圓錐曲線的統(tǒng)一定義教學(xué)設(shè)計(jì)王金林

1、圓錐曲線的統(tǒng)一定義教學(xué)設(shè)計(jì)江蘇省通州高級中學(xué) 王金林教材分析：圓錐曲線是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，它具有很多非常好的幾何性質(zhì)，在日常生活、社會(huì)生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)中都有著重要而廣泛地應(yīng)用。本章內(nèi)容與數(shù)學(xué)必修二中“平面解析幾何初步”一樣，都以滲透解析幾何的基本思想為教學(xué)目標(biāo)，以“展示背景，建立曲線概念；建立方程，研究曲線性質(zhì)”為主線，并在學(xué)生具有較多的感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上建立一般曲線方程的概念。這種從特殊到一般、從感性到理性的學(xué)習(xí)過程符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。教材從“總-分-總”的設(shè)計(jì)思路，先從整體上認(rèn)識圓錐曲線的概念，了解橢圓、雙曲線、拋物線的內(nèi)在關(guān)系，再運(yùn)用方程思想分別研究橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，進(jìn)而

2、通過統(tǒng)一定義從總體上進(jìn)一步認(rèn)識三種曲線的關(guān)系。教科書從拋物線的定義出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，提出類比、猜想，得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，從更高的形式上揭示圓錐曲線之間的內(nèi)在的關(guān)系，使學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在的、和諧的美，并且通過對研究過程的反思，培養(yǎng)欣賞美、發(fā)現(xiàn)美的能力和意識，提高數(shù)學(xué)審美能力。教學(xué)目標(biāo)了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求圓錐曲線的準(zhǔn)線方程的方法教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)圓錐曲線的統(tǒng)一定義及準(zhǔn)線方程教學(xué)過程一、問題情境1情境：我們知道，平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線不在上的距離的比等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線當(dāng)這個(gè)比值是一個(gè)不等于的常數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡又是什么曲線呢？ 2問題：試探討這個(gè)常數(shù)分別是和

3、時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡？3.猜想：猜想一：到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比為小于1的定值的點(diǎn)的軌跡為橢圓猜想二：到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比為大于1的定值的點(diǎn)的軌跡為雙曲線二、學(xué)生活動(dòng)證明猜想1回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，我們曾得到這樣一個(gè)方程：a2cxa，將其變形為 ，你能解釋這個(gè)方程的幾何意義嗎？動(dòng)點(diǎn)（x,y）到（c,0）的距離動(dòng)點(diǎn)（x,y）到直線的距離2進(jìn)一步證明：動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比為證明：根據(jù)題意可得化簡得令，上式可化為這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的軌跡是橢圓。3類比證明：已知點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線距離之比的點(diǎn)的軌跡為雙去線4由探究試驗(yàn)的結(jié)論以及拋物線的

4、定義，歸納概括出橢圓的統(tǒng)一定義圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和到一條定直線（不在上）的距離的比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡當(dāng)時(shí)，它表示橢圓；當(dāng)時(shí)，它表示雙曲線；當(dāng)時(shí)，它表示拋物線其中是圓錐曲線的離心率，定點(diǎn)是圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線是圓錐曲線的準(zhǔn)線5橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線，右焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線，左焦點(diǎn)，左準(zhǔn)線離心率雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線，右焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線，左焦點(diǎn)，左準(zhǔn)線，離心率6根據(jù)圖形的對稱性可知，橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，對于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓或雙曲線，與焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別為三、數(shù)學(xué)運(yùn)用例1求下列曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程 例2橢圓上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是4，求該點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距

5、離變式1：求該點(diǎn)到橢圓右準(zhǔn)線的距離備用：橢圓上一點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離是，求該點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離解：設(shè)該橢圓的的左右焦點(diǎn)分別是，該橢圓的離心率為，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，所以，即該點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為說明：橢圓和雙曲線分別有兩個(gè)焦點(diǎn)和兩條準(zhǔn)線，在解題過程中要注意對應(yīng)，即左焦點(diǎn)對應(yīng)左準(zhǔn)線，右焦點(diǎn)對應(yīng)右準(zhǔn)線（或上焦點(diǎn)對應(yīng)上準(zhǔn)線、下焦點(diǎn)對應(yīng)下準(zhǔn)線）四課堂小結(jié)：探究 猜想 證明圓錐曲線的統(tǒng)一定義 焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的求解（求解步驟）利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義來解決問題教學(xué)反思：在必修2中我們學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，對曲線和方程的概念及求法己經(jīng)有一定理解，前面又詳細(xì)學(xué)習(xí)了圓錐曲線中橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程、幾

6、何性質(zhì)，以及簡單應(yīng)用，通過拋物線的學(xué)習(xí)加深了學(xué)生對圓錐曲線統(tǒng)一的認(rèn)識，提高對坐標(biāo)法這一解析幾何基本方法的應(yīng)用能力，提高學(xué)生綜合能力。 本節(jié)在抓好基礎(chǔ)知識的同時(shí)，注重激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)注重學(xué)生在自我探索過程中發(fā)現(xiàn)知識，培養(yǎng)探究意識。讓學(xué)生成為一名自主的學(xué)習(xí)者和探索者，讓學(xué)生處在一種對知識的追求狀態(tài)中。圓錐曲線統(tǒng)一定義很簡單但非常重要，學(xué)習(xí)時(shí)指導(dǎo)學(xué)生注意和拋物線定義相聯(lián)系。由拋物線定義導(dǎo)入新課，將比值1改變，曲線會(huì)是什么形狀？學(xué)生先猜想，后從形和數(shù)兩個(gè)方面進(jìn)行驗(yàn)證。從探究猜想證明這一過程中，學(xué)生獲取了知識，而且加深了理解。教師作為熱烈討論的平等氛圍中的引導(dǎo)者，鼓勵(lì)學(xué)生大膽探究、勇于創(chuàng)新，積極談?wù)摵蛥⑴c體驗(yàn)，留給學(xué)生更多的思考和探索，轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式。驗(yàn)證學(xué)生的結(jié)果。在教學(xué)過程中，結(jié)合本節(jié)課的具體內(nèi)容，確立啟發(fā)探究式教學(xué)、互動(dòng)式教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)這兩種教學(xué)方法，體現(xiàn)了認(rèn)知心理學(xué)的基本理論。課堂上為學(xué)生的主動(dòng)參與提供充分的時(shí)間和空間，讓不同程度的學(xué)生勇于發(fā)表自己的各種觀點(diǎn)（無論對錯(cuò)），選出代表上講臺講解等做法，學(xué)生勇于展示。每個(gè)學(xué)生都經(jīng)過獨(dú)立思考后在前后左右的同學(xué)形成小組中進(jìn)行了交流討論，共同進(jìn)步。借助與多媒體設(shè)備，用了幾何畫板軟件輔助作圖，動(dòng)畫、影像等多種形式強(qiáng)化對學(xué)生感觀的刺激，可以極大提高學(xué)習(xí)興趣，變抽象為直