2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十四講 幾何的定值與最值

1、2019-20202019-2020 年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第二十四講幾何的定值與年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第二十四講幾何的定值與最值最值幾何中的定值問(wèn)題，是指變動(dòng)的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類(lèi)問(wèn)題，解幾何定值問(wèn)題的基本方法是：分清問(wèn)題的定量及變量，運(yùn)用特殊位置、極端位置，直接計(jì)算等方法，先探求出定值，再給出證明幾何中的最值問(wèn)題是指在一定的條件下， 求平面幾何圖形中某個(gè)確定的量 （如線(xiàn)段長(zhǎng)度、角度大小、圖形面積）等的最大值或最小值，求幾何最值問(wèn)題的基本方法有：1特殊位置與極端位置法；2幾何定理（公理）法；3數(shù)形結(jié)合法等注：幾何中的定值與最值

2、近年廣泛出現(xiàn)于中考競(jìng)賽中，由冷點(diǎn)變?yōu)闊狳c(diǎn)這是由于這類(lèi)問(wèn)題具有很強(qiáng)的探索性（目標(biāo)不明確），解題時(shí)需要運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法【例題就解】【例題就解】【例 1】如圖，已知 AB=10,P 是線(xiàn)段 AB 上任意一點(diǎn)，在 AB 的同側(cè)分別以 AP 和 PB 為邊作等邊 AAPC 和等邊BPD，則 CD 長(zhǎng)度的最小值為.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥如圖，作 CC丄 AB 于 C,DD丄 AB 于 D，DQ 丄 CC，CD2=DQ2+CQ2,DQ=AB 一常數(shù)，當(dāng) CQ 越小，CD 越小，本例也可設(shè) AP=，則 PB=，從代數(shù)角度探求 CD 的最小值.置是指：（1）

3、中點(diǎn)處、垂直位置關(guān)系等；（2）端點(diǎn)處、臨界位置等【例 2】 如圖， 圓的半徑等于正三角形 ABC 的高， 此圓在沿底邊 AB 滾動(dòng)， 切點(diǎn)為 T,圓交 AC、BC 于 M、N,則對(duì)于所有可能的圓的位置而言，MTN 為的度數(shù)（）A.從 30到 60變動(dòng) B.從 60到 90變動(dòng)C.保持 30不變 D.保持 60不變思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥先考慮當(dāng)圓心在正三角形的頂點(diǎn) C 時(shí)，其弧的度數(shù)，再證明一般情形，從而作出判斷注：幾何定值與最值問(wèn)題，一般都是置于動(dòng)態(tài)背景下，動(dòng)與靜是相對(duì)的，我們可以研究問(wèn)題中的變量，考慮當(dāng)變化的元素運(yùn)動(dòng)到特定的位置，使圖形變化為特殊圖形時(shí)，研究的量取得定值與最值【例 3】如圖，已知平

4、行四邊形 ABCD,AB=,BC=（），P 為 AB 邊上的一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn) DP 交 CB 的延長(zhǎng)線(xiàn)于 Q,求 AP+BQ 的最小值.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥設(shè) AP=，把 AP、BQ 分別用的代數(shù)式表示，運(yùn)用不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）來(lái)求最小值.【例 4】如圖，已知等邊ABC 內(nèi)接于圓，在劣弧上取異于 A、B 的點(diǎn) M,設(shè)直線(xiàn) AC 與 BM 相交于 K,直線(xiàn) CB 與 AM 相交于點(diǎn) N,證明：線(xiàn)段 AK 和 BN 的乘積與 M 點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān).思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥即要證 AKBN 是一個(gè)定值，在圖形中ABC 的邊長(zhǎng)是一個(gè)定值，說(shuō)明 AKBN 與 AB 有關(guān)，從圖知 ABABM 與 AANB 的公共邊，作

5、一個(gè)大膽的猜想,AKBN=AB2 從而我們的證明目標(biāo)更加明確.注：只要探求出定值，那么解題目標(biāo)明確，定值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問(wèn)題.【例 5】已知XYZ 是直角邊長(zhǎng)為 1 的等腰直角三角形（ZZ=90），它的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰 RtAABC（ZC=90）的三邊上，求ABC 直角邊長(zhǎng)的最大可能值.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥頂點(diǎn) Z 在斜邊上或直角邊 CA（或 CB）上，當(dāng)頂點(diǎn) Z 在斜邊 AB 上時(shí)，取 xy 的中點(diǎn)，通過(guò)幾何不等關(guān)系求出直角邊的最大值，當(dāng)頂點(diǎn) Z 在（AC 或 CB）上時(shí)，設(shè) CX=,CZ=,建立，的關(guān)系式，運(yùn)用代數(shù)的方法求直角邊的最大值.注：數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問(wèn)題，即適當(dāng)?shù)剡x取變

6、量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關(guān)系，再運(yùn)用相應(yīng)的代數(shù)知識(shí)方法求解.常見(jiàn)的解題途徑是：（1）利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，運(yùn)用判別式求幾何最值；（2）構(gòu)造二次函數(shù)求幾何最值.學(xué)力訓(xùn)練學(xué)力訓(xùn)練1. 如圖，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1,點(diǎn) P 為邊 BC 上任意一點(diǎn)（可與 B 點(diǎn)或 C 點(diǎn)重合），分別過(guò) B、C、D 作射線(xiàn) AP 的垂線(xiàn)，垂足分別是 B、C、D,貝 9BBZ+CCZ+DD的最大值為，最小值為2. 如圖，ZA0B=45，角內(nèi)有一點(diǎn) P,PO=10,在角的兩邊上有兩點(diǎn) Q,R（均不同于點(diǎn) O）,則厶 PQR 的周長(zhǎng)的最小值為.3.如圖，兩點(diǎn) A、B 在直線(xiàn) MN 外的同

7、側(cè)，A 到 MN 的距離 AC=8,B 到 MN 的距離 BD=5,CD=4,P在直線(xiàn) MN 上運(yùn)動(dòng)，則的最大值等于4.如圖，A 點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，B 點(diǎn)是弧 AN 的中點(diǎn)，P 點(diǎn)是直徑 MN 上一動(dòng)點(diǎn)，00的半徑為 1，則 AP+BP 的最小值為（）A1BCD5.如圖，圓柱的軸截面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 4 的正方形，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿看圓柱的側(cè)面移動(dòng)到 BC 的中點(diǎn) S 的最短距離是（）ABCD6.如圖、已知矩形 ABCD,R,P 戶(hù)分別是 DC、BC 上的點(diǎn)，E,F 分別是 AP、RP 的中點(diǎn)，當(dāng) P在 BC 上從 B 向 C 移動(dòng)而 R 不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（）A

8、.線(xiàn)段 EF 的長(zhǎng)逐漸增大 B.線(xiàn)段 EF 的長(zhǎng)逐漸減小C.線(xiàn)段 EF 的長(zhǎng)不改變 D.線(xiàn)段 EF 的長(zhǎng)不能確定7.如圖，點(diǎn) C 是線(xiàn)段 AB 上的任意一點(diǎn)（C 點(diǎn)不與 A、B 點(diǎn)重合），分別以 AC、BC 為邊在直線(xiàn) AB 的同側(cè)作等邊三角形 ACD 和等邊三角形 BCE,AE 與 CD 相交于點(diǎn) M,BD 與 CE 相交于點(diǎn)N.（1）求證:MNAB；若 AB 的長(zhǎng)為 lOcm,當(dāng)點(diǎn) C 在線(xiàn)段 AB 上移動(dòng)時(shí)， 是否存在這樣的一點(diǎn) C,使線(xiàn)段 MN 的長(zhǎng)度最長(zhǎng)?若存在，請(qǐng)確定 C 點(diǎn)的位置并求出 MN 的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（第 5 題）（第 6 題）8.如圖，定長(zhǎng)的弦 ST 在一個(gè)

9、以 AB 為直徑的半圓上滑動(dòng)，M 是 ST 的中點(diǎn)，P 是 S 對(duì) AB作垂9.已知ABC 是 00 的內(nèi)接三角形，BT 為 00 的切線(xiàn)，B 為切點(diǎn)，P 為直線(xiàn) AB 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 BC 的平行線(xiàn)交直線(xiàn) BT 于點(diǎn) E,交直線(xiàn) AC 于點(diǎn) F.10. 如圖，已知；邊長(zhǎng)為 4 的正方形截去一角成為五邊形 ABCDE，其中 AF=2，BF=l，在 AB上的一點(diǎn) P,使矩形 PNDM 有最大面積，則矩形 PNDM 的面積最大值是()11.如圖，AB 是半圓的直徑，線(xiàn)段 CA 上 AB 于點(diǎn) A，線(xiàn)段 DB 上 AB 于點(diǎn) B，AB=2；AC=1，BD=3,P 是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則封閉圖形

10、 ACPDB 的最大面積是()A.B.C.D.12. 如圖，在A(yíng)BC 中，BC=5,AC=12，AB=13，在邊 AB、AC 上分別取點(diǎn) D、E,使線(xiàn)段 DE 將厶 ABC 分成面積相等的兩部分，試求這樣線(xiàn)段的最小長(zhǎng)度.定角A.8線(xiàn)的垂足，求證：是(1)當(dāng)點(diǎn) P 在線(xiàn)段 AB 上時(shí)(如圖)，求證：PAPB=PE(2)當(dāng)點(diǎn) P 為線(xiàn)段 BA 延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí)，第(1)題的結(jié)論還成立嗎?如果成立，請(qǐng)證明，如13. 如圖，ABCD 是一個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形，U、V 分別是 AB、CD 上的點(diǎn)，AV 與 DU 相交于點(diǎn) P,BV 與 CU 相交于點(diǎn) Q.求四邊形 PUQV 面積的最大值.14利用兩個(gè)相

11、同的噴水器，修建一個(gè)矩形花壇，使花壇全部都能?chē)姷剿阎總€(gè)噴水器的噴水區(qū)域是半徑為 10 米的圓， 問(wèn)如何設(shè)計(jì) （求出兩噴水器之間的距離和矩形的長(zhǎng)、 寬） ，才能使矩形花壇的面積最大?15某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質(zhì)量，要建一個(gè)八邊形居民廣場(chǎng)（平面圖如圖所示）其中，正方形 MNPQ 與四個(gè)相同矩形（圖中陰影部分）的面積的和為 800 平方米.（1）設(shè)矩形的邊 AB=（米），AM=（米），用含的代數(shù)式表示為（2）現(xiàn)計(jì)劃在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價(jià)為 2100 元；在四個(gè)相同的矩形區(qū)域上鋪設(shè)花崗巖地坪，平均每平方米造價(jià)為 105 元；在四個(gè)三角形區(qū)域上鋪設(shè)草坪，平均每平方

12、米造價(jià)為 40 元.1設(shè)該工程的總造價(jià)為 S（元），求 S 關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式.2若該工程的銀行貸款為 235000 元， 僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能,請(qǐng)列出設(shè)計(jì)方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.3若該工程在銀行貸款的基礎(chǔ)上，又增加資金 73000 元，問(wèn)能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能，請(qǐng)列出所有可能的設(shè)計(jì)方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.16.某房地產(chǎn)公司擁有一塊“缺角矩形”荒地 ABCDE，邊長(zhǎng)和方向如圖，欲在這塊地上建一座地基為長(zhǎng)方形東西走向的公寓，請(qǐng)劃出這塊地基，并求地基的最大面積（精確到 1m2）.參考答案2A網(wǎng)幾何的定值與最值【例題求解】例15CDDCy-FCQ2，當(dāng) CQ=O 時(shí)

13、：即 P 為 AB 的中點(diǎn)時(shí),CD 的值最小為 5.例2選 D 當(dāng)圓心在正三角形的頂點(diǎn) C 時(shí)，其弧為 60,AAcrAnrz-/曰 APADHn“八ADBPb(ax)例3由厶APDc/BPQ.得麗=而，即BQ=- APBQ=x+abbjC=je-bVJ-+2./=2皿JCXXVJT當(dāng)且僅當(dāng)工=乎，即工=忌時(shí)，上式等號(hào)成立.故當(dāng)AP=何時(shí),AP+BQ 最小，其最小值為2y/b-b.例4IZAMK=ZC=Z(： AB=ZK+ZABK ZAMK=ZMA+ZABK, ZK=ZBAM=ZBAN,同理 ZABK=上,則厶 ABKsABNA,有縹， 故 AK BN=AB2(常量)，即 AK 與 BN 的乘

14、積與點(diǎn) M 的選擇無(wú)關(guān).例5(1)如圖 1,頂點(diǎn) Z 在斜邊上，取 XY 的中點(diǎn) M,連 CM,ZM.CZ.并作邊 AB 上的高 CN,則 CZWCM+MZ=*zy+*p=巧=罷，又 CNWC 乙所以 CNW/?,CA=QCNM2；(2)如圖 2,頂點(diǎn) Z 在直角邊 CA(或 CB)上，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè) Z 在 CA 上設(shè) CX=H,CZ=y,并過(guò) Y 作 YH 丄 CA 于 H,易證ZYHXZC.得 HZ=CX=H,Hy=CZ=y,又厶AHY為等腰直角三角形， 則 AH=y,設(shè)AC=b,則 2， +丁=b、即工二 b2在RtCXZ中， b+(方一 2， )2=17,即一 4 好+夕1=0.因?yàn)?/p>

15、 y 為實(shí)數(shù)，則=16b2-20(6?1)=204 畑 0,足卮當(dāng) 6=島時(shí)力=夠,丁=誓，綜合(1).(2)知,6 的最大值為怎【學(xué)力訓(xùn)練】1.2 個(gè)當(dāng) P 點(diǎn)與點(diǎn) B 重合時(shí),CC=DD=1 最大，BB=0 當(dāng) P 點(diǎn)與 C 點(diǎn)重合時(shí)，BD 丄 AC,B+DD=3=施最小，0/=0 2.10/23 54 C 作 A 關(guān)于 MN 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) A,連 AB 交 MN 于點(diǎn) P,此時(shí)的 P 即為所求AP+PB最小值的點(diǎn)“PJ/BOA=90,AB=將+OA2=Q5.A6.C7 略；假設(shè)存在符合條件的點(diǎn) C,并設(shè)也=工皿 7=%彫人 8,器=器,即于=斗乏 2,丿=一尋(25)2+2.5(0；r10)

16、,當(dāng) x=5cm時(shí)jmx2.5cm.&連結(jié) OS、OT、OM，則 ZSPO+ZSMO=90+90=180, S、P、O、M 四點(diǎn)共圓，二 ZSPM=ZSOM=*,SOT,因弦 ST 為定值，則弧前也為定值，故 ZSOT 為定值，yZSOT 也為定值，即 ZSPM 為一定角9 (1)證明PFAooAPBE；(2)當(dāng) P 為 BA 延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí)，第(1)題的結(jié)論 AB 成立.10.B 參見(jiàn)例 5.11 A 連 CD,梯形 ABCD 的面積一定，若要封閉圖形面積最大，就要 ACPD 的面積最小，而 DC定，DC 上的高須最小，過(guò) O 作 OE 丄 DC交半圓于巴宀 E 長(zhǎng)而為 ACPD 中 CD

17、邊上高的最小值，Sg,。=2,OE=松,RE=OE-PQ=亞一 1，SMP1)=2_y/212.AABC 為 R/,S仙 c=30,過(guò) D 作 DF 丄 AC 于 F,設(shè)=工,寺=爺，.AF=yx,SAADE=yAEx,AAE=乎，EF=晉一%,DE2=DF2+EF2+(葺一乎刃2=(弓一段)2+12 鼻 12,即 DE2#,故滿(mǎn)足條件的 DE 最小長(zhǎng)度為最大面積是 6017m1,諾卑鈴三探=#，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立；故四邊形PUQV面積的最大值是14.(1)如圖，。、0?是兩個(gè)相同的噴水器所在位置,ABCD是設(shè)計(jì)的矩形花壇，設(shè)矩形邊長(zhǎng)AD=工米，則PQADx米，在RtgEQ中，OE=/9

18、 心一 QE2=Q&-(科=寺400-,兒圓心距 0】Q=20】E=/IQ0士,AE=20：Q=2/100卡.矩形面積S=2 工/400-xJ(0 x20),又 TS?=4+(400才)=一(2-400)2+40()2.當(dāng) 2x2-400=0時(shí)用才最大.此時(shí) x=102(米)，&才最大，S 的最大值為 400.從而，符合要求的設(shè)計(jì)是兩個(gè)噴水器的距離為 0O 二丿 400(10 施嚴(yán).=o 松(米)，矩形兩邊長(zhǎng)AD=10米,AB=20Q 米，矩形花壇有最大面積，enn-r2is.(l)y=0 x235000,.僅靠銀行貸款不能完成該工程的建設(shè)任務(wù)由S=235000JT+73000=308000,得 2000”+辺翌+76000=308000,解得 x=10 或乂=4,對(duì)應(yīng)的 y 值分別為 y=17.5 y=49.故設(shè)計(jì)方案為 J正方形區(qū)城的邊長(zhǎng)為 10 米，四個(gè)相同的矩形區(qū)域的長(zhǎng)和寬分別為 17.5 米和