工程力學(xué)課件扭轉(zhuǎn)

1、1291 扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例 92 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖93 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)純剪切薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)純剪切94 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 強度條件強度條件95 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度條件剛度條件96 矩形截面桿扭轉(zhuǎn)理論簡介矩形截面桿扭轉(zhuǎn)理論簡介第九章第九章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 391 扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例 構(gòu)件特征構(gòu)件特征：等圓截面直桿：等圓截面直桿圓軸圓軸。MM受力特征受力特征：外力偶矩的作用面與桿件的軸線相垂直。：外力偶矩的作用面與桿件的軸線相垂直。 兩個橫截面之間繞桿軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動兩個橫截面之間繞桿軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動

2、 ，稱為，稱為扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角。變形特征變形特征：縱向線傾斜一個角度：縱向線傾斜一個角度 ，稱為，稱為剪切角剪切角( (或或稱切應(yīng)變稱切應(yīng)變) )；AB4工工 程程 實實 例例5工工 程程 實實 例例對稱扳手擰緊鏍帽對稱扳手擰緊鏍帽6扭轉(zhuǎn)工扭轉(zhuǎn)工 程程 實實 例例792 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 一、外力偶矩的計算一、外力偶矩的計算 其中：其中：P 功率，千瓦（功率，千瓦（kW）其中：其中：P 功率，馬力（功率，馬力（PS）其中：其中： n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（分（rpm）MM MP602 n n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（分（rpm）其中：其中： 角速度（角速度（1/

3、s）P 功率（功率（W）602 nMP 892 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 一、外力偶矩的計算一、外力偶矩的計算 功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：m)(kN549. 9 nPMm)(kN024. 7 nPM其中：其中：P 功率，千瓦（功率，千瓦（kW）其中：其中：P 功率，馬力（功率，馬力（PS）1PS=735.5W , 1kW=1.36PSm)(N 9549 nPM n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（分（rpm）93 扭矩的符號規(guī)定：扭矩的符號規(guī)定： “T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之

4、為負。反之為負。二、扭矩及扭矩圖二、扭矩及扭矩圖 1 扭矩：扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩MMMT0 xMxMTMT 0104 扭矩扭矩圖圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；扭矩變化規(guī)律；xTMM|T|max值及其截面位置值及其截面位置 危險截面（強度計算）。危險截面（強度計算）。11例例1已知：一傳動軸，已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入，主動輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出從動輪輸出 P2=150kW

5、，P3=150kW，P4=200kW，試繪，試繪制扭矩圖。制扭矩圖。nA B C DM2 M3 M1 M4解：計算外力偶矩解：計算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.549549. 911 nPMm)(kN 78. 43001509.549549. 9232 nPMMm)(kN 37. 63002009.549549. 944 nPM12nA B C DM2 M3 M1 M4112233求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）0 , 021 MTMCmkN56. 9)78. 478. 4( , 0 322322 MMTMMTmkN37. 6 , 0 4343 MTMT2M11m

6、kN78. 4 21 MT1T13mkN 569max .TBC段為危險截面。段為危險截面。xT繪制扭矩圖繪制扭矩圖nA B C D4.78 4.78 15.9 6.374.789.566.37kNmmkN56. 9 2 TmkN37. 6 3 TmkN78. 4 1 T14aa1.5 a2 a6kNm6kNm30kNm10kNm8kNm6kNm14kNm24kNm6kNmBACDExT1593 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)純剪切薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)純剪切 薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚壁厚0101R （R0：為平均半徑）為平均半徑）一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)實驗一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)實驗1.實驗前實驗前繪縱向線，繪縱向線，繪圓周線。

7、繪圓周線。R0dx162.實驗后實驗后圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均傾斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均傾斜成同樣大小的平行四邊形。MM17 橫截面和縱截面上無正應(yīng)力橫截面和縱截面上無正應(yīng)力 橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應(yīng)力半徑的均勻分布的切應(yīng)力 ，沿，沿圓周大小不變，而且由于管壁很圓周大小不變，而且由于管壁很薄，沿壁厚也可視為均勻分布薄，沿壁厚也可視為均勻分

8、布,方方向與該截面的扭矩方向相同。向與該截面的扭矩方向相同。3. 推論推論 MM單元體圖單元體圖abcddydxabcdydxtdb TR0184. 純剪切純剪切 單元體的四個側(cè)面上只有切單元體的四個側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。純剪切應(yīng)力狀態(tài)。5. 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理0 zM 單元體相互垂直的兩個平面上，切應(yīng)力必然成對出單元體相互垂直的兩個平面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。則共同指向或共同背離該交線。

9、dxdydxdy 故故acddxb dy z19二、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時切應(yīng)力二、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時切應(yīng)力 大小大小 TRAA 0d TRRARA 000 2d 2 20RT MMTabcdydxtdb R020三、剪切虎克定律三、剪切虎克定律 與與 的關(guān)系：的關(guān)系：LRRL00 RM RT 202022 M 與與 的關(guān)系：的關(guān)系：R0LMM21 T=M 020 2RL R T 剪切虎克定律：剪切虎克定律：當切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時當切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時 （ p)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系。，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系。 G22 G式中：式中：G為剪切彈性模量，不同材料的為剪切彈性模量

10、，不同材料的G值可通過實驗確定，值可通過實驗確定，鋼材的鋼材的G值約為值約為80GPa。u剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。的三個常數(shù)。u對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)見后面章節(jié)）：（推導(dǎo)見后面章節(jié)）：u在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。以推算出來。)1(2 EG23GdV)dx(dzdy)(dW212122121dddd GVWVVv 四、四、 剪切剪切應(yīng)變能應(yīng)變能acddxb

11、dy dzzxy單元體微功：單元體微功：剪切剪切應(yīng)變能密度：應(yīng)變能密度： VVVVVVVd2Gd21d2 dWdV 2494 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 強度條件強度條件實驗實驗變形幾何方面變形幾何方面物理關(guān)系方面物理關(guān)系方面靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面假設(shè)假設(shè)應(yīng)力公式應(yīng)力公式研究方法：研究方法： 強度條件強度條件25一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察26 1. 圓周線變形后其形狀、大小、間距保持不變。圓周線變形后其形狀、大小、間距保持不變。 2. 軸向無伸縮；軸向無伸縮； 3. 縱向線變成斜直線，但仍為平行線。縱向線變成斜直線，但仍為平行線。 平截面假設(shè)平截面假設(shè)：橫截面變形后仍

12、為形狀、大小、間距不變的平：橫截面變形后仍為形狀、大小、間距不變的平 面；只是繞軸線發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動。面；只是繞軸線發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動。 MM27二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力1. 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系dxdxGG dtg1dxd 距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與到圓心的距離與到圓心的距離 成正比。成正比。dxd 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。282. 物理關(guān)系物理關(guān)系虎克定律虎克定律： GxGxGGdddd xGdd dxd 293. 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：OdA ATAdAIApd2 令令xGI Tpdd pGITx dd 代入

13、物理關(guān)系式代入物理關(guān)系式 得得：xGdd pIT ddd 2AxGA AxGAddd 2 dA 30pIT 橫截面上距圓心為橫截面上距圓心為 處任一點切應(yīng)力計算公式。處任一點切應(yīng)力計算公式。4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面 直桿受扭。直桿受扭。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。極慣性矩，純幾何量，無物理意義。31單位：單位：mm4，m4。AIApd2 盡管由實

14、心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。AIApd2 對于實心圓截面：對于實心圓截面：DdO 202d2 D 32 4D 32對于空心圓截面：對于空心圓截面： 2222d2 dDdApAI )(DddDOd)(32 44dD )1(32 44 D33 應(yīng)力分布應(yīng)力分布（實心截面）（實心截面）（空心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。34 確定最大切應(yīng)力：確定最大切應(yīng)力：pIT由知：當ma

15、x , 2 DR)2 ( 22 maxDIWWTDITIDTppppp 令令 pWT max Wp 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：幾何量，單位：mm3或或m3。對于實心圓截面：163DRIWpp 對于空心圓截面：16)1(43 DRIWpp35三三 、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算強度條件：強度條件：對于等截面圓軸：對于等截面圓軸：maxmax pWT( 稱為許用切應(yīng)力。)強度計算：強度計算： 校核強度：校核強度： 設(shè)計截面尺寸：設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷：計算許可載荷：maxmax pWTmax TWp max pWT ）（空空：實

16、實：433116 16 DDWp36MPaITPAA4 .203205. 0405. 010004 MPaWTP7 .401605. 010003max 310248. 0820004 .20 GAA 37例例2 功率為功率為150kW，轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/秒的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖，秒的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖， 許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力 =30M Pa, 試校核其強度。試校核其強度。nPMTBC 2103 m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503 TM解：求扭矩，作扭矩圖解：求扭矩，作扭矩圖計算并校核切應(yīng)力強度計算并校核切應(yīng)力強度此軸滿足強度要求。此軸滿足強度要求。D3 =13

17、5D2=75 D1=70ABCMMxMPa231607. 01055. 133max pWT38例例3 已知：已知：n=100r/min， P=10馬力馬力， =20MPa， 試選擇實心試選擇實心軸直徑軸直徑d和內(nèi)外徑比值為和內(nèi)外徑比值為1/2的空心軸外徑的空心軸外徑 d2 。解：NmnPMT4 .7027024 d d2 d1 5 .0: 求求空空心心軸軸直直徑徑 432max116dTWTP mmTd6 .57116342 163maxdTWTP mmTd3 .56163 :求求實實心心軸軸直直徑徑39例例4已知：鋼質(zhì)實心軸和鋁質(zhì)空心軸（內(nèi)外徑比已知：鋼質(zhì)實心軸和鋁質(zhì)空心軸（內(nèi)外徑比 =0

18、.6），橫截面面積相同，），橫截面面積相同， 鋼鋼=80MPa， 鋁鋁=50MPa 。若僅從強度考慮，哪一根軸能承受較大。若僅從強度考慮，哪一根軸能承受較大的扭矩？的扭矩？解：鋼質(zhì)軸直徑為解：鋼質(zhì)軸直徑為d，鋁質(zhì)軸外徑為，鋁質(zhì)軸外徑為D，由兩軸橫截面面積相同得：，由兩軸橫截面面積相同得：222214)1(4 dDDd80163 dT 鋼鋼 5016143 DT鋁鋁 941. 050118050180432323433 ddDdTT鋁鋁鋼鋼鋼質(zhì)軸承受的扭矩：鋼質(zhì)軸承受的扭矩：鋁質(zhì)軸承受的扭矩：鋁質(zhì)軸承受的扭矩：所以：鋁質(zhì)軸承受的扭矩較大。所以：鋁質(zhì)軸承受的扭矩較大。40四、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上

19、的應(yīng)力四、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：低碳鋼試件：沿橫截面斷開。沿橫截面斷開。鑄鐵試件：鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成45 的的螺旋線斷開。螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。411. 點點M的應(yīng)力單元體如圖的應(yīng)力單元體如圖(b)：(a)M(b) (c)2. 斜截面上的應(yīng)力；斜截面上的應(yīng)力； 取分離體如圖取分離體如圖(d)：(d) x42(d) xnt轉(zhuǎn)角規(guī)定：轉(zhuǎn)角規(guī)定：x 軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時針：為逆時針：為“+”順時針：為順時針：為“”由平衡方程由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0 AAAF

20、n0)sinsind()coscosd(d ; 0 AAAF解得： 2cos ; 2sin 43 2cos ; 2sin 分析：當 = 0時，max00 , 0當 = 45時，0 , 45min45當 = 45時，0 , 45max45當 = 90時，max9090 , 0 45 由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時，在圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面和縱截面上的切應(yīng)力為最橫截面和縱截面上的切應(yīng)力為最大值；大值；在方向角在方向角 = 45 的斜截的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。應(yīng)力。4495 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度條件剛度條件一、扭轉(zhuǎn)時的變形一、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式由公式

21、pGITx dd 知：長為長為 l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角 為 lpxGIT0d d pGITl T為常數(shù)為常數(shù)45二、單位長度扭轉(zhuǎn)角二、單位長度扭轉(zhuǎn)角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、剛度條件三、剛度條件 (rad/m) maxmax pGIT /m)( 180 maxmax pGIT 或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度截面的抗扭剛度。 稱為許用單位長度扭轉(zhuǎn)角。46剛度計算的三方面：剛度計算的三方面： 校核剛度校核剛度： 設(shè)計截面尺寸：設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷計算許可載荷： max max GT

22、Ip max pGIT 47例例1長為長為 L=2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用切應(yīng)力，許用切應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若，試設(shè)計桿的外徑；若 =2/m ，試校核此桿的，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：解：設(shè)計桿的外徑設(shè)計桿的外徑max TWp 11643）（D Wp 314max 116 ）（TD48314max 116）（TD40NmxT代入數(shù)值得：D 0.0226m。 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度 180max

23、max PGIT4940NmxT 180maxmax PGIT mD/89. 1)1(108018040324429右端面轉(zhuǎn)角右端面轉(zhuǎn)角為：為： LPdxGIT0 202040dxGIxP )4(10202xxGIP ）rad( 033. 0 50例例2 某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率，輸入功率P1 = 500 馬力，馬力， 輸出功輸出功率分別率分別 P2 = 200馬力及馬力及 P3 = 300馬力，已知：馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：，試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC 段直徑段直徑 d2

24、？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？主動輪與從動輪如何安排合理？解：（解：（1 1）求外力偶矩，作扭矩圖求外力偶矩，作扭矩圖 500400P1P3P2ACBTx7.024 4.214(kNm)7.024kNmm)(kN024. 711 nPMkNm810. 2m)(kN024. 722 nPMkNm214. 43 M5116 31 TdWp mm4 .67107014. 3421416163632 Td 3116 Td 500400P1P3P2ACBTx7.0244.214(kNm)（2）按強度條件設(shè)計軸的直徑）按強度條件設(shè)計軸的直徑 mm

25、80107014. 3702416163631 Td52 mm4 .741108014. 3180421432 3249242 GTd41 32 GTd mm75 ,mm8521 dd綜上：綜上：500400P1P3P2ACBTx7.0244.214(kNm) 32 4 GTdIp（3 3）按）按剛度條件剛度條件設(shè)計軸的直徑設(shè)計軸的直徑mm841108014. 31807024324921 d53 （5 5）軸上的絕對值最大軸上的絕對值最大的的扭矩越小越合理，所以，扭矩越小越合理，所以，1輪和輪和2輪應(yīng)該輪應(yīng)該換換位。位。 4.2142.810（4）全軸選同一直徑時）全軸選同一直徑時 mm851 dd換位后換位后, ,軸的扭矩如圖所示。軸的扭矩如圖所示。此時此時, ,軸的最大直徑才為軸的最大直徑才為 75 75mm。500400P1P3P2ACBTx7.0244.214(kNm)Tx(kNm)54pABABWTAB )(:max pBCBCWTBC )(:max MPa2 .3616075. 030003 MPa9 .481605.012003 MPa9 .48max 55BCAB maxABPABABABPABABIGlTIGlT)()( 3205. 010825 . 01