一元線性回歸方差分析顯著性分析

1、一元線性回歸分析及方差分析與顯著性檢驗某位移傳感器的位移x 與輸出電壓y 的一組觀測值如下：（單位略）設x 無誤差，求y 對x 的線性關系式，并進行方差分析與顯著性檢驗。（附：F0。10(1，4)=4.54，F(xiàn)0。05(1，4)=7.71，F(xiàn)0。01(1，4)=21.2）回歸分析是研究變量之間相關關系的一種統(tǒng)計推斷法。一 一元線性回歸的數(shù)學模型在一元線性回歸中，有兩個變量，其中 x 是可觀測、可控制的普通變量，常稱它為自變量或控制變量，y 為隨機變量，常稱其為因變量或響應變量。通過散點圖或計算相關系數(shù)判定y與x之間存在著顯著的線性相關關系，即y與x之間存在如下關系： y=a+b*x+ (1)通

2、常認為N0,2且假設2與x無關。將觀測數(shù)據(jù)xi,yi (i=1，n)代入(1)再注意樣本為簡單隨機樣本得： yi=a+b*xi+i1n獨立同分布N0,2 (2)稱(1)或(2)(又稱為數(shù)據(jù)結構式)所確定的模型為一元(正態(tài))線性回歸模型。對其進行統(tǒng)計分析稱為一元線性回歸分析。 模型(2)中 EY= a+b*x，若記 y=E(Y),則 y=a+bx,就是所謂的一元線性回歸方程，其圖象就是回歸直線，b 為回歸系數(shù)，a 稱為回歸常數(shù)，有時也通稱 a、b 為回歸系數(shù)。設得到的回歸方程殘差方程為根據(jù)最小二乘原理可求得回歸系數(shù)b0和b。對照第五章最小二乘法的矩陣形式，令則誤差方程的矩陣形式為對照，設測得值

3、的精度相等，則有將測得值分別代入上式，可計算得其中二、回歸方程的方差分析及顯著性檢驗問題：這條回歸直線是否符合y 與x之間的客觀規(guī)律回歸直線的預報精度如何？解決辦法：方差分析法分解N個觀測值與其算術平均值之差的平方和；從量值上區(qū)別多個影響因素；用F檢驗法對所求回歸方程進行顯著性檢驗。（一）回歸方程的方差分析總的離差平方和（即N個觀測值之間的變差），可以證明：S=U+Q其中，U回歸平方和，反映總變差中由于x和y的線性關系而引起 y變化的部分。Q殘余平方和，反映所有觀測點到回歸直線的殘余誤差，即其它因素對y變差的影響。（二）回歸方程顯著性檢驗 F檢驗法基本思路：方程是否顯著取決于U和Q的大小，U越

4、大Q越小說明y與x的線性關系愈密切。計算統(tǒng)計量F對一元線性回歸，應為查F分布表，根據(jù)給定的顯著性水平和已知的自由度1和N-2進行檢驗：若， 回歸在0.01的水平上高度顯著?；貧w在0.05的水平上顯著?；貧w在0.1的水平上顯著?；貧w不顯著。（三）殘余方差與殘余標準差殘余方差：排除了x 對y的線性影響后，衡量y隨機波動的特征量。殘余標準差：含義：越小，回歸直線的精度越高。程序如下：test=1 5 10 15 20 25; 0.1051 0.5262 1.0521 1.5775 2.1031 2.6287 N=length(test(1,:); sx=0;sx2=0;sy=0;sy2=0;sxy=

5、0;Lxy=0;Lyy=0;for i=1:N sx=sx+test(1,i); sx2=sx2+test(1,i)2; sy=sy+test(2,i); sy2=sy2+test(2,i)2; sxy=sxy+test(1,i)*test(2,i); Lxy=Lxy+(test(1,i)-sum(test(1,:)/N)*(test(2,i)-sum(test(2,:)/N); Lyy=Lyy+(test(2,i)-sum(test(2,:)/N)2;endr=N,sx;sx,sx2sy;sxy;a=r(1);b=r(2);U=b*Lxy;Q=Lyy-U;F=(N-2)*U/Q;x=test

6、(1,:);y=a+b*x;eq=sum(test(2,:)/N;ssd=0;ssr=0;for i=1:N ssd=ssd+(test(2,i)-y(i)2; ssr=ssr+(y(i)-eq)2;endsst=ssd+ssr;RR=ssr/sst;str=blanks(5),'y=','(',num2str(a),')','+','(',num2str(b),')','*x'disp(' ')disp('回歸方程為')disp(str)disp(&

7、#39;R2擬合優(yōu)度校驗')strin='R2=',num2str(RR);disp(strin)disp('方差檢驗：')strin='sgm2=',num2str(sgm);disp(strin)disp('F-分布顯著性校驗')stri='F計算值',num2str(F),blanks(4),'自由度f1=1,f2=',num2str(N-2);disp(stri)disp('注：請對照F-分布表找到所需置信水平下的F臨界值Fa，若F>Fa，則通過檢驗。')yy=a+b*test(1,:);plot(test(1,:),test(2,:),'r.'),hold onplot(test(1,:),yy,'b-'),hold offtitle(str)結果如下：test = 1.0000 5.0000 10.0000 15.0000 20.0000 25.0000 0.1051 0.5262 1.0521 1.5775 2.1031 2.6287 回歸方程為: y=(0.0003321)+(0.105