固體物理基礎(chǔ)教學-第3章ppt課件

1、第第3 3章章 晶格振動與晶體的熱學性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學性質(zhì) 3-1 一維單原子鏈模型一維單原子鏈模型 3-2 一維雙原子鏈模型一維雙原子鏈模型 3-3 確定晶格振動譜的實驗方法確定晶格振動譜的實驗方法 3-4 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 3-5 非諧作用產(chǎn)生的晶體熱學性質(zhì)非諧作用產(chǎn)生的晶體熱學性質(zhì)u 掌握掌握u 了解了解3-1 3-1 一維單原子鏈模型一維單原子鏈模型一維單原子鏈模型一維單原子鏈模型格波及其色散關(guān)系格波及其色散關(guān)系簡約布里淵區(qū)簡約布里淵區(qū)長波極限下的格波長波極限下的格波聲子聲子3-1 3-1 一維單原子鏈模型一維單原子鏈模型 一維單原子鏈：最簡單的晶格模型一維單

2、原子鏈：最簡單的晶格模型 晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式 格波格波 格波的研究方法：格波的研究方法： 計算原子之間的相互作用力計算原子之間的相互作用力 根據(jù)牛頓定律寫出原子運動方程，并求解方程根據(jù)牛頓定律寫出原子運動方程，并求解方程 一維單原子鏈模型：一維單原子鏈模型： 平衡時相鄰原子間距為平衡時相鄰原子間距為a（即原胞體積為（即原胞體積為a） 原子質(zhì)量為原子質(zhì)量為m 原子限制在沿鏈方向運動原子限制在沿鏈方向運動 原子原子n離開平衡位置位移離開平衡位置位移n 原子原子n和原子和原子n+1間相對位移間相對位移1nn平衡位置平衡位置非平衡位置非平衡位置

3、3-1 3-1 原子作用力的處理：簡諧近似原子作用力的處理：簡諧近似 忽略高階項，簡諧近似考慮原子忽略高階項，簡諧近似考慮原子振動，相鄰原子間相互作用勢能振動，相鄰原子間相互作用勢能 相鄰原子間作用力相鄰原子間作用力 只考慮相鄰原子的作用，第只考慮相鄰原子的作用，第n個個原子受到的作用力原子受到的作用力 第第n個原子的運動方程個原子的運動方程2221()()2ad vv adr22,()advd vfddr 平衡位置平衡位置非平衡位置非平衡位置2112(2)nnnndmdt 11()()nnnn 11(2)nnn VOar3-1 3-1 格波的物理意義格波的物理意義 上式的解原子振動位移具有平

4、面波的形式上式的解原子振動位移具有平面波的形式 naq是第是第n個原子的振動位相因子個原子的振動位相因子 A是原子振動振幅，為常數(shù)是原子振動振幅，為常數(shù) 是格波的角頻率，為常數(shù)；是格波的角頻率，為常數(shù)；q是格波的波數(shù)是格波的波數(shù) 和和q滿足以下的色散關(guān)系滿足以下的色散關(guān)系 連續(xù)介質(zhì)中的波如聲波可表示為，則可看出連續(xù)介質(zhì)中的波如聲波可表示為，則可看出 格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式 一個格波表示的是所有原子同時做頻率為一個格波表示的是所有原子同時做頻率為的振動的振動 aq取值任意加減取值任意加減2的整數(shù)倍對所有原子的振動沒有影響，的整數(shù)倍對所有原子的振動沒有

5、影響，所以可將波數(shù)所以可將波數(shù)q取值限制為取值限制為()it naqnAe224sin ()2aqm(2)xitAeqaa3-1 3-1 簡約布里淵區(qū)簡約布里淵區(qū) aq取值任意加減2的整數(shù)倍對所有原子的振動沒有影響紅線：q=/2a綠線：q=5/2a將波數(shù)q取值限制為即波數(shù)q取值在簡約布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)中第一章內(nèi)容：簡約布里淵區(qū)內(nèi)的全部波矢代表了晶體中所有的狀態(tài)，區(qū)外的波矢都可通過平移倒格矢在該區(qū)內(nèi)找到等價狀態(tài)點；討論固體性質(zhì)時，可以只考慮第一布里淵區(qū)。qaa3-1 3-1 邊界條件邊界條件 一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每個原一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每個原子

6、的振動形式都一樣子的振動形式都一樣 實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運動方程來描述不能用中間原子的運動方程來描述 但如果用與其它原子不同的運動方程描述兩端的少數(shù)原子，但如果用與其它原子不同的運動方程描述兩端的少數(shù)原子，則會導致相互聯(lián)立的方程求解更加復雜則會導致相互聯(lián)立的方程求解更加復雜 采用玻恩卡曼周期性邊界條件避免這種情況采用玻恩卡曼周期性邊界條件避免這種情況 含義：原子鏈首尾的振動情況必須復原含義：原子鏈首尾的振動情況必須復原 玻恩卡曼周期性玻恩卡曼周期性邊界條件限制波數(shù)邊界條件限制波數(shù)在簡約布里淵區(qū)內(nèi)在簡

7、約布里淵區(qū)內(nèi)取均勻分布的取均勻分布的N個個分立值分立值3-1 3-1 格波的色散關(guān)系格波的色散關(guān)系 取正值，則有取正值，則有 頻率是波數(shù)的偶函數(shù)頻率是波數(shù)的偶函數(shù) 色散關(guān)系曲線具有周期性，色散關(guān)系曲線具有周期性，僅取簡約布里淵區(qū)的結(jié)果即可僅取簡約布里淵區(qū)的結(jié)果即可 由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，只有滿足的格波由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，只有滿足的格波才能在一維單原子鏈晶體中傳播，其它頻率的格波將被強才能在一維單原子鏈晶體中傳播，其它頻率的格波將被強烈衰減烈衰減224sin ()2aqm2sin()2aqm02/ ma -a 02a 2a -q (q)3-1 3-1 格波取值的長波極限格波取值的長波極限 長波

8、極限情況長波極限情況 一維單原子格波相當于波速為一維單原子格波相當于波速為的連續(xù)介質(zhì)波的連續(xù)介質(zhì)波 相鄰兩個原子之間的位相差相鄰兩個原子之間的位相差趨于趨于0，晶體內(nèi)所有原子振動，晶體內(nèi)所有原子振動情況相同情況相同(0,)qasin(),22aqaqaqm/am3-1 3-1 聲子聲子 晶格振動晶格振動 可通過引入簡正坐標進行量子化處理，其結(jié)論可可通過引入簡正坐標進行量子化處理，其結(jié)論可用用“聲子描畫聲子描畫 振動能量的本征值為振動能量的本征值為，其中為，其中為nq聲子數(shù)聲子數(shù) 聲子含義：晶格振動格波的能量量子聲子含義：晶格振動格波的能量量子 聲子是一種元激發(fā)，可與電子或光子發(fā)生作用聲子是一種

9、元激發(fā)，可與電子或光子發(fā)生作用 聲子具有能量、動量，看作是聲子具有能量、動量，看作是“準粒子準粒子” 晶格振動的問題轉(zhuǎn)化為聲子系統(tǒng)問題的研究晶格振動的問題轉(zhuǎn)化為聲子系統(tǒng)問題的研究1()2qnqqnh20赫茲-20000赫茲，高于20000赫茲的叫超聲波 聲子能量(eV)1100100000.010.13-2 3-2 一維雙原子鏈模型一維雙原子鏈模型一維雙原子鏈模型一維雙原子鏈模型聲學波與光學波聲學波與光學波聲學波與光學波的長波極限聲學波與光學波的長波極限長光學波的特性長光學波的特性3-2 3-2 一維雙原子鏈模型一維雙原子鏈模型 兩種原子兩種原子m和和M (M m) 構(gòu)成一維復式格子構(gòu)成一維復

10、式格子 M原子位于原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 m原子位于原子位于2n, 2n+2, 2n+4 晶格常數(shù)、同種原子間的距離：晶格常數(shù)、同種原子間的距離：2a 第第2n+1個個M原子的方程原子的方程 第第2n個個m原子的方程原子的方程 解也具有平面波解也具有平面波的形式的形式 兩種原子振動的兩種原子振動的振幅振幅m取取A，M取取B一般來說一般來說是不同的是不同的221212222(2)nnnndMdt 22221212(2)nnnndmdt 3-2 3-2 聲學波與光學波聲學波與光學波 色散關(guān)系有不同的兩種色散關(guān)系有不同的兩種 即一維復式晶格中存在兩種即一維復式晶格中存在兩種獨立的格

11、波：獨立的格波： 聲學波頻率較低）聲學波頻率較低） 光學波頻率較高）光學波頻率較高） 命名主要根據(jù)兩種格波在長命名主要根據(jù)兩種格波在長波極限波極限 ( q0 ) 的性質(zhì)的性質(zhì)1 2222()411sin()mMmMaqmMmM1 2222()411sin()mMmMaqmMmM3-2 3-2 聲學波的長波極限聲學波的長波極限 頻率頻率 兩種原子振幅比值兩種原子振幅比值 兩種原子的振幅和位兩種原子的振幅和位相趨于一致，運動方相趨于一致，運動方式?jīng)]有差別式?jīng)]有差別 長聲學波代表原胞質(zhì)長聲學波代表原胞質(zhì)心原胞整體振動心原胞整體振動220,sin()qaqaqmMmM1BA3-2 3-2 光學波的長波

12、極限光學波的長波極限 頻率頻率 兩種原子振幅比值兩種原子振幅比值 同種原子振動位相一致，同種原子振動位相一致，相鄰原子振動相反相鄰原子振動相反 長光學波代表原胞質(zhì)心長光學波代表原胞質(zhì)心保持不變的振動，原胞保持不變的振動，原胞中不同原子做相對運動中不同原子做相對運動0,2mMqmMBmAM 3-2 3-2 長光學波的特性長光學波的特性 長聲學波的頻率正比于波數(shù)，相當于把一維原子鏈看做連長聲學波的頻率正比于波數(shù)，相當于把一維原子鏈看做連續(xù)介質(zhì)時的彈性波，類似于聲波續(xù)介質(zhì)時的彈性波，類似于聲波 長光學波代表晶格的高頻振動，實際晶體中在長光學波代表晶格的高頻振動，實際晶體中在10131014Hz，對應(yīng)

13、于遠紅外光波，對應(yīng)于遠紅外光波 電磁波只與波數(shù)相同的格波電磁波只與波數(shù)相同的格波發(fā)生相互作用發(fā)生相互作用 長聲學波的頻率太低，無法長聲學波的頻率太低，無法與電磁波作用與電磁波作用 長光學波可與遠紅外光作用長光學波可與遠紅外光作用 離子晶體中光學波的共振能引離子晶體中光學波的共振能引起對遠紅外光的強烈吸收，可起對遠紅外光的強烈吸收，可應(yīng)用于紅外光譜學應(yīng)用于紅外光譜學c0c q3-3 3-3 確定晶格振動譜的實驗方法確定晶格振動譜的實驗方法中子的非彈性散射中子的非彈性散射可見光的非彈性散射可見光的非彈性散射拉曼光譜拉曼光譜X射線的非彈性散射射線的非彈性散射3-3 3-3 確定晶格振動譜的實驗方法確

14、定晶格振動譜的實驗方法 晶格振動譜可以利用中子、可見光光子或晶格振動譜可以利用中子、可見光光子或X光光子受晶格光光子受晶格的非彈性散射來測定。的非彈性散射來測定。 中子或光子與晶格的相互作用即中子或光子與晶中子或光子與晶格的相互作用即中子或光子與晶體中聲子的相互作用。中子或光子受聲子的非彈性散體中聲子的相互作用。中子或光子受聲子的非彈性散射表現(xiàn)為中子吸收或發(fā)射聲子的過程。射表現(xiàn)為中子吸收或發(fā)射聲子的過程。 以下只討論單聲子過程。以下只討論單聲子過程。3-3 3-3 中子的非彈性散射中子的非彈性散射 中子的非彈性散射是確定晶格振動譜最有效的實驗方法中子的非彈性散射是確定晶格振動譜最有效的實驗方法

15、 中子經(jīng)晶格散射后，能量德布羅意波頻率和動量德中子經(jīng)晶格散射后，能量德布羅意波頻率和動量德布羅意波數(shù)發(fā)生變化，分別滿足能量守恒和準動量守恒布羅意波數(shù)發(fā)生變化，分別滿足能量守恒和準動量守恒 “+”：吸收聲子的散射過程；：吸收聲子的散射過程；“-”：發(fā)射聲子散射過程：發(fā)射聲子散射過程 準動量守恒：晶格周期性的平移對稱性不如空間均勻性高，準動量守恒：晶格周期性的平移對稱性不如空間均勻性高，所以發(fā)生在晶格中的中子散射的變換規(guī)則不如動量守恒嚴所以發(fā)生在晶格中的中子散射的變換規(guī)則不如動量守恒嚴格，允許相差格，允許相差，其中，其中Gn為某一倒格子矢量。為某一倒格子矢量。 慢中子的能量：慢中子的能量：0.02

16、0.04 eV，與聲子的能量同數(shù)量級；中，與聲子的能量同數(shù)量級；中子的德布羅意波長：子的德布羅意波長：2310-10 m23 ），與晶格常數(shù)），與晶格常數(shù)同數(shù)量級；可直接準確地給出晶格振動譜的信息同數(shù)量級；可直接準確地給出晶格振動譜的信息 局限性：不適用于原子核對中子有強俘獲能力的情況局限性：不適用于原子核對中子有強俘獲能力的情況 2121EE qhhhnGh21n21 ppkkqGhhhh3-3 3-3 典型晶格振動譜典型晶格振動譜PbCu3-3 3-3 典型晶格振動譜典型晶格振動譜SiGaAs3-3 3-3 典型晶格振動譜典型晶格振動譜金剛石金剛石NaI3-3 3-3 可見光的非彈性散射可

17、見光的非彈性散射 發(fā)射或吸收光學聲子的散射稱為拉曼散射發(fā)射或吸收光學聲子的散射稱為拉曼散射發(fā)射或吸收聲學聲子的散射稱為布里淵散射發(fā)射或吸收聲學聲子的散射稱為布里淵散射 入射光和散射光遵循能量守恒和準動量守恒入射光和散射光遵循能量守恒和準動量守恒 拉曼散射：入射光感應(yīng)產(chǎn)生的偶極矩將拉曼散射：入射光感應(yīng)產(chǎn)生的偶極矩將向空間輻射電磁波，形成散射光；而偶向空間輻射電磁波，形成散射光；而偶極矩會被晶格振動所調(diào)制，從而導致頻極矩會被晶格振動所調(diào)制，從而導致頻率改變的非彈性散射率改變的非彈性散射 C.V.Rman (1888-1970), 印度物理學家，印度物理學家，因研究光的散射并發(fā)現(xiàn)拉曼效應(yīng)獲得因研究光

18、的散射并發(fā)現(xiàn)拉曼效應(yīng)獲得1930年諾貝爾物理學獎年諾貝爾物理學獎21n21 ppkkqGhhhh 2121EE qhhh3-3 3-3 各種光散射現(xiàn)象的比較各種光散射現(xiàn)象的比較 Rayleigh散射：彈性散射光的頻率不發(fā)生變化散射：彈性散射光的頻率不發(fā)生變化 Raman散射：入射光與晶格振動的光學波相互作用，導致散射：入射光與晶格振動的光學波相互作用，導致非彈性散射光的頻率改變非彈性散射光的頻率改變 Stokes散射：原子內(nèi)部的無輻射躍遷導致散射光頻率減小散射：原子內(nèi)部的無輻射躍遷導致散射光頻率減小 Anti-Stokes散射：原子內(nèi)部的熱激發(fā)導致散射光頻率增加散射：原子內(nèi)部的熱激發(fā)導致散射光

19、頻率增加 Brillouin散射：晶格振動的聲學波使晶體的折射率散射：晶格振動的聲學波使晶體的折射率n發(fā)生周發(fā)生周期性變化，從而使入射光發(fā)生非彈性散射期性變化，從而使入射光發(fā)生非彈性散射3-3 X3-3 X射線的非彈性散射射線的非彈性散射 X光光子的波長約為光光子的波長約為10-8 cm的數(shù)量級，其波矢與整個布里的數(shù)量級，其波矢與整個布里淵區(qū)的范圍相當，原則上說，用淵區(qū)的范圍相當，原則上說，用X光的非彈性散射可以研光的非彈性散射可以研究整個晶格振動譜。究整個晶格振動譜。 缺陷：一個典型缺陷：一個典型X光光子的能量約為光光子的能量約為104 eV，一個典型聲，一個典型聲子的能量約為子的能量約為1

20、0-2 eV。一個。一個X光光子吸收或發(fā)射一個光光子吸收或發(fā)射一個聲子而發(fā)生非彈性散射時，聲子而發(fā)生非彈性散射時，X光光子能量的相對變化為光光子能量的相對變化為10-6，在實驗上要分辨這么小的能量改變是非常困難的。相，在實驗上要分辨這么小的能量改變是非常困難的。相比較而言，可見光的能量約為比較而言，可見光的能量約為1eV，采用拉曼散射能量的，采用拉曼散射能量的相對變化為相對變化為10-2，有利于降低誤差。，有利于降低誤差。3-4 3-4 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論晶體熱容的經(jīng)典理論晶體熱容的經(jīng)典理論晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論愛因斯坦模型愛因斯坦模型德拜模型德拜模型3-4 3

21、-4 晶體熱容的經(jīng)典理論晶體熱容的經(jīng)典理論 固體定容熱容的定義，其中為固體的平均內(nèi)能固體定容熱容的定義，其中為固體的平均內(nèi)能 固體內(nèi)能包括晶格振動的能量和電子熱運動的能量固體內(nèi)能包括晶格振動的能量和電子熱運動的能量 溫度不是太低的情況，電子對比熱的貢獻很小，可忽略溫度不是太低的情況，電子對比熱的貢獻很小，可忽略 根據(jù)實驗結(jié)果，只考慮晶格振動對比熱的貢獻，有根據(jù)實驗結(jié)果，只考慮晶格振動對比熱的貢獻，有 經(jīng)典理論杜隆經(jīng)典理論杜隆珀替定律）：珀替定律）： 一個簡諧振動平均能量為一個簡諧振動平均能量為 kBT N個原子總的平均能量為個原子總的平均能量為 熱容熱容 高溫時與實驗很好符合高溫時與實驗很好符

22、合 實驗表明在低溫時，熱容量隨溫度迅速趨于零，無法解釋！實驗表明在低溫時，熱容量隨溫度迅速趨于零，無法解釋！VVCET E3VCTB3ENk TVBV3CETNk 3-4 3-4 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 單個振動模的振動能量量子化單個振動模的振動能量量子化 子系處于量子態(tài)子系處于量子態(tài) nj 的概率的概率 單個振動模的平均能量單個振動模的平均能量 單個振動模的熱容單個振動模的熱容jjj1()2EnhjBjBjj/nk Tnk TnnPeehhjjBjjjjj/121nk TnEP Eehhh/2j/2()(1)jBjBk TjVBk TVBeCETkk Te hhh3-4 3-4

23、 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 對于高溫極限狀況，對于高溫極限狀況， 與經(jīng)典理論符合與經(jīng)典理論符合 對于低溫極限狀況，對于低溫極限狀況， 與實驗結(jié)果相符合與實驗結(jié)果相符合 量子理論表明，晶體熱容與晶格振動頻率和溫度有關(guān)系量子理論表明，晶體熱容與晶格振動頻率和溫度有關(guān)系Bjk T? hjBjB/j2B/2()(1)k TVk TBeCkk TehhhBjk T= h2/1()0jBjVBk TBCkk Tehh3-4 3-4 愛因斯坦模型愛因斯坦模型 愛因斯坦模型的晶格振動假設(shè)方案：愛因斯坦模型的晶格振動假設(shè)方案： N個原子構(gòu)成的晶體，各原子的振動視作相互獨立個原子構(gòu)成的晶體，各原子的振

24、動視作相互獨立 所有的原子以相同的頻率所有的原子以相同的頻率0振動忽略了各格波頻率差別）振動忽略了各格波頻率差別） 每個原子可沿三個方向振動，共有每個原子可沿三個方向振動，共有3N個頻率個頻率0的振動的振動 直接得到直接得到 能夠反映出溫度下降時熱容變能夠反映出溫度下降時熱容變化的趨勢右圖：金剛石）化的趨勢右圖：金剛石） 局限：低溫時隨溫度呈指數(shù)下降局限：低溫時隨溫度呈指數(shù)下降與三次方關(guān)系不符與三次方關(guān)系不符00/20/23()(1)BBk TVBk TBeCNkk Tehhh0203()Bk TVBBCNkek Thh3-4 3-4 德拜模型德拜模型 德拜模型的晶格振動假設(shè)方案：德拜模型的晶

25、格振動假設(shè)方案： 以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波，即以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波，即 q 格波包含有格波包含有1個縱波和個縱波和2個獨立的橫波個獨立的橫波 三種格波的波矢三種格波的波矢 q 在倒易空間均勻準連續(xù)分布在倒易空間均勻準連續(xù)分布 假設(shè)晶體中只存在小于某一假設(shè)晶體中只存在小于某一m的長波以保證結(jié)果收斂的長波以保證結(jié)果收斂 得到得到 定義德拜溫度定義德拜溫度，并令，并令 有有BmB/22/320mB9()(1)k TVk TReCdk TehhhDmBkhBk Th4/3209 ()(1)DTVDTeCRde3-4 3-4 德拜模型德拜模型 高溫極限下高溫極限下 晶體總的熱容晶體總的熱容

26、低溫極限下低溫極限下 晶體總的熱容晶體總的熱容 均與實驗結(jié)果符合均與實驗結(jié)果符合 溫度愈低時，德拜模型近似計算結(jié)果愈好，因為溫度很低溫度愈低時，德拜模型近似計算結(jié)果愈好，因為溫度很低時，主要的只有長波格波的激發(fā)，而對于長波，晶格可被時，主要的只有長波格波的激發(fā)，而對于長波，晶格可被看作是連續(xù)介質(zhì)，這正是德拜模型的假設(shè)之一看作是連續(xù)介質(zhì)，這正是德拜模型的假設(shè)之一 局限：實驗表明德拜溫度隨溫度變化而改變，對同一種材局限：實驗表明德拜溫度隨溫度變化而改變，對同一種材料并不是一個常數(shù)料并不是一個常數(shù)43312()15VDTCRT1,BBDk TTkh=? h3VCR1,BBDk TTkh?= h3-5 3-5 非諧作用產(chǎn)生的晶體熱學性質(zhì)非諧作用產(chǎn)生的晶體熱學性質(zhì)晶體的熱膨脹晶體