隨機過程的統(tǒng)計特性估計互相關函數(shù)功率譜ppt課件

1、 本次課內(nèi)容本次課內(nèi)容隨機過程的特征估計隨機過程的特征估計隨機過程的結(jié)合分布與相互關函數(shù)隨機過程的結(jié)合分布與相互關函數(shù)隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜6. 各態(tài)歷經(jīng)隨機過程各態(tài)歷經(jīng)隨機過程Ergodic random process1 1 隨機過程的遍歷性隨機過程的遍歷性ErgodicErgodic定義：對于平穩(wěn)隨機過程定義：對于平穩(wěn)隨機過程X(t)X(t)，假設有，假設有XPXmm 均值遍均值遍歷性歷性)()(XPXRR相關函數(shù)相關函數(shù)遍歷性遍歷性那么那么X(t)X(t)為遍歷過程。為遍歷過程。TTTXdttXTmilm)(21TTTXdttXtXTmilR)()(21)(Time aver

2、ageTime ACF各態(tài)歷經(jīng)性的解釋：各態(tài)歷經(jīng)性的解釋：TTTXdttXTmilm)(211( )()( )2TXTTRl i mX tX t dtT 對于遍歷過程，由一條樣本函數(shù)可確定過程的均值對于遍歷過程，由一條樣本函數(shù)可確定過程的均值Check YourselfConsider the process X(t)=A, where A is a random variable with zero mean and variance 2.Which of following is correct?X(t) is a wss RP and ergodic RPX(t) is a sss RP

3、 and ergodic RPX(t) is a sss RP and is not a ergodic RPX(t) is not a sss RP. but it is a ergodic RPNone of allA.B.C.D.E.Check YourselfConsider the process X(t)=A, where A is a random variable with zero mean and variance 2.Which of following is correct?X(t) is a wss RP and ergodic RPX(t) is a sss RP

4、and ergodic RPX(t) is a sss RP and is not a ergodic RPX(t) is not a sss RP. but it is a ergodic RPNone of allA.B.C.D.E.解、解、( )E X tE A2( )()E X t X tE A 平穩(wěn)隨平穩(wěn)隨機過程機過程1( )lim2TTTx tadtaT不是各態(tài)歷經(jīng)過程不是各態(tài)歷經(jīng)過程2 2 均值和自相關函數(shù)估計均值和自相關函數(shù)估計對各態(tài)歷經(jīng)過程，可以經(jīng)過對一條樣本函數(shù)的觀測，對各態(tài)歷經(jīng)過程，可以經(jīng)過對一條樣本函數(shù)的觀測，就可以估計出隨機過程均值、方差和相關函數(shù)。就可以估計出隨機過

5、程均值、方差和相關函數(shù)。TTXdttxTm)(21TTXdttxtxTR)()(21)(延續(xù)隨機過程：延續(xù)隨機過程：101( )NXnmx nN12201( )1NXXnx nmN101()( ) ()NmXnRmx n x nmNm隨機序列：隨機序列：(3) (3) 分布函數(shù)遍歷性分布函數(shù)遍歷性( )( )XFxP X tx1( )( )0( )X txY tX tx ( )1( )( )XE Y tP X txFxX(t)X(t)分布函數(shù)的遍歷性等效于分布函數(shù)的遍歷性等效于Y(t)Y(t)的均值遍歷性的均值遍歷性1( )( )( )22iTiXTtFxY tY t dtTTit是是X(t)

6、X(t)x x的時間間隔的時間間隔x1t2t3t( )x t123.( )( )2P xx txxf xxT xxx 123( )x t( )f xEstimation of PDFxxx 123t( )x t( )f x2.4 2.4 隨機過程的結(jié)合分布與相互關函數(shù)隨機過程的結(jié)合分布與相互關函數(shù)結(jié)合分布函數(shù)與結(jié)合概率密度結(jié)合分布函數(shù)與結(jié)合概率密度相互關函數(shù)及其性質(zhì)相互關函數(shù)及其性質(zhì)舉例舉例1. 結(jié)合分布函數(shù)和結(jié)合概率密度結(jié)合分布函數(shù)和結(jié)合概率密度 Joint distribution function and join probability densities ),(1111mmnnXYt

7、tyyttxxF)(,)(,)(,)(1111mmnnytYytYxtXxtXPn+mn+m維結(jié)合分布函數(shù)：維結(jié)合分布函數(shù)：),(1111mmnnXYttyyttxxfmnmmnnXYmnyyxxttyyttxxF111111),(n+mn+m維結(jié)合概率密度：維結(jié)合概率密度：平穩(wěn)相依：平穩(wěn)相依：假設假設X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)的結(jié)合統(tǒng)計特性不隨時間起點的平移的結(jié)合統(tǒng)計特性不隨時間起點的平移而變化，那么稱而變化，那么稱X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)是嚴厲結(jié)合平穩(wěn)的是嚴厲結(jié)合平穩(wěn)的(joint (joint strict sense stationary)strict sense

8、 stationary)。即。即 ),(1111mmnnXYttyyttxxf),(1111ctctyyctctxxfmmnnXY2. 相互關相互關Crosscorrelation函數(shù)及性質(zhì)函數(shù)及性質(zhì) dxdyttyxxyftYtXEttRXYXY),()()(),(212121互協(xié)方差互協(xié)方差Crosscovariance函數(shù)函數(shù))()()()(),(221121tmtYtmtXEttKYXXY)()(),(2121tmtmttRYXXY假設假設 ，那么，那么X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)正交；正交；假設假設 ，那么，那么X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)不相不相關；關；0),(21

9、ttRXY0),(21ttKXY那么稱那么稱X(t)與與Y(t)廣義結(jié)合平穩(wěn)廣義結(jié)合平穩(wěn)(jointly wide sense stationary)XXmtm)(YYmtm)(2121),(),(ttRttRXYXY假設假設)()(YXXYRR)()(YXXYKK相互關函數(shù)的性質(zhì)：相互關函數(shù)的性質(zhì)：假設假設X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)是結(jié)合平穩(wěn)的，那么是結(jié)合平穩(wěn)的，那么 Z(t)= X(t)+Y(t)Z(t)= X(t)+Y(t)是平穩(wěn)過是平穩(wěn)過程，且程，且)()()()()(YXXYYXZRRRRR)0()0()(2YXXYRRR) 0() 0()(2YXXYRRR222)(YXX

10、YK)0()0()(2YXXYKKK3 3、相互關系數(shù)、相互關系數(shù)YXYXXYYXXYXYmmRKKKr)()0()0()()(又稱歸一化又稱歸一化互協(xié)方差函互協(xié)方差函數(shù)或規(guī)范互數(shù)或規(guī)范互協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)例例2.14 2.14 設設解、解、)sin()(0ttX)cos()(0ttY001( )sin()sin()02E X tEttd 001 ( )cos()cos()02E Y tEttd YXXYXYmmttRttK),(),(2121)(sin)2sin(212102010ttttE0sin2121tt 其中其中0 0 為常數(shù)，為常數(shù)，在在(0(0，2 2) )上均勻分布，求互協(xié)方

11、上均勻分布，求互協(xié)方差函數(shù)。差函數(shù)。An Example of Signal Processing Determine the distance based on ACF.Consider a system (see Figure) where a signal source produces a random signal, being a realization of a stochastic process. 0( )()Y tX tt02Rtc00( ) ()( )()( )()XYXRE Y tX tE X tt X tRt ( )YXR0t 研討題研討題(課程論文：課程論文：A C

12、omparative Study of Time-Delay Estimation Techniques Using Microphone Arrays.隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜2.5 隨機過程的功率譜密度隨機過程的功率譜密度Power Spectral Density, PSD)延續(xù)時間隨機過程的功率譜延續(xù)時間隨機過程的功率譜 定義定義 功率譜密度與相關函數(shù)關系功率譜密度與相關函數(shù)關系 功率譜的性質(zhì)功率譜的性質(zhì)隨機序列的功率譜隨機序列的功率譜隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜1.1.定義定義Definition of PSD)Definition of PSD)dtetsStj)()(

13、頻譜：頻譜：回想頻譜的概念回想頻譜的概念2.5.1 2.5.1 延續(xù)時間信號的功率譜延續(xù)時間信號的功率譜dtts)(頻譜存在的條件頻譜存在的條件隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜能量有限的信號稱為能量型信號能量有限的信號稱為能量型信號能量譜密度：能量譜密度：2)(SdSdttsE22)(21)(根據(jù)根據(jù)ParsevalParseval定理定理dtts)(2能譜密度存在的條件：能譜密度存在的條件：隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜功率型信號：平均功率有限、能量無限的信號功率型信號：平均功率有限、能量無限的信號21lim( )2TTTPx tdtT隨機信號的樣本函數(shù)能量是無限的隨機信號的樣本函數(shù)能量是

14、無限的, ,但功率往往是有限但功率往往是有限的的. .隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜( )( )0iTix ttTxttT隨機過程的樣本函數(shù)及其截尾函數(shù)隨機過程的樣本函數(shù)及其截尾函數(shù) ( )( )( )Tj tj tTiTiiTXxt edtx t edt 隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜21( )lim( )2XiTiTGXT 1( )2iXiPGd隨機變量隨機變量22211lim( )lim( )2411lim( )22TiiTiTTTTiTPx t dtXdTTXdT隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜2)(21lim)(TTXXTEGTTtjTdtetXX)()(定義隨機過程的功率譜密度

15、為：定義隨機過程的功率譜密度為：隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜功率譜密度是從頻域描畫隨機過程很重要的數(shù)字特征功率譜密度是從頻域描畫隨機過程很重要的數(shù)字特征, ,表示單位頻帶內(nèi)信號的頻率分量耗費在單位電阻上的表示單位頻帶內(nèi)信號的頻率分量耗費在單位電阻上的平均功率的統(tǒng)計平均值平均功率的統(tǒng)計平均值. .缺陷缺陷: :不含相位信息不含相位信息隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜2. 2. 功率譜密度與相關函數(shù)關系功率譜密度與相關函數(shù)關系deRGjXX)()(維納辛欽定理維納辛欽定理deGRjXX)(21)(條件條件: :( )XRd ( )XGd 平均功率有限平均功率有限要求均值為零要求均值為零隨機過程

16、的功率譜隨機過程的功率譜deGRjXX)(21)(1(0)( )2XXRGd平均功率平均功率隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜由相關函數(shù)的性質(zhì)由相關函數(shù)的性質(zhì): :0( )( )(cossin)2( )cosXXXGRjdRd 隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜000)(2)(XXGF物理譜定義：物理譜定義：0( )4( )cosXXFRd 隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜3. 3. 功率譜的性質(zhì)功率譜的性質(zhì)(3) (3) 相關性與功率譜的關系為：相關性越弱，功率譜相關性與功率譜的關系為：相關性越弱，功率譜越寬平；相關性越強，功率譜越陡窄。越寬平；相關性越強，功率譜越陡窄。(1) (1) 假設隨機

17、過程均值非零，那么功率譜在原點有一假設隨機過程均值非零，那么功率譜在原點有一函數(shù)；函數(shù)； 假設含有周期分量，那么在相應的頻率處有假設含有周期分量，那么在相應的頻率處有函數(shù)；函數(shù)；(2) (2) 對于實的平穩(wěn)隨機過程，功率譜為實的、非負偶對于實的平穩(wěn)隨機過程，功率譜為實的、非負偶函數(shù)；函數(shù)；dGRXX)(21)0(總的平均功率總的平均功率隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜022)1(2)1(22022)1(2)1(2220)(bbbaaacGnnnmmmX(4) (4) 隨機過程的有理譜方式：隨機過程的有理譜方式：性質(zhì)：性質(zhì)： nm;nm;*( )( )XXGG ( )XGs零、極點共軛成對零、極

18、點共軛成對隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜jo oo oo oo oo oo oS S平面上能夠的零、極點位置平面上能夠的零、極點位置 隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜)()()(XXXGGGnmXjjjjcG110)(nmXjjjjcG110)(譜分解定理譜分解定理( )( )( )XXXGsGs Gs隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜4. 4. 功率譜密度計算舉例功率譜密度計算舉例例例2.15 2.15 隨機相位信號隨機相位信號)cos()(0tAtX20( )cos2XAR 2001( ) ()()2XGA 隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜例例2.16 2.16 知譜密度為知譜密度為 求相

19、關函數(shù)。求相關函數(shù)。9104)(242XG解、解、948/56148/929104)(22242XG由因式分解由因式分解222e由公式：由公式：)59(481)(3eeRX隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜例、假設平穩(wěn)過程例、假設平穩(wěn)過程X(t)X(t)的功率譜密度為的功率譜密度為 求相關函數(shù)。求相關函數(shù)。解、解、221 1)(XGeGY2111)(2)()(2YXGGdzeeRRRzzYYX41)()()(eeRX41)(00()()01( )4zzzzzzXRe edze edze e dz ee41當當Example (line spectra): Supp

20、ose that the RVs ai are uncorrelated with zero mean and variance . Let2i( )ijtiiX tae2ijiijE aa 2( )ijXiiRe 2( )2()XiiiG 12( )XG*( )()( )XRE X tX t Suppose RVs ai and bi are uncorrelated with zero mean and 222()()iiiE aE b( )(cossin)iiiiiX tatbt 2( )cosXiiiR 2( ) ()()XiiiiG Example: Consider the pro

21、cess()( )jtX tae ( )f*( ()()2()( )jtjtjE X tXtE aeaea E e 2( )( )jXRaefd 2( )2( )XGa f An interesting application0(/ )( )jt r cs taeDoppler effect: A harmonic oscillator located at a point P of x axis movies in the x direction with velocity v. The emitted signal equals and the signal received by an

22、observer located at the origin O equals0jtePov0OPrrvtx0(/ )( )jt r cs taePov0OPrrvtx()( )jts tae 0(1/ )v c 00/rc 202( )1svaGfc 00( )1vcffc 2002( )1svaGfc Emitted spectrum0Received spectrum0We note that if v=0, then20( )2()sGa Thus, the motion causes broadening of the spectrum of s(t)2.5.3 互功率譜密度互功率譜

23、密度Cross-Power Spectral Density) Definition:*1( )lim( )( )2XYTTTGEXYT( )( )Tj tTTXX t edt ( )( )Tj tTTYY t edt Wiener-Khinchin Theorem:deRGjXYXY)()(deGRjXYXY)(21)()()(XYXYGRProperties of CPSD: )()(*YXXYGG)(ReXYGIm( )XYGis an even functionis an odd function)()()(2YXXYGGG2.5.4 非平穩(wěn)隨機過程的功率譜非平穩(wěn)隨機過程的功率譜 Po

24、wer spectral density of nonstationary process 21( )lim( )2XTTGEXT功率譜的定義功率譜的定義對平穩(wěn)和非平穩(wěn)過程都是順應的。但實踐中很難根對平穩(wěn)和非平穩(wěn)過程都是順應的。但實踐中很難根據(jù)上式確定功率譜，對于非平穩(wěn)過程需求尋覓其它據(jù)上式確定功率譜，對于非平穩(wěn)過程需求尋覓其它方法。方法。隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜收斂域是一個包含單位圓的環(huán)形區(qū)域收斂域是一個包含單位圓的環(huán)形區(qū)域mmXXzmRzG)()(aza1CmXXdzzzGjmR1)(21)(其中其中C C是收斂域內(nèi)包含平面原點逆時針的閉合圍線是收斂域內(nèi)包含平面原點逆時針的閉合圍線

25、 1( )()( )()XXXXRmRmGzGz2.5.2 2.5.2 隨機序列的功率譜隨機序列的功率譜隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜由于由于 GX(z)GX(z)的收斂域包含單位圓，因此可以令的收斂域包含單位圓，因此可以令jze()( )( )jjmXXXmGeGRm e1( )( )2jmXXRmGed 2 2為周期的周期函為周期的周期函數(shù)數(shù)dGnXERXX)(21)()0(2隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜隨機序列功率譜的性質(zhì)隨機序列功率譜的性質(zhì) 功率譜是實偶函數(shù)功率譜是實偶函數(shù)( )()XXGG*( )()XXGG1( )()XXGzGz功率譜密度是非負功率譜密度是非負( )0XG隨機過程的功率譜隨機過程的功率譜假設隨機序列的功率譜具有有理譜的方式假設隨機序列的功率譜具有有理譜的方式,那么那么, 功率譜可以進展譜分解功率譜可以進展譜分解 ( )( )( )XXXGzGz Gz功率譜中一切零極功率譜中一切零極點在單位圓內(nèi)