（文章）兩圓位置關(guān)系的問答

1、兩圓位置關(guān)系學(xué)習(xí)問答1兩個(gè)圓有幾種位置關(guān)系？答：在平面上，兩圓的位置有：外離，外切，相交，內(nèi)切、內(nèi)含共五種位置關(guān)系在平面內(nèi)，兩圓相對運(yùn)動(dòng)，可以得到下面不同的位置關(guān)系，如下圖所示(1)兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離(2)兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切這個(gè)唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)(3)兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做這兩個(gè)圓相交兩個(gè)公共點(diǎn)都叫做交點(diǎn)(4)兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除去這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切這個(gè)唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)(要分清兩圓外切、內(nèi)切定義的區(qū)別)(5)

2、兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含(6)兩個(gè)圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例 觀察上圖，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩圓的半徑一定時(shí)，兩圓的位置關(guān)系與兩圓圓心的距離(圓心距)大小有關(guān)設(shè)兩圓半徑分別為R和R，圓心距為d，那么有：(1)兩圓外離dR+R；(2)兩圓外切d=R+R；(3)兩圓相交R-RdR+R(RR)；(4)兩圓內(nèi)切d=R-R(RR)；(5)兩圓內(nèi)含dR-R(RR)由以上討論可以知道平面上兩圓位置關(guān)系的確定有兩種方法第一種方法利用兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義確定記憶每個(gè)定義要結(jié)合圖形記憶，要根據(jù)每種位置關(guān)系的特點(diǎn)記憶，要按照兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)記憶第二種方法根據(jù)

3、兩圓位置關(guān)系，圓心距、半徑的數(shù)量關(guān)系的定理記憶要把兩圓的位置關(guān)系的圖形和兩圓位置關(guān)系的定理有機(jī)的結(jié)合起來，能夠看到兩圓位置關(guān)系的圖形就想起相應(yīng)的兩圓位置關(guān)系的定理；看到兩圓位置關(guān)系的定理就想到相應(yīng)的兩圓位置關(guān)系的圖形2怎樣判定兩圓相交？答：前面介紹過判定兩圓的位置關(guān)系有兩種方法：其一是根據(jù)兩圓位置關(guān)系的定義判斷；其二是根據(jù)兩圓位置關(guān)系和兩圓的圓心距、半徑的數(shù)量關(guān)系的定理判定當(dāng)兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)兩圓相交當(dāng)圓心距d和兩圓半徑R、R的關(guān)系為R-RdR+R時(shí)兩圓相交(RR)在兩圓的位置關(guān)系中，重點(diǎn)研究的是兩圓相交和兩圓相切下面就位置關(guān)系的定理進(jìn)行研究和討論在確定兩圓位置關(guān)系的定理中兩圓半徑的和與兩圓半

4、徑的差起著重要作用首先，若兩圓半徑之和等于圓心距，則兩圓外切反過來，若兩圓外切，則圓心距等于兩圓半徑的和其次，若兩圓半徑之差等于圓心距，則兩圓內(nèi)切反過來，若兩圓內(nèi)切，則圓心距等于兩圓半徑的差再有，若圓心距的取值在兩圓半徑的差與兩圓半徑的和之間時(shí)，則兩圓相交反過來，若兩圓相交時(shí)，圓心距的取值應(yīng)在兩圓半徑的差與兩圓半徑的和之間例1 已知O1的半徑為6厘米，O2的半徑為5厘米，圓心距為4厘米，則O1和O2的位置關(guān)系為（）A外離B外切C相交D內(nèi)切分析：先計(jì)算：兩圓半徑的差為R-R=1厘米，兩圓半徑的和為R+R=11厘米，而圓心距d=4厘米由R-RdR+R可知兩圓相交故選(C)例2 已知兩圓半徑之比為3

5、2，當(dāng)兩圓外切時(shí)圓心距為10厘米，求當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)的圓心距是多少？分析：當(dāng)兩圓外切時(shí)圓心距為10厘米，也就是兩圓半徑之和為10厘米，又兩圓半徑之比為32，所以兩圓半徑分別為6厘米和4厘米，這時(shí)兩圓半徑之差為2厘米，故當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)的圓心距為2厘米解答過程略例3 兩圓半徑分別為R和R(RR)，圓心距為d，且滿足R2+d2-R2=2Rd，這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是（）A外切B相交C內(nèi)切D外切或內(nèi)切分析：把關(guān)系式R2+d2-R2=2Rd，整理為(R-d+R)(R-d-R)=0，有R-d+R=0或R-d-R=0；所以有d=R+R或d=R-R故兩圓的位置關(guān)系是外切或內(nèi)切應(yīng)選(D)總之在研究兩圓位置關(guān)系時(shí)，兩圓半徑

6、的差與兩圓半徑之和這兩個(gè)數(shù)據(jù)起著非常重要的作用為了形像化地記憶，現(xiàn)推薦一種方法可叫做兩圓位置關(guān)系的數(shù)軸記法只要知道圓心距、兩圓半徑差、兩圓半徑和這三個(gè)數(shù)據(jù)就可在上面迅速查出兩圓的位置關(guān)系3相交兩圓的連心線和公共弦有什么關(guān)系？答：由相交兩圓的定理可知，相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦首先要分清容易混淆的兩個(gè)概念：連心線：經(jīng)過兩個(gè)圓心的直線叫做連心線圓心距：兩圓心之間的距離叫做圓心距連心線是直線；圓心距是兩圓心間線段的長度理解定理“相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦”時(shí)，應(yīng)明確以下三點(diǎn)：(1)連心線包含兩圓的直徑，(如圖1)，所以此連心線應(yīng)為兩相交圓的公共對稱軸(2)A是O1和O2上公共點(diǎn)，

7、所以它關(guān)于連心線的對稱點(diǎn)必然是既在O1上，又在O2上，即兩圓的交點(diǎn)B(3)對稱軸的性質(zhì)是垂直平分連結(jié)兩對稱點(diǎn)的線段解有關(guān)相交兩圓的題目時(shí)，常常要作出連心線、公共弦或連結(jié)交點(diǎn)與圓心，從而把兩圓的半徑、公共弦長的一半、圓心距等集中到同一個(gè)三角形中，利用三角形的有關(guān)知識(shí)加以解決例1 圖2中，兩等圓O1和O2相交于A、B，連心線O1O2交O1于D，交O2于C求證：四邊形ABCD是菱形證明：連結(jié)ABO1和O2是等圓，又O1O2垂直平分AB，AC=BC=BD=AD故四邊形ABCD是菱形本題利用相交兩圓連心線的性質(zhì)、垂徑定理及同圓或等圓中等弦對等弧、等弧對等弦的一些定理例2 圖3中，O1和O2相交于A、B，

8、若O1和O2的半徑分別為5厘米，4厘米，公共弦長AB=6厘米求兩圓的圓心距解：連結(jié)O1A、O2A，設(shè)O1O2與AB相交于C因?yàn)镺1O2垂直平分AB，利用兩圓相交，連心線的性質(zhì)把圓心距分成兩條線段，這兩條線段是兩個(gè)直角三角形的邊，利用解直角三角形求得以上兩例說明怎樣利用“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”解決計(jì)算題或證明題希望大家能總結(jié)這一類題的解題規(guī)律4兩圓相交或相切怎樣添輔助線？答：進(jìn)入兩圓位置關(guān)系學(xué)習(xí)，由于客觀條件的增加，使得有些題目趨于復(fù)雜，添加輔助線有助于解決這樣的問題在何種情況下添？又怎樣添？需要我們在學(xué)習(xí)及練習(xí)中及時(shí)歸納總結(jié)，現(xiàn)在常見輔助線的作法是：有關(guān)兩圓相交的問題，常添公共弦或連

9、心線為輔助線；有關(guān)兩圓相切的問題，常常添連心線或過切點(diǎn)的公切線為輔助線例1已知：圖4中，O1和O2相交于A、B，P在O1上，過交點(diǎn)A、B作兩圓的割線PAC和PBD求證：PO1與CD垂直證明：設(shè)PO1延長線和O1相交于E和CD相交于F，連結(jié)AE、ABPE是O1的直徑，PAE=90°，即l+2=90°1=3四邊形ABDC內(nèi)接于O2，圖42=D3+D=90°，PFD=90°PO1與CD垂直本例啟示我們：兩圓相交常作公共弦5怎樣確定兩圓的內(nèi)公切線和外公切線？答：首先應(yīng)弄清公切線、內(nèi)公切線和外公切線等概念和兩個(gè)圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線兩個(gè)圓在公切線同旁時(shí)，

10、這樣的公切線叫做外公切線圖5(1)兩個(gè)圓在公切線兩旁時(shí)，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線圖1(2)圖5根據(jù)定義可以分清什么是兩圓的內(nèi)公切線，什么是兩圓的外公切線由于兩圓的位置不同，這兩圓的公切線條數(shù)也不相同下面分別討論(1)當(dāng)兩圓外離時(shí)，可以作兩條外公切線和兩條內(nèi)公切線，故共有4條公切線；(2)當(dāng)兩圓外切時(shí)，可以作兩條外公切線和1條內(nèi)公切線，故共有3條公切線；(3)當(dāng)兩圓相交時(shí)，可以作兩條外公切線，而無法作出內(nèi)公切線，故共有2條公切線；(4)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，只可作1條外公切線，而無法作兩圓的內(nèi)公切線，故共有1條公切線；(5)當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，沒有公切線 反過來，若兩圓有4條、3條、2條、1條、沒有公切線時(shí)，

11、也可判定兩圓的位置關(guān)系分別是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含介紹兩圓相外離時(shí)公切線的作法如下作兩圓的公切線，關(guān)鍵是作出切點(diǎn)，解決問題的方法是把它轉(zhuǎn)化為過一點(diǎn)作圓的切線問題可以想像把兩圓中較小的一個(gè)圓的半徑逐漸變小，最后成為一個(gè)點(diǎn)的情況；與小圓半徑變小的同時(shí)，大圓的半徑也相應(yīng)地變小相等的長度，可結(jié)合畫圖，得到作相離兩圓的外公切線轉(zhuǎn)化為過圓外一點(diǎn)作圓(輔助圓)的切線所以得出要先作出和大圓同心，并且半徑等于兩半徑之差的輔助圓如圖6所示，畫兩個(gè)圓的公切線時(shí)，總是以較大的圓的圓心為圓心，先畫一個(gè)輔助圓如果是畫外公切線那么輔助圓的半徑等于兩圓半徑的差；如果要畫的是內(nèi)公切線，那么輔助圓的半徑等于兩圓半徑的和輔助

12、圓畫好后，再從較小的圓的圓心作輔助圓的切線，連結(jié)切點(diǎn)和較大圓的圓心的線段，使之與較大圓相交于一點(diǎn)(畫外公切線時(shí)要延長)，然后過這交點(diǎn)畫輔助圓的切線的平行線，就得到要畫的公切線總之，畫外公切線和畫內(nèi)公切線的方法是一樣的，只是輔助圓的半徑不同圖6當(dāng)兩圓外切、兩圓相交時(shí)兩圓外公切線的作法與兩圓外離時(shí)的作法基本相同想一想兩圓外切時(shí)內(nèi)公切線的作法(過切點(diǎn)作兩圓連心線的垂線)6怎樣求兩圓公切線的長？答：兩圓公切線的長與圓心距和兩圓的半徑有關(guān)先熟悉兩圓公切線長的定義，再分別就兩圓的公切線長和外公切線長加以討論公切線上兩個(gè)切點(diǎn)的距離叫做公切線的長這與具有直線性質(zhì)的公切線是不相同的兩個(gè)概念先看怎樣求兩圓外公切線

13、的長例1 已知；圖7中，O1、O2的半徑分別為15厘米和8厘米，圓心距為25厘米，AB是O1、O2的外公切線切點(diǎn)分別是A、B求公切線AB的長分析：因?yàn)榍芯€垂直于過切點(diǎn)的半徑，求公切線的長AB，首先應(yīng)連結(jié)O1A、O2B，作O2CO1A于C，這樣問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)矩形和一個(gè)直角三角形的問題解：連結(jié)O1A、O2B，則O1AAB，O2BAB過O2作O2CO1A，垂足為C，則四邊形ABO2C為矩形，于是有CO2=AB，O2B=CA，O2CO1C在直角O1O2C中，O1O2=25，O1C=O1A-O2B=7即AB=24厘米圖7由圓的對稱性可知，圖1中有兩條外公切線，并且這兩條外公切線的長相等例2 圖8中，已知O1和O2的半徑分別為5厘米和3厘米，圓心距為10厘米，AB是O1和O2的內(nèi)公切線，切點(diǎn)分別為A、B求公切線的長AB分析：仿上例作輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形和矩形的