(yīng)力的測(cè)試一般采用的是一種破壞性的測(cè)試方法，而這種方法極大的防礙了激光沖擊強(qiáng)化技術(shù)在工程中的應(yīng)用，造成大量人力物力的浪費(fèi)，增加了生產(chǎn)的成本，限制了人們對(duì)被加工性能的有效控制。激光沖擊的

10、基本力學(xué)模型：v. 假設(shè)：假設(shè)：1) 假設(shè)在微秒時(shí)間內(nèi)結(jié)構(gòu)在厚度方向上所有質(zhì)量都受到波及，而結(jié)構(gòu)塑性動(dòng)力響應(yīng)通常需要經(jīng)歷毫秒以至更長(zhǎng)時(shí)間才會(huì)達(dá)到結(jié)構(gòu)的最大形變；2) 假設(shè)被沖擊的工件材料為理想的剛塑性材料；3) 激光沖擊壓力為GPa;彈性形變塑性形變Shock wave1.2 1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則激光沖擊應(yīng)力為一維平面波，在激光沖擊區(qū)取一個(gè)微體積元，僅在x方向考慮被壓縮，即沖擊波沿X方向傳播，考慮應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，為保持x的單軸應(yīng)變條件而假設(shè)y= z,形變側(cè)面Y、Z方向尺寸不變，X方向有彈塑性變形，激光沖擊后彈性變形恢復(fù)不完全，導(dǎo)致了殘余應(yīng)力的產(chǎn)生。

11、1.2 1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則2.根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則有： x-y|b在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：x=+2xy=+2yz=+2z式中： x yz，因?yàn)槭菃屋S變形，側(cè)面受到介質(zhì)約束， x（V0-V)/V, y =z=0,V是體積，2(+u)，和u是材料的拉梅常數(shù)，是泊松比。(1)xyxyxX01.2 1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則 在塑性變形狀態(tài)，應(yīng)變?cè)隽渴菑椥院退苄栽隽恐?。因而在X方向有： dx=dxe+dxp因?yàn)椴淮嬖谒苄耘蛎?，所以有dxp dyp +dzp =0微元體中的殘余應(yīng)力是彈性和塑性應(yīng)變引起的，d

12、x=d+2(dxe+dxp)dy=d+2（dye+dyp）dz=d+2(dze+dzp）(2)1.2 1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則激光沖擊應(yīng)力作用后，在沖擊強(qiáng)化區(qū)的y，z方向上由彈性應(yīng)力引起的彈性變形難以完全恢復(fù)，所以，在激光沖擊區(qū)形成殘余應(yīng)力，于是可得簡(jiǎn)單算式：y=1-x實(shí)際上x(chóng)是隨沖擊應(yīng)力波的衰減而變化，故殘余應(yīng)力y也是隨x的變化而變化，設(shè)：x e-x有x=maxe-bx(3)(4)其中b為參量；1.2 1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則在玻璃(K9)的約束層的條件下，激光沖擊產(chǎn)生的峰壓可以估算為： Pmax=0.2871/

13、3(A.q0)2/3如果有max=pmax代入公式()x=pmaxe-bxy= pmaxe-bx1-(5) 顯然該式(5)所表達(dá)的是Pmax未卸載時(shí)殘余應(yīng)力的情形。令x=0，取Pmax2.8GPa，0.29，則b不論取何值，y=-1.12GPa，這顯然與實(shí)際測(cè)量值y=-400MPa相去甚遠(yuǎn)，因此必須對(duì)式（）加以修正。首先，由彈性力學(xué)原理可知：E. 因此，材料的彈塑性形變與彈性模量關(guān)系較大，材料受到相同外力作用時(shí)，彈性模量大的材料，彈塑性形變??；因此有：yE(6)1.2 1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則其次，由沖擊動(dòng)力學(xué)原理可知，當(dāng)材料的沖擊變形深度相同時(shí)，材料本

14、身的彈性模量大，屈服極限高，沖擊波對(duì)材料產(chǎn)生的殘余應(yīng)力的影響就深。如果材料本身彈性模量小，局部極限低，沖擊波對(duì)材料產(chǎn)生的殘余應(yīng)力深度就淺。因此有：ye-bx/E (7)結(jié)合() () () ()1-(8)x EPmaxe-bx/Ey E Pmaxe-bx/E然而此時(shí)，還需使公式()滿足邊界條件X=0時(shí)，解決y與實(shí)際殘余應(yīng)力值相差太遠(yuǎn)的問(wèn)題，因此還必須在公式()中加入一個(gè)系數(shù)K,即：x=EkPmaxe-bx/Ey=Ek Pmaxe-bx/E1-(9) 利用45鋼試樣的一組殘余應(yīng)力數(shù)據(jù)對(duì)式（9)進(jìn)行擬合，從而求得K=2.3x10-6(MPa)-1; b=2.16x108(MPa/m)，將所得的k,

15、b數(shù)據(jù)代入公式（9）得到激光沖擊強(qiáng)化殘余應(yīng)力的一般估算經(jīng)驗(yàn)公式： x=2.3x10-6EPmaxe-2.16x108 x/E y=2.3x10-6 Pmaxe-2.16x108 x/EE-11.2 1.2 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則21應(yīng)用自然科學(xué)中已被證明是正確的理論、原理和定律，對(duì)被應(yīng)用自然科學(xué)中已被證明是正確的理論、原理和定律，對(duì)被研究系統(tǒng)的有關(guān)因素進(jìn)行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)研究系統(tǒng)的有關(guān)因素進(jìn)行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。的數(shù)學(xué)模型。EgEg. . 在滲碳工藝過(guò)程中通過(guò)平衡理論找出控制參量與爐氣碳勢(shì)之在滲碳工藝過(guò)程中通過(guò)平衡理論找出控

16、制參量與爐氣碳勢(shì)之間的理論關(guān)系式間的理論關(guān)系式。1.3 1.3 常用的數(shù)學(xué)建模方法常用的數(shù)學(xué)建模方法理論分析法理論分析法結(jié)構(gòu)及性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量描述及求解都相當(dāng)困難。如結(jié)構(gòu)及性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量描述及求解都相當(dāng)困難。如構(gòu)造出結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與其相同，可以把后一種模型看成是原來(lái)構(gòu)造出結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與其相同，可以把后一種模型看成是原來(lái)模型的模擬。模型的模擬。EgEg. . 鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布，采用環(huán)鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布，采用環(huán)氧樹(shù)脂制備成具有同樣結(jié)構(gòu)的模型，并根據(jù)鋼鐵材料中裂紋形式在環(huán)氧樹(shù)脂制備成具有同樣結(jié)構(gòu)的模型，并根據(jù)鋼鐵材料中裂紋形式在環(huán)

17、氧樹(shù)脂模型加工出裂紋；借助實(shí)驗(yàn)光測(cè)力學(xué)的手段來(lái)完成分析。氧樹(shù)脂模型加工出裂紋；借助實(shí)驗(yàn)光測(cè)力學(xué)的手段來(lái)完成分析。22模擬方法模擬方法2類比分析法類比分析法 3若兩個(gè)不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述，若兩個(gè)不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述，則此兩個(gè)系統(tǒng)就可以互相類比。類比分析法是根據(jù)兩個(gè)則此兩個(gè)系統(tǒng)就可以互相類比。類比分析法是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）系統(tǒng)某些屬性或關(guān)系的相似，去猜想兩者的其（或兩類）系統(tǒng)某些屬性或關(guān)系的相似，去猜想兩者的其它屬性或關(guān)系也可能相似的一種方法。它屬性或關(guān)系也可能相似的一種方法。EgEg. .在聚合物的結(jié)晶過(guò)程中，結(jié)晶度隨時(shí)間的延續(xù)不斷增加，最后趨在聚合物

18、的結(jié)晶過(guò)程中，結(jié)晶度隨時(shí)間的延續(xù)不斷增加，最后趨于該結(jié)晶條件下的極限結(jié)晶度，現(xiàn)期望在理論上描述這一動(dòng)力學(xué)過(guò)程于該結(jié)晶條件下的極限結(jié)晶度，現(xiàn)期望在理論上描述這一動(dòng)力學(xué)過(guò)程（即推導(dǎo)（即推導(dǎo)AvramiAvrami方程）。方程）。 聚合物的結(jié)晶過(guò)程包括成核和晶體生長(zhǎng)兩個(gè)階段，這與下雨時(shí)雨聚合物的結(jié)晶過(guò)程包括成核和晶體生長(zhǎng)兩個(gè)階段，這與下雨時(shí)雨滴落在水面上生成一個(gè)個(gè)圓形水波并向外擴(kuò)展的情形相類似，因此可滴落在水面上生成一個(gè)個(gè)圓形水波并向外擴(kuò)展的情形相類似，因此可通過(guò)水波擴(kuò)散模型來(lái)推導(dǎo)聚合物結(jié)晶時(shí)的結(jié)晶度與時(shí)間的關(guān)系通過(guò)水波擴(kuò)散模型來(lái)推導(dǎo)聚合物結(jié)晶時(shí)的結(jié)晶度與時(shí)間的關(guān)系。 1.3 1.3 常用的數(shù)學(xué)建模

19、方法常用的數(shù)學(xué)建模方法2數(shù)據(jù)分析法數(shù)據(jù)分析法 4若在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)不大清楚，但有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律，若在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)不大清楚，但有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律，描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可利用時(shí)，回歸分析是處理這類問(wèn)題描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可利用時(shí)，回歸分析是處理這類問(wèn)題的有利工具。的有利工具。EgEg. .經(jīng)實(shí)驗(yàn)獲得低碳鋼的屈服點(diǎn)經(jīng)實(shí)驗(yàn)獲得低碳鋼的屈服點(diǎn) s s 與晶粒直徑與晶粒直徑d d對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系如表如表1-31-3中的數(shù)據(jù)所示，用最小二乘法建立起中的數(shù)據(jù)所示，用最小二乘法建立起d d與與 s s之間關(guān)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型（即霍爾系的數(shù)學(xué)模型（即霍爾- -配奇配奇Hall-Hall-PetchPetch公

20、式）。公式）。1.3 1.3 常用的數(shù)學(xué)建模方法常用的數(shù)學(xué)建模方法2數(shù)據(jù)分析法數(shù)據(jù)分析法 4按照上述最小二乘法原理，誤差平方和為最小的直線按照上述最小二乘法原理，誤差平方和為最小的直線是最佳直線。求是最佳直線。求 最小值的條件是最小值的條件是400 50105286 121 180 242 345低碳鋼屈服極限與晶粒直徑低碳鋼屈服極限與晶粒直徑以以d d-1/2-1/2作為作為x x， s s作為作為y y，取取y=y=a+bya+by，為一直線。設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)為一直線。設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)為（據(jù)點(diǎn)為（X Xi i，Y Yi i），），一般來(lái)說(shuō)，一般來(lái)說(shuō)，直線并不通過(guò)其中任一實(shí)驗(yàn)數(shù)直線并不通過(guò)其中任一實(shí)驗(yàn)數(shù)

21、據(jù)點(diǎn)，因此，每點(diǎn)均有偶然誤據(jù)點(diǎn)，因此，每點(diǎn)均有偶然誤差差e ei i，e ei i=(=(a+bXa+bXi i) )-Y-Yi i512iie0052512beaeiiii和2121069.39309.64dKd1.3 1.3 常用的數(shù)學(xué)建模方法常用的數(shù)學(xué)建模方法md2mkNs1. 有限差分法有限差分法2. 有限元法有限元法第二部分第二部分 數(shù)值分析方法數(shù)值分析方法第第1 1章章 數(shù)學(xué)模型與數(shù)值分析方法數(shù)學(xué)模型與數(shù)值分析方法2.1 2.1 有限差分法有限差分法2概述概述 1 有限差分方法使是以有限差分方法使是以有限差分有限差分代替代替無(wú)限微分無(wú)限微分、以、以差分代數(shù)方差分代數(shù)方程程代替代替微

22、分方程微分方程、以、以數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算代替代替數(shù)學(xué)推導(dǎo)數(shù)學(xué)推導(dǎo)的過(guò)程，從而將連的過(guò)程，從而將連續(xù)函數(shù)離散化，以有限的、離散的數(shù)值代替連續(xù)的函數(shù)分布。續(xù)函數(shù)離散化，以有限的、離散的數(shù)值代替連續(xù)的函數(shù)分布。主要步驟：主要步驟：1 1）構(gòu)成差分格式構(gòu)成差分格式。首先選擇網(wǎng)格布局、差分形式和步長(zhǎng)；。首先選擇網(wǎng)格布局、差分形式和步長(zhǎng)；其次，以有限差分代替無(wú)限微分。其次，以有限差分代替無(wú)限微分。2 2）求解差分方程求解差分方程。精確法，又稱直接法，即消元法；近似。精確法，又稱直接法，即消元法；近似法，又稱間接法，即迭代法。法，又稱間接法，即迭代法。3 3）對(duì)所得的數(shù)值解進(jìn)行）對(duì)所得的數(shù)值解進(jìn)行精度與收斂性

23、分析和檢驗(yàn)精度與收斂性分析和檢驗(yàn)。2差分方程的建立差分方程的建立22.1 2.1 有限差分法有限差分法yxxyi，j+1i+1，ji，ji-1，ji，j-1O1. 1. 合理選擇網(wǎng)格布局及步長(zhǎng)合理選擇網(wǎng)格布局及步長(zhǎng) 將求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)變化的自變量將求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)變化的自變量離散化，形成離散化網(wǎng)格。網(wǎng)格交點(diǎn)離散化，形成離散化網(wǎng)格。網(wǎng)格交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，區(qū)域內(nèi)函數(shù)被離散化。將稱為結(jié)點(diǎn)，區(qū)域內(nèi)函數(shù)被離散化。將離散化后各相鄰離散點(diǎn)之間的距離，離散化后各相鄰離散點(diǎn)之間的距離，或離散化單元的長(zhǎng)度稱為步長(zhǎng)。或離散化單元的長(zhǎng)度稱為步長(zhǎng)。2. 2. 將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程(1)(1) 差分差

24、分 某物理量的有限增量，分向前差分、向后差分某物理量的有限增量，分向前差分、向后差分和中心差分三種。和中心差分三種。(2)(2) 差商差商 差商為函數(shù)的差分與自變量差分之比。差商為函數(shù)的差分與自變量差分之比。2差分方程的求解方法差分方程的求解方法32.1 2.1 有限差分法有限差分法v直接法：直接法： 矩陣法、矩陣法、GaussGauss消元法、消元法、主元素主元素消元法消元法v間接法：間接法： JocobiJocobi迭代法、迭代法、SeidelSeidel迭代法和迭代法和超松弛超松弛(SOR)(SOR)迭代法迭代法2.2 2.2 有限元法有限元法有限元法的要點(diǎn)：有限元法的要點(diǎn)： 將一個(gè)表示

25、結(jié)構(gòu)或連續(xù)體的求解域離散為若干個(gè)子將一個(gè)表示結(jié)構(gòu)或連續(xù)體的求解域離散為若干個(gè)子域（單元），并通過(guò)他們邊界上的結(jié)點(diǎn)相互聯(lián)結(jié)成域（單元），并通過(guò)他們邊界上的結(jié)點(diǎn)相互聯(lián)結(jié)成為組合體。為組合體。 用每個(gè)單元內(nèi)所假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片地表示全求用每個(gè)單元內(nèi)所假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片地表示全求解域內(nèi)待求的未知場(chǎng)變量。解域內(nèi)待求的未知場(chǎng)變量。 通過(guò)和原問(wèn)題數(shù)學(xué)模型（基本方程、邊界條件）等通過(guò)和原問(wèn)題數(shù)學(xué)模型（基本方程、邊界條件）等效的變分原理或加權(quán)余量法，建立求解基本未知量效的變分原理或加權(quán)余量法，建立求解基本未知量( (場(chǎng)函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值場(chǎng)函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值) )的代數(shù)方程組或常微分方程組。的代數(shù)方程組或常微分方程組。有

26、限元分析的基本思想有限元分析的基本思想: : 把連續(xù)的幾何結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元的集合體把連續(xù)的幾何結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元的集合體，并在每，并在每一個(gè)單元中設(shè)定有限個(gè)節(jié)點(diǎn)，從而將連續(xù)體看作僅在節(jié)點(diǎn)處一個(gè)單元中設(shè)定有限個(gè)節(jié)點(diǎn)，從而將連續(xù)體看作僅在節(jié)點(diǎn)處相連接的一組單元的集合體；同時(shí)選定相連接的一組單元的集合體；同時(shí)選定場(chǎng)函數(shù)場(chǎng)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值作為的節(jié)點(diǎn)值作為基本未知量，并在每一單元中假設(shè)一基本未知量，并在每一單元中假設(shè)一近似插值函數(shù)近似插值函數(shù)以表示單以表示單元中場(chǎng)函數(shù)的分布規(guī)律，再建立用于求解節(jié)點(diǎn)未知量的有限元中場(chǎng)函數(shù)的分布規(guī)律，再建立用于求解節(jié)點(diǎn)未知量的有限元方程組，從而將一個(gè)連續(xù)域中的無(wú)限自由度問(wèn)

27、題化為離散元方程組，從而將一個(gè)連續(xù)域中的無(wú)限自由度問(wèn)題化為離散域中的域中的有限自由度問(wèn)題有限自由度問(wèn)題，求解得到節(jié)點(diǎn)值后就可以通過(guò)設(shè)定，求解得到節(jié)點(diǎn)值后就可以通過(guò)設(shè)定的插值函數(shù)確定單元上以致整個(gè)集合體上的場(chǎng)函數(shù)。運(yùn)用有的插值函數(shù)確定單元上以致整個(gè)集合體上的場(chǎng)函數(shù)。運(yùn)用有限元法可以模擬和逼近復(fù)雜的求解域。限元法可以模擬和逼近復(fù)雜的求解域。 2.2 2.2 有限元法有限元法ANSYSANSYS有限元分析的典型步驟：有限元分析的典型步驟： 1 1）利用前處理模塊，建立有限元模型，包括（）利用前處理模塊，建立有限元模型，包括（1 1）定義單元類型，（定義單元類型，（3 3）定義實(shí)常數(shù)，（）定義實(shí)常數(shù)，

28、（4 4）定義材料）定義材料屬性，（屬性，（5 5）建立幾何模型，（）建立幾何模型，（6 6）對(duì)幾何模型劃分）對(duì)幾何模型劃分網(wǎng)格；網(wǎng)格；2 2）利用求解模塊進(jìn)行加載和計(jì)算；）利用求解模塊進(jìn)行加載和計(jì)算；3 3）利用）利用后處理模塊查看結(jié)果，對(duì)結(jié)果圖形顯示和輸出。后處理模塊查看結(jié)果，對(duì)結(jié)果圖形顯示和輸出。2.2 2.2 有限元法有限元法2有限元法的基本概念有限元法的基本概念-直接剛度法直接剛度法12.2 2.2 有限元法有限元法通過(guò)一個(gè)例子來(lái)介紹直接剛度法，說(shuō)明有限元通過(guò)一個(gè)例子來(lái)介紹直接剛度法，說(shuō)明有限元法求解的一般步驟。法求解的一般步驟。例：考慮一個(gè)變截面桿，如圖示。桿的一端固定，另一例：考

29、慮一個(gè)變截面桿，如圖示。桿的一端固定，另一端承受端承受P=1000NP=1000N的載荷，桿的頂部寬的載荷，桿的頂部寬w1=2cmw1=2cm，桿的底，桿的底部寬部寬w2=1cmw2=1cm，桿的厚度，桿的厚度t=0.125cmt=0.125cm，長(zhǎng)度，長(zhǎng)度L=10cmL=10cm，桿，桿的彈性模量的彈性模量E=10.4E=10.4105MPa105MPa。試分析該桿沿長(zhǎng)度方。試分析該桿沿長(zhǎng)度方向不同位置的變形情況，質(zhì)量忽略不計(jì)。向不同位置的變形情況，質(zhì)量忽略不計(jì)。1. 1. 前處理過(guò)程前處理過(guò)程(1)(1)求解區(qū)域離散化求解區(qū)域離散化將求解的問(wèn)題分解為結(jié)點(diǎn)和單元將求解的問(wèn)題分解為結(jié)點(diǎn)和單元3

30、.2 3.2 數(shù)學(xué)建模軟件簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)建模軟件簡(jiǎn)介2.2 2.2 有限元法有限元法(2) (2) 建立單元位移方程建立單元位移方程 先考慮一截均一長(zhǎng)度為先考慮一截均一長(zhǎng)度為l、截、截面為面為A A的固體單元受外力的固體單元受外力F F的變的變形情況。形情況。以彈簧的變形來(lái)模擬固體單元以彈簧的變形來(lái)模擬固體單元的變形，等價(jià)剛度為：的變形，等價(jià)剛度為：keq=AE/l前面問(wèn)題可近似將桿模型化為不同截面的等截前面問(wèn)題可近似將桿模型化為不同截面的等截面桿的串聯(lián)。桿在頂端固定，靜態(tài)平衡時(shí)，可面桿的串聯(lián)。桿在頂端固定，靜態(tài)平衡時(shí)，可獲得如下方程：獲得如下方程：1 0 0 0 0-k1 k1+k2 -k2 0

31、00 -k2 k2+k3 -k3 00 0 -k3 k3+k4 -k40 0 0 -k4 k4u1u2u3u4u50000P=2.2 2.2 有限元法有限元法(3) (3) 建立單元?jiǎng)偠确匠探卧獎(jiǎng)偠确匠?每個(gè)單元有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)每個(gè)單元有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)可建立兩個(gè)方程。方程包結(jié)點(diǎn)可建立兩個(gè)方程。方程包含結(jié)點(diǎn)位移和單元的剛度。結(jié)含結(jié)點(diǎn)位移和單元的剛度。結(jié)點(diǎn)點(diǎn)i i和和i+1i+1處可有方程：處可有方程：(4) (4) 單元集成單元集成將上式用于所有單元，將上式用于所有單元，進(jìn)行集成，得到總體進(jìn)行集成，得到總體剛度矩陣：剛度矩陣：keq -keq -keq keqfifi+1uiui+1=k

32、1 -k1 0 0 0-k1 k1+k2 -k2 0 00 -k2 k2+k3 -k3 00 0 -k3 k3+k4 -k40 0 0 -k4 k4=K(G) (5) (5) 施加邊界條件和載荷施加邊界條件和載荷2. 2. 求解階段求解階段3. 3. 后處理階段后處理階段( (一一) ) 加權(quán)余量法加權(quán)余量法工程或物理學(xué)中的許多問(wèn)題，通常是以未知場(chǎng)函數(shù)應(yīng)滿足的微分方工程或物理學(xué)中的許多問(wèn)題，通常是以未知場(chǎng)函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件的形式提出來(lái)的，可以一般地表示為未知函數(shù)程和邊界條件的形式提出來(lái)的，可以一般地表示為未知函數(shù)u u應(yīng)滿足應(yīng)滿足微分方程組：微分方程組：2.2 2.2 有限元法有限

33、元法2有限元法的基本理論有限元法的基本理論2域域可以是體積域，面積域等，如可以是體積域，面積域等，如圖示，同時(shí)未知函數(shù)圖示，同時(shí)未知函數(shù)u u還應(yīng)滿足邊還應(yīng)滿足邊界條件：界條件：是域是域的邊界的邊界(2-1)(2-1)(2-2)(2-2)2.2 2.2 有限元法有限元法要求解得未知函數(shù)要求解得未知函數(shù)u u可以是標(biāo)量場(chǎng)（如溫度場(chǎng)），也可是幾個(gè)變量組可以是標(biāo)量場(chǎng)（如溫度場(chǎng)），也可是幾個(gè)變量組成的向量場(chǎng)（如位移、應(yīng)變、應(yīng)力等）。成的向量場(chǎng)（如位移、應(yīng)變、應(yīng)力等）。A A、B B是對(duì)于獨(dú)立變量的微是對(duì)于獨(dú)立變量的微分算子。微分方程組是（分算子。微分方程組是（2-12-1）在域）在域中每一點(diǎn)都必須為零

34、，因此：中每一點(diǎn)都必須為零，因此：(2-3)(2-3)其中其中V V是函數(shù)向量，它是和微分方程個(gè)數(shù)相等是函數(shù)向量，它是和微分方程個(gè)數(shù)相等的任意函數(shù)。的任意函數(shù)。同理，假如邊界條件式（同理，假如邊界條件式（2-22-2）也同時(shí)在邊界上的每一點(diǎn)都得到滿）也同時(shí)在邊界上的每一點(diǎn)都得到滿足，對(duì)于一組任意函數(shù)足，對(duì)于一組任意函數(shù)V V應(yīng)有：應(yīng)有：(2-4)(2-4)因此若積分形式因此若積分形式對(duì)于所有的對(duì)于所有的V V和和V V都成立，式（都成立，式（2-52-5）稱為微分方程的等效積分形式。）稱為微分方程的等效積分形式。(2-5)(2-5)2.2 2.2 有限元法有限元法對(duì)于微分方程式（對(duì)于微分方程式

35、（2-12-1）和邊界條件式（）和邊界條件式（2-22-2）所表達(dá)的物理問(wèn)題，）所表達(dá)的物理問(wèn)題，未知函數(shù)未知函數(shù)u u可以用近似函數(shù)來(lái)表示。近似函數(shù)是一族帶有待定參數(shù)的可以用近似函數(shù)來(lái)表示。近似函數(shù)是一族帶有待定參數(shù)的已知函數(shù)，一般形式是：已知函數(shù)，一般形式是：(2-6)(2-6)式中，式中，aiai是待定參數(shù)，是待定參數(shù)，NiNi是稱為試探函數(shù)的已知函數(shù)。是稱為試探函數(shù)的已知函數(shù)。在式（在式（2-52-5）中，用）中，用n n個(gè)規(guī)定函數(shù)來(lái)代替任意函數(shù)個(gè)規(guī)定函數(shù)來(lái)代替任意函數(shù)V V和和V V，即：，即：(2-7)(2-7)可以得到近似的等效積分形式：可以得到近似的等效積分形式：權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)采用使余量的加權(quán)積分為零的方法來(lái)求微分方程的近似解的方法稱采用使余量的加權(quán)積分為零的方法來(lái)求微分方程的近似解的方法稱為為加權(quán)余量法加權(quán)余量法。(2-8)(2-8)2.2 2.2 有限元法有限元法按照對(duì)權(quán)函數(shù)的不同選擇，加權(quán)余量法分為以下幾種：按照對(duì)權(quán)函數(shù)的不同選擇，加權(quán)余量法分為以下幾種：1. 1. 配點(diǎn)法配點(diǎn)法若域若域是獨(dú)立坐標(biāo)是獨(dú)立坐標(biāo)x x的函數(shù)，的函數(shù)，(x-xj(x-xj) )則有如下性質(zhì)：當(dāng)則有如下性質(zhì)：當(dāng)xxjxxj時(shí)，時(shí)，WjWj=0=