第5節(jié)實(shí)數(shù)的完備性：Cauchy收斂定理2.ppt課件

1、 5 5 實(shí)數(shù)的完備性實(shí)數(shù)的完備性 Cauchy收斂定理*0,.nNNnN aa ， : . 極限定義回顧極限定義回顧2mnmnN aa 因因此此：，是是否否是是充充分分必必要要條條件件？一、柯西基本列定義定義5.15.1, nx對(duì)對(duì)給給定定數(shù)數(shù)列列 * * 0 0, ,N NN N , ,如如存存在在時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng)Nnmnm , N ,*都都有有， nmxx.為為基基本本列列則則稱稱nx, ,N , 0*時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)NnN . npnxx有有對(duì)對(duì)一一切切 ,N * p或敘述為或敘述為*0,npnNNnNpNaa： : *0,mnNNmnNpN aa： 或者用符號(hào)表述為或者用符號(hào)表述為例例1.1.

2、證明：證明：.1211 22是是基基本本列列證證nan 22)(1)1(10pnnaanpn 由由)(1(1)2)(1(1)1(1pnpnnnnn )111()2111()111(pnpnnnnn npnn111 .npnaa *10,1 ,NNnNp 所所以以有有，：例2.時(shí)，時(shí)，證明當(dāng)證明當(dāng)1 . ,12111不不是是基基本本列列 nan 證明：證明： )(1)2(1)1(1pnnnaanpn pnppnn 111*00001,N , , 2NnN pn ： 00001.2npnaa 所以不是基本列所以不是基本列二、列緊性定理定理定理5.15.1任意有界數(shù)列中必可造出收斂子列任意有界數(shù)列中

3、必可造出收斂子列. .證明：證明： （二分法：）（二分法：） bxaxnn 滿滿足足設(shè)設(shè) , ,11baxn的的無(wú)無(wú)窮窮多多項(xiàng)項(xiàng)子子區(qū)區(qū)間間為為選選包包含含, ,211111baxababn 取取,二二等等分分將將區(qū)區(qū)間間ba,11ba繼續(xù)等分繼續(xù)等分 ,22baxn的無(wú)窮多項(xiàng)的子區(qū)間為的無(wú)窮多項(xiàng)的子區(qū)間為記包含記包含., ,422222baxababn 取取則則 ,11kknkkbaxba的無(wú)窮多項(xiàng)子區(qū)間為的無(wú)窮多項(xiàng)子區(qū)間為記包含記包含二等分二等分 ., , 02kknkkkbaxababk 取取 , 2 , 1,kknnnbaxnbak 構(gòu)構(gòu)成成閉閉區(qū)區(qū)間間套套，且且由閉區(qū)間套定理和夾逼定

4、理：由閉區(qū)間套定理和夾逼定理：.limlimlimcbxakknkkkk ab三、柯西收斂準(zhǔn)則定理定理2 2：. 是基本列是基本列收斂收斂nnaa證明：證明：)(必必要要性性,aan收斂于收斂于設(shè)設(shè).2 , ,N , 0* aaNnNn有有則對(duì)則對(duì), 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nnm nmnmaaaaaa aaaanm .22 . 是基本列是基本列na（充充分分性性）,是是基基本本列列設(shè)設(shè)na, ,N, 1*0時(shí)時(shí)取取NnN , 101 Nnaa11 NNnnaaaa11 NNnaaa11 Na ,1 ,max121 NNaaaaM取取.,Mann 有有則則對(duì)對(duì)有有界界）先先證證（1na)2(. ,ninaa存

5、在收斂子列存在收斂子列由列緊性定理知由列緊性定理知,limaanin 設(shè)設(shè),N, 0*1 N 則則,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nin ,2 aani,N,*時(shí)時(shí)是是基基本本列列由由NnmNan ,2 nmaa ，則則取取一一個(gè)個(gè)NNik,max1 aaaaaakkiinn aaaakkiin . .limaann cos1cos2cos1 22 31nnxnn例例3 3證證明明收收斂斂 11121npnxxnnnpnp證證明明：因因?yàn)闉?1111121nnnpnp 1111111nnpnn*10,1,npnNnNpNaa所所以以： 由例由例1 1：.131211222收斂收斂nan 由例由例2 2：.1131

6、211發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) nan注：Cauchy收斂準(zhǔn)則是判斷數(shù)列收斂的重要方法例例4 4：若數(shù)列滿足下面情況，判斷是否收斂：若數(shù)列滿足下面情況，判斷是否收斂.|,)1(npaapnnpn 有有對(duì)對(duì).|,)2(2npaapnnpn 有有對(duì)對(duì)解：(1)不一定，例如例2中| )2(11nnpnpnnpnaaaaaa .,1211,1發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nan 221)1(1npn )1(1)2)(1(1 nnpnpn)1(1 n, 11, 0pNnN .| npnaa|211 pnpnpnpnnpnaaaaaa|1nnaa 221)1(1npn )1(1)2)(1(1 nnpnpn11)1(1)1(1 n

7、pnn(2)(2)結(jié)論成立，證明如下結(jié)論成立，證明如下時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)因因此此NnN , 110, ，有有對(duì)對(duì)*Np .| npnxx, 2 , 1 , 0,11, 110 nxxxnn例例5.5.215lim nnx求證：求證：證法證法1 1：, 2 , 1 , 0, 121 nxn用用歸歸納納法法證證：，則則正正確確，設(shè)設(shè)1211211 nxx1322111111 nnxx21111111 nnxx121 nx)1)(1(11111111 nnnnnnnnxxxxxxxx11121942323 nnnnnnxxxxxx101212212121 nnnnxxxx pkknknnpnxxxx11)(

8、 pknnknn1121211121212110,1, NnN： . :是基本列是基本列即即nx .nx收斂收斂 pkknknxx11 . npnxx nxxAxnnnn兩兩端端，對(duì)對(duì)迭迭代代式式設(shè)設(shè)111lim,11AA , 012 AA.215 A證法證法2 2： ., 121有界有界nnxx )1)(1( 11111111 nnnnnnnnxxxxxxxx反反號(hào)號(hào)！與與11 nnnnxxxx不單調(diào)不單調(diào) .,112122同同號(hào)號(hào)與與單單調(diào)調(diào)， nnnnnnxxxxxx122limlim, nnnnxx存在存在nnnnnxxxxx 2111111112AAA 21215 A2111210.

9、nnnnnnnxxq xxq xxq xx 證證明明：因因?yàn)闉?112111011010.111npnnnnnnpnpnnnppnnxxxxxxxxqqqxxqqqxxxxqq 因因此此 11,01,1,2,3,.nnnnnnxxxq xxqnx例6 證明：假設(shè)數(shù)列滿足例6 證明：假設(shè)數(shù)列滿足 ，則收斂.則收斂. 101ln01,max1,1 ,lnqxxNnNPNq： npnxx 固有11nn e Cauchy Cauchy收斂定理表明收斂定理表明, ,由實(shí)數(shù)構(gòu)成的基本列必存在由實(shí)數(shù)構(gòu)成的基本列必存在 實(shí)數(shù)極限實(shí)數(shù)極限, ,這一性質(zhì)我們稱之為實(shí)數(shù)系統(tǒng)的完備性這一性質(zhì)我們稱之為實(shí)數(shù)系統(tǒng)的完備性

10、. . 有理數(shù)集合不具備這一性質(zhì)有理數(shù)集合不具備這一性質(zhì), , 例如有理數(shù)列例如有理數(shù)列 其極限為無(wú)理數(shù)其極限為無(wú)理數(shù). 實(shí)數(shù)系完備性的進(jìn)一步解釋實(shí)數(shù)系完備性的進(jìn)一步解釋思考題：思考題：用閉區(qū)間套定理證明柯西收斂定理用閉區(qū)間套定理證明柯西收斂定理*:0,:.mNNNmNaa 證證明明充充分分性性. 111222333*111*221221122*33233323331111),2221,211,221,211,22NNnn NNNnn NNNnn NNNa baaaNNNNa baaa baNNNNa baaa ba 中中含含有有項(xiàng)項(xiàng); ;2 2) )中中含含有有項(xiàng)項(xiàng); ;3 3) )中中含含

11、有有項(xiàng)項(xiàng); ; *1111,211,22kkkkkkkkkNNkknkkn NNNNNabaaaba 一般情況一般情況 中含有項(xiàng).中含有項(xiàng). 111:1),1,2,3,;12)00();23),.knnnnnnnkknnNababnbanaba 得得到到含含有有項(xiàng)項(xiàng):limlimnnnnba 根根據(jù)據(jù)閉閉區(qū)區(qū)間間套套定定理理 *111113)10,:211,22NnNNNNNNn NNNnNaabaa 根根據(jù)據(jù)1.2nNa 因因此此四、小結(jié)列緊性定理列緊性定理柯西基本定理柯西基本定理柯西基本列柯西基本列柯西（柯西（ Cauchy Cauchy，A. L., 1789-1857A. L., 1789-1857），