經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的邊際與彈性分析

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的邊際與彈性分析朱文濤(健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院商貿(mào)系,江蘇太倉(cāng)215411)摘要：邊際與彈性是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的重要概念,是微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中應(yīng)用的一種有效的方法.本文從經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)理論中的“邊際和“彈性出發(fā),對(duì)目前企業(yè)治理中常見(jiàn)的幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)學(xué)化討論和數(shù)學(xué)模型的建立,包括最低本錢(qián)、最優(yōu)利潤(rùn)和價(jià)格變動(dòng)對(duì)銷(xiāo)售收入的影響模型等.關(guān)鍵詞：邊際；彈性；經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中圖分類(lèi)號(hào)：F224文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A邊際分析和彈性分析是經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析的重要組成局部,是微分法的重要應(yīng)用.它密切了數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的聯(lián)系.在分析經(jīng)濟(jì)量的關(guān)系時(shí),不僅要知道因變量依賴(lài)于自變量變化的函數(shù)關(guān)系,還要進(jìn)一步了解這個(gè)函數(shù)變化的速度,即函數(shù)的變化率,

2、它的邊際函數(shù)；不僅要了解某個(gè)函數(shù)的絕對(duì)變化率,還要進(jìn)一步了解它的相對(duì)變化率,即它的彈性函數(shù).經(jīng)過(guò)深層次的分析,就可以探求取得最正確經(jīng)濟(jì)效益的途徑.一、邊際及其經(jīng)濟(jì)意義邊際作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念,是指函數(shù)y=f(x)中變量x的某一值的“邊緣上y的變化.它是瞬時(shí)變化率,也就是y對(duì)x的導(dǎo)數(shù).用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)為：設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么稱(chēng)導(dǎo)數(shù)f'(x)為f(x)在(a,b)內(nèi)的邊際函數(shù)；在x0處的導(dǎo)數(shù)值f'(x°)稱(chēng)為f(x)在x0處的邊際值.根據(jù)不同的經(jīng)濟(jì)函數(shù),邊際函數(shù)有不同的稱(chēng)呼,如邊際本錢(qián)、邊際收益、邊際利潤(rùn)、邊際產(chǎn)值、邊際消費(fèi)、邊際儲(chǔ)蓄等.本文主要分析前三個(gè)

3、邊際函數(shù)的應(yīng)用.1、邊際本錢(qián).在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,把產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總本錢(qián)或增加這一個(gè)單位產(chǎn)品的生產(chǎn)本錢(qián)定義為邊際本錢(qián),邊際本錢(qián)就是總本錢(qián)函數(shù)在所給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),記作MC=C'(q).2、邊際收益.是指銷(xiāo)售量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總收益或增加這一個(gè)單位的銷(xiāo)售產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入,是總收入函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),記作MR=C'(q).3、邊際利潤(rùn).對(duì)于利潤(rùn)函數(shù)L(q)=R(q)-C(q),定義邊際利潤(rùn)為L(zhǎng)'(q)=R'(q)-Cf(q)=MR-MC,表示指銷(xiāo)售量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總利潤(rùn)或增加這一個(gè)單位銷(xiāo)售量時(shí)利潤(rùn)的改變量.二、邊際理論的應(yīng)用模型邊際分析理論是當(dāng)代經(jīng)濟(jì)理論

4、中數(shù)學(xué)方法的根底之一,可用來(lái)預(yù)測(cè)商品價(jià)格需求量或供應(yīng)量,確定企業(yè)內(nèi)部生產(chǎn)資料同勞動(dòng)數(shù)量之間最合理的比例；確定企業(yè)的最正確規(guī)模,直至最合理的分配整個(gè)社會(huì)的資源等問(wèn)題.下面主要探討一下,如何利用邊際理論決策最低本錢(qián)、最優(yōu)利潤(rùn),以提升企業(yè)經(jīng)營(yíng)治理水平.1.建立最低本錢(qián)的模型從圖1可知,由于平均本錢(qián)包括有產(chǎn)量的增加而始終遞減的固定本錢(qián),同時(shí)它又是按全部產(chǎn)量平均計(jì)算的,所以它的曲線由遞減轉(zhuǎn)為遞增較邊際本錢(qián)曲線為遲.CAQ'Q產(chǎn)量Q邊際本錢(qián)與平均本錢(qián)之間有一個(gè)很重要的關(guān)系.從上圖來(lái)看,當(dāng)平均本錢(qián)與邊際本錢(qián)相等時(shí),MC=AC,平均本錢(qián)為最低,也就是說(shuō),邊際本錢(qián)曲線MC與平均本錢(qián)曲線AC相交于平均本錢(qián)

5、曲線的最低點(diǎn)處F處.這一點(diǎn)就是通常所謂的“經(jīng)濟(jì)能量點(diǎn)或“經(jīng)濟(jì)有效點(diǎn),也就是本錢(qián)最低的一點(diǎn).企業(yè)家應(yīng)該把生產(chǎn)規(guī)模調(diào)整到平均本錢(qián)的最低點(diǎn)即F點(diǎn),才能使生產(chǎn)資源得到最有效的利用,增加盈利.建立模型的程序如下：第一步：建立子模型MC=dTCdQ(1)TCAC=TC2Q其中：Q一產(chǎn)量；TC總本錢(qián)；AC一平均本錢(qián)；MC邊際本錢(qián)第二步：建立最優(yōu)化本錢(qián)數(shù)學(xué)模型.推導(dǎo)略MC=ACi=0AC的第二階導(dǎo)數(shù)大于零3滿(mǎn)足上述3的Q值的生產(chǎn)規(guī)模,可以使AC到達(dá)最小值.舉例：TCQ=300+6Q+0.02Q2MC=TC'(Q)=dTC=6+0.04QdQ2TC(Q)2006Q0.02Q2200AC=60.02QQQ

6、QdAC/200200=(+6+0.02Q)=0.02rdQQQ2所以,6+0.04Q=+6+0.02QQ得到：Qi=100,Q2=-100(舍去)此時(shí)dAC=.02篝=0故產(chǎn)量達(dá)100時(shí),AC最低2、建立最大利潤(rùn)模型如何求最大利潤(rùn)當(dāng)商品產(chǎn)量無(wú)限增大時(shí),價(jià)格極低,得不到最大利潤(rùn)；價(jià)格無(wú)限增大時(shí),銷(xiāo)售量極少,也得不到最大利潤(rùn).如圖2看出,只有在邊際收益等于邊際本錢(qián)時(shí),即兩條切線平行,收入和本錢(qián)兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等時(shí),這兩條曲線間的距離最大,才到達(dá)最大利潤(rùn),才能找到合理的生產(chǎn)模型.此外為了是利潤(rùn)極大值存在,利潤(rùn)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)還必須小于零.圖2R(收益本錢(qián)、利潤(rùn))建立的模型程序?yàn)椋旱谝徊剑航⒆幽Ｐ蚫

7、TRMR=(4)dQMC=TC(5)dQ其中：Q廣量；TC-總本錢(qián)；TR總收益；MC邊際本錢(qián)；MR-邊際收益第二步：建立最優(yōu)化利潤(rùn)模型.MR=MCJd2(MRMC)(6)2:0dQ2滿(mǎn)足上述(6)的Q的生產(chǎn)規(guī)模,可以使利潤(rùn)到達(dá)最大.舉例：2TR=50Q-2QcQ32TC=-3Q215Q2503MR=50-4QMC=Q2-6Q+15所以,50-4Q=Q2-6Q+152Q2-2Q-35=0(Q5)(Q-7)-0所以Q1=5,Q2=7由于產(chǎn)量不可能是負(fù)數(shù),所以最大利潤(rùn)的產(chǎn)量應(yīng)該是7件.三、需求價(jià)格彈性及其經(jīng)濟(jì)意義彈性作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念是指相對(duì)變化率,即相互依存的一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量變化的反響程度.用比

8、例來(lái)說(shuō),是自變量變化1%所引起因變量變化的百分?jǐn)?shù).彈性是一種不依賴(lài)于任何單位的計(jì)量法,即是無(wú)量綱的.需求價(jià)格彈性是是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)彈性中應(yīng)用最廣泛的概念之一.它是指物品的需求量對(duì)價(jià)格變化的反響程度即需求彈性=需求變化百分比/價(jià)格變化百分比.設(shè)需求函數(shù)為Q=Q(P),這里P為價(jià)格,Q為需求量.如果我們以極限為工具來(lái)研究需求彈性,那么此變化率可定義為Ep=lim99=EdQ,需求彈性有其實(shí)際的經(jīng)濟(jì)含義：表示當(dāng)某種商品的價(jià)p>0P/PQdP格下降(或上升)1%時(shí),其需求量將增加(或減少)|Ep|%.需求價(jià)格彈性可分五類(lèi)：1)缺乏彈性.當(dāng)-1<Ep<0時(shí),價(jià)格變動(dòng)1%,需求量變化小于1%.

9、表示價(jià)格的變化對(duì)需求量的影響較小,在適當(dāng)漲價(jià)后,不會(huì)使需求量有太大的下降,從而可以增加收入.根本生活必需品是缺乏彈性的.如糧食、食鹽、針線等.2)富有彈性.當(dāng)Ep<-1時(shí),價(jià)格變動(dòng)1%,需求量變化大于1%,也就是價(jià)格的變化將會(huì)引起需求的較大變化,這時(shí)需求量對(duì)價(jià)格的依賴(lài)是很大的,換句話說(shuō),適當(dāng)漲價(jià)會(huì)使需求較大幅度上升從而增加收入.奢侈品、高價(jià)商品往往屬于富有彈性的.3單位彈性.當(dāng)Ep=-1時(shí),這時(shí)需求量的相對(duì)變化與價(jià)格的相對(duì)變化根本相等,即商品的漲價(jià)或降價(jià)對(duì)商品的銷(xiāo)售根本無(wú)大的影響.4完全彈性.當(dāng)Ep=+oo時(shí),表示價(jià)格的任何變動(dòng)都引起需求量無(wú)限的變動(dòng).如國(guó)家對(duì)棉、油、木材以及某些戰(zhàn)略物資

10、的定價(jià)收購(gòu),需求量可為無(wú)限制的5完全無(wú)彈性.當(dāng)Ep=0時(shí),表示不管價(jià)格如何變動(dòng),需求量固定不變.四、需求價(jià)格彈性的應(yīng)用模型需求價(jià)格彈性應(yīng)用很多,這里主要談?wù)剝r(jià)格變動(dòng)對(duì)銷(xiāo)售收入的影響模型.在商品經(jīng)濟(jì)中經(jīng)營(yíng)者關(guān)心的是提價(jià)或降價(jià)對(duì)總收入的影響,利用需求彈性的概念可以使經(jīng)營(yíng)者熟悉到：漲價(jià)未必增收,降價(jià)未必減收的理論依據(jù).設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=fP,商品的價(jià)格有一改變量PP,這時(shí)需求量相應(yīng)的改變量為AQ,銷(xiāo)售收入R=QP的改變量記為AR,由需求彈性的求解公式：Ep=pdQQdP可得PdQ=EpQdP因此,由價(jià)格P的微小變化QP很小時(shí)而引起的銷(xiāo)售收入R的改變量R=QPdQP=QdPPdQQdPEpQdP

11、1EpQdP由Ep<0,知Ep=Ep,于是有R電1EpQd由1EpQAP由此可知,當(dāng)|Ep|>0富有彈性時(shí),假設(shè)9<0那么ARA0;假設(shè)APA0那么奸<0.這說(shuō)明適當(dāng)調(diào)低商品的價(jià)格薄利多銷(xiāo),能使總收入增加；假設(shè)提升商品的價(jià)格,企業(yè)的總收入反而減少.當(dāng)Ep<1缺少?gòu)椥詴r(shí),假設(shè)&P<0貝IJAF<0;假設(shè)APA0WJ4RA0.這說(shuō)明降低價(jià)格使總收入減少,提價(jià)可使總收入增加.當(dāng)Ep|=1單位彈性時(shí),我們可以證實(shí)總收入的改變量AR是較價(jià)格改變量AP高價(jià)的無(wú)窮小量,提價(jià)或降價(jià)對(duì)總收入沒(méi)有明顯的影響.下列圖3表示不同彈性的需求曲線.圖3從以上需求曲線的不同

12、情況,可顯示對(duì)價(jià)格變動(dòng)的反映程度之差異.三個(gè)圖中矩形A0DC的面積分別大于、等于、小于矩形BOFK的面積,各矩形面積分別表示收益R=PQ的大小.美國(guó)勞埃德雷諾茲在?微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)分析與政策?一書(shū)中舉過(guò)這樣一個(gè)例子：“假定你是小五金零件的生產(chǎn)者,你的產(chǎn)品的需求曲線是非彈性的(即Ep<1),這意味著什么呢如果你將價(jià)格提升,比方說(shuō)5%,你能夠出售的零件數(shù)量下降少于5%0因此,你得到的錢(qián)數(shù)是價(jià)格乘以數(shù)量,將大于過(guò)去.相反如果降價(jià)5%,零件售量低于5%的增加,你的銷(xiāo)售收入就會(huì)下降.例：設(shè)小五金零件的需求價(jià)格E=0.6<1,原價(jià)格為原銷(xiāo)售量為Q.,假定將價(jià)格提升5%,即麗/兄=5%,所以提價(jià)后的收

13、入變化為：R%1-EpQ0AP=1-0.6Q0M5%P0=0.02P0Q0>0此例驗(yàn)證了上述結(jié)論的正確性.上述結(jié)論均可為企業(yè)改善經(jīng)營(yíng)治理提供信息,對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)決策起一定的作用.參考文獻(xiàn)：1王保華,叢國(guó)華.邊際與彈性及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用J.哈爾濱金融高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào),1997(4):15-17.2劉玉紅.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)治理中的應(yīng)用J.山西統(tǒng)計(jì),2002(5):14-15.3耿鎖華.數(shù)學(xué):濟(jì)中的彈性分析J.南京金融高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào),2000(2):80-81.4史為,李楠.應(yīng)用邊際分析理論建立最優(yōu)化經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型J.昆明大學(xué)學(xué)報(bào)(綜合版),2002(1):15-19.TheAnalysisofMargi

14、nandElasticityinEconomicMathematicsZHUWen-tao(Chien-ShiungInstituteofTechnology,Taicang215411,China)Abstract:Marginandelasticityareimportantconceptsineconomicmathematics,aswellaseffectivewaysofdifferentialcalculusappliedineconomicanalysis.BasedonMargindndelasticityinthetheoryofeconomicmathematics,thisarticleistooffermathematizationdiscussionandestablishmentofmathematicalmodeltosomecommo