必修四 第一章 三角函數(shù)(知識點與題型整理)

1、第12頁共9頁三角函數(shù)模塊專題復習任意角的三角函數(shù)及誘導公式二要點精講1任意角的概念旋轉開始時的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點O叫做叫a的頂點。規(guī)定:按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角按順時針方向旋轉所形成的角叫負角如果一條射線沒有做任何旋轉我們稱它形成了一個零角。2終邊相同的角、區(qū)間角與象限角3弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1rad，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）。角有正負零角之分，它的弧度數(shù)也應該有正負零之分.角a的弧度數(shù)的絕對值是：H=-，其中，l是圓心r角所對的弧長，r是半徑。角度制與弧度制的換算主要抓住180°二兀rad?；《扰c角度

2、互換公式：1rad=180°1°=工（rad）。兀180弧長公式：/=1aIr（a是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：s=2lr=21a1r24三角函數(shù)定義利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）,那么:y叫做a的正弦，記做sina，即sina=y；（2）x叫做a的余弦，記做cosa,即COSa=x；（3）-叫做a的正切，記做tana，即tana=-（x豐0）。xx5三角函數(shù)線6同角三角函數(shù)關系式1）平方關系：sin2a+cos2a=1,1+tan2a=sec2a,1+cot2a=csc2a2）倒數(shù)關系3）商數(shù)關系sinacsca=

3、1,cosaseca=1,tanacota=1,sinacosatana=,cota=cosasina幾個常用關系式：sina+cosa，sina-cosa，sinacosa；（三式之間可以互相表示）設smQ+coSa=圧匕憑.兩邊平方,得t2-;l+2sinClcosCL=t二smHcosCl=:,又1-2sin*ct'S'l=2-t=?anCl-ccs<l=±2-t3.7. 誘導公式可用十個字概括為“奇變偶不變，符號看象限”誘導公式一：sin(a+2k兀)=sina，cos(a+2k兀)=cosa，其中keZ誘導公式二：sin(180°+a)=-s

4、ina；cos(180°+a)=一cosa誘導公式三：sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa誘導公式四：sin(180-a)=sina；cos(180-a)=-cosa誘導公式五：sin(360°-a)=-sina；cos(360°-a)=cosaa兀-a兀+a2兀-a2k兀+a(keZ)兀a2sinsinasinasinasinasinacosacoscosacosacosacosacosasina(1) 要化的角的形式為k-180±a(k為常整數(shù));(2) 記憶方法：“函數(shù)名不變，符號看象限”(冗)sinx+=cosx=cosx(4J(

5、4丿k4丿(3)sin(kn+a)=(1)ksina；cos(kn+a)=(1)kcosa(kZ)；(4)cosx+=sinxk4丿k4丿三.思維總結1.幾種終邊在特殊位置時對應角的集合為:角的終邊所在位置角的集合X軸正半軸(XIa=kx360。，keZY軸正半軸xIa=kx360。+90。，keZX軸負半軸xIa=kx360。+180。,keZY軸負半軸xIa=kx360°+270°,kgZX軸xIa=kx180°,kgZY軸Ia=kx180°+90°,kgZ坐標軸xIa=kx90°,kgZa2. a、2a之間的關系。a若a終邊在第

6、一象限則乙終邊在第一或第三象限；2a終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。a若a終邊在第二象限則-終邊在第一或第三象限；2a終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。a若a終邊在第三象限則-終邊在第二或第四象限；2a終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。a若a終邊在第四象限則-終邊在第二或第四象限；2a終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。3學習本節(jié)內容時要注意如下幾點：（1）熟練地掌握常用的方法與技巧，在使用三角代換求解有關問題時要注意有關范圍的限制；（2）要注意差異分析，又要活用公式，要善于瞄準解題目標進行有效的變形，其解題一般思維模式為：發(fā)現(xiàn)差異，尋找聯(lián)系，合理轉化。三角函數(shù)的值與點P在終邊上的位置無關，僅

7、與角的大小有關.我們只需計算點到原點的距離tana=。xrx2+y2,那么sina=y,cosax2+y2三角函數(shù)的圖象與性質二要點精講1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像y=cosx”-3：0，、乓歹4兀-7兀-2兀-3»-1223兀.7兀.->o套一'3匚；x兀2n5冗222三角函數(shù)的單調區(qū)間：y=sinx的遞增區(qū)間是卜砍上，砍+打(keZ),_22_遞減區(qū)間是2如+巨,如+込(keZ)；_22_y=cosx的遞增區(qū)間是bk兀-兀,k兀(keZ),遞減區(qū)間是bk兀,k兀+兀(keZ),y=tanx的遞增區(qū)間是kK-,kK+-(keZ),I22丿3. 函數(shù)y=Asin

8、x+申)+B(其中A>0,®>0)最大值是A+B，最小值是B-A，周期是T=王，頻率是f二竺，相位是曲+P，初相是w2P；其圖象的對稱軸是直線wx+=k-+學keZ)，凡是該圖象與直線y二B的交點都是該圖象的對稱中心。4. 由y=sinx的圖象變換出y=sin(®x+p)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑,才能靈活進行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將y=sinx的圖

9、象向左(p>0)或向右(p<0=平移|p丨個單位，再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊蛔?>0),便得y=sin(3x+申)的圖象。w途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將y=sinx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膩A倍(3>0),再沿x軸向左(P>0)或向右(Pw|p|V0=平移個單位，便得y=sin(3x+申)的圖象。w5. 由y=Asin（3x+9）的圖象求其函數(shù)式：給出圖象確定解析式匚Asin（3兀+9）的題型，有時從尋找“五點”中的第一零點（竺，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找.準.第一個零點的位置。6. 對稱軸與對稱中心：y=sinx的對稱軸為

10、x二k兀+旳，對稱中心為（k兀,0）kgZ；2y=cosx的對稱軸為x=k兀，對稱中心為（k兀+矢,0）；2對于y二Asingx+©）和y二Acosgx+©）來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系。7. 求三角函數(shù)的單調區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標準式，要特別注意A、®的正負利用單調性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù)，并且在同一單調區(qū)間；8. 求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變形化成"y二Asin（wx+©）、y二Acos（wx+©）”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。9. 五點法作y=Asin（3

11、x+9）的簡圖：五點取法是設x=3x+9，由x取0、仝、n、2n來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。22三.思維總結1. 數(shù)形結合是數(shù)學中重要的思想方法，在中學階段，對各類函數(shù)的研究都離不開圖象，很多函數(shù)的性質都是通過觀察圖象而得到的。2. 作函數(shù)的圖象時，首先要確定函數(shù)的定義域。3. 對于具有周期性的函數(shù)，應先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個函數(shù)的圖象。4. 求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注意變形時x的取值范圍不能發(fā)生變化。5. 求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯誤。6. 函數(shù)的單

12、調性是在定義域或定義域的某個子區(qū)間上考慮的，要比較兩三角函數(shù)值的大小一般先將它們化歸為同一單調區(qū)間的同名函數(shù)再由該函數(shù)的單調性來比較大小。7. 判斷y=Asin（3兀+弔）（3>0）的單調區(qū)間，只需求j=Asin（3x+9）的相反區(qū)間即可，一般常用數(shù)形結合而求尸Asin（3x+9）（3<0=單調區(qū)間時，貝懦要先將x的系數(shù)變?yōu)檎模僭O法求之。三角恒等變形及應用二.要點精講1.兩角和與差的三角函數(shù)sin（a±P）=sinacosP土cosasinP；cos(a±B)=cosacosPsinasinP；tana±tanPtan（a±p）十1 +t

13、anatanP2二倍角公式sin2a=2sinacosa；cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；2tanatan2a=一1-tan2a3三角函數(shù)式的化簡常用方法：直接應用公式進行降次、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同角；三角公式的逆用等。（2）化簡要求：能求出值的應求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降冪公式.1.宀.1-cos2a1+cos2asinacosa=sin2a；sin2a=:cos2a=2 22（2）輔助角公式（萬能公式）asinx+bcosx=.'a2+b2-sin（

14、x+申），ba其中smQ=.,cosQ=a2+b2a2+b24三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關鍵在于"變角”如a=（a+卩丿-卩,2a=（a+卩丿+（a-卩丿等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實質上轉化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結合所求角的范圍及函數(shù)的單調性求得角。5三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征

15、，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關系，采用代入法消參法或分析法進行證明。三思維總結1兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學習時應注意以下幾點：（1）不僅對公式的正用逆用要熟悉，而且對公式的變形應用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如a=（a+卩）一卩，2a=（a+卩）+（a-卩）2a+卩=G+卩）+a等；（3）對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如cos(a+sin(a+P)sinP=cosa-tanP，(a+P)otan(a+P)(-tanatanP)=t

16、ana+tanP，tan(a+P)tanatanP=tan(a+P)-tanatana+tanP+tan(a+P)tanatanP=tan（4）注意倍角的相對性（5）要時時注意角的范圍（6）化簡要求熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。2證明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。第三講：三角函數(shù)單元部分易錯題解析（1）a終邊與e終邊共線（a的終邊在9終邊所在直線上）oa=0+k兀

17、（keZ）.（2）a終邊與9終邊關于x軸對稱oa=-0+2k兀（keZ）.（3）a終邊與9終邊關于y軸對稱oa=兀-0+2k兀（keZ）.（4）a終邊與9終邊關于原點對稱oa=兀+0+2k兀（keZ）.（5）a終邊在x軸上的角可表示為：a=k兀,keZ；a終邊在y軸上的角可表示為：,兀，"k兀，"兀a=k+,keZ；a終邊在坐標軸上的角可表示為：a=,keZ.如a的終邊與：的終邊226兀關于直線y=x對稱，則a=2如+,keZ1特殊角的三角函數(shù)值：30°45°60°0°90°180°270°15°

18、;75°(1)平方關系:sin2a+cos2a=1,1+tan2a=sec2a,1+cot2a=csc2a2) 倒數(shù)關系3) 商數(shù)關系sinacsca=1,cosaseca=1,tanacota=1,sinacosatana=,cota=cosasina3、正切函數(shù)y=tanx的圖象和性質:兀(1) 定義域：xIx豐-+k兀,keZ。遇到有關正切函數(shù)問題時，你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？(2) 值域是R，在上面定義域上無最大值也無最小值；(3) 周期性：是周期函數(shù)且周期是兀，它與直線y=a的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期兀。絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)

19、解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，,兀其它不定。如y=sin2x,y=|sinx|的周期都是兀，但y=|sinx|+cosx的周期為込,y=I2sin(3x-y=I2sin(3x-)+21,6y=|tanx|的周期不變；(4) 奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是k0(keZ)，特別提醒：正(余)切型函數(shù)的I2，0丿對稱中心有兩類：一類是圖象與x軸的交點，另一類是漸近線與x軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。(5) 單調性：正切函數(shù)在開區(qū)間+刼+刼丿(keZ)內都是增函數(shù)。但要注意在整個4.定I22丿三角函數(shù)圖象幾何性質y=Atan(®x+p)義域上三具有函數(shù)圖如下圖何性質i=ssin(nx+E)p)X片'/鄰中心Ix3-x4I=TH無窮對稱中心：由丁=0或y無意義確定鄰漸近線Xx2l=T12無對稱軸任意一條y軸的垂線與正切函數(shù)圖象都相交，且相鄰兩交點的距離為一個周期！鄰中心軸相距空12；，'4鄰中心x-xl=