函數(shù)極限連續(xù)06297學習教案

1、會計學1函數(shù)極限函數(shù)極限(jxin)連續(xù)連續(xù)06297第一頁，共59頁。函 數(shù)的定義(dngy)反函數(shù)反函數(shù)(hnsh)與直接函數(shù)(hnsh)之間關系基本(jbn)初等函數(shù)復合函數(shù)初等函數(shù)函 數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)第一章 函數(shù) 主要內(nèi)容第1頁/共58頁第二頁，共59頁。1. 函數(shù)(hnsh)的概念定義(dngy): 定義域 值域圖形:( 一般為曲線 )設函數(shù)為特殊的映射:其中求函數(shù)的定義域P9: 2題第2頁/共58頁第三頁，共59頁。有界性 ,單調(diào)(dndio)性 ,奇偶性 ,周期性3. 反函數(shù)設函數(shù)(hnsh)為單射,反函數(shù)為其逆映射4. 復合函數(shù)給定

2、函數(shù)鏈則復合函數(shù)為5. 初等函數(shù)有限個常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算與復復合而成的一個表達式的函數(shù).第3頁/共58頁第四頁，共59頁。設函數(shù)(hnsh)且有區(qū)間(q jin)(1) 有界性使稱 使稱 說明: 還可定義有上界、有下界、無界 (2) 單調(diào)性為有界函數(shù).在 I 上有界. 使若對任意正數(shù) M , 均存在 則稱 f ( x ) 無界.稱 為有上界稱 為有下界當時,稱 為 I 上的稱 )(xf為 I 上的單調(diào)增函數(shù) ;單調(diào)減函數(shù) .xy1x如:y=1/x在(0,1)和 第4頁/共58頁第五頁，共59頁。xyoxx且有若則稱 f (x) 為偶函數(shù);若則稱 f (x) 為奇函數(shù). 說明(s

3、humng): 若在 x = 0 有定義(dngy) ,為奇函數(shù)時,則當必有定義域關于原點對稱(duchn)圖像關于y軸對稱圖像關于原點對稱第5頁/共58頁第六頁，共59頁。且則稱為周期函數(shù)(zhu q hn sh) ,to)(tf2xo2y2若稱l為周期(zhuq)( 一般(ybn)指最小正周期 ).周期為 周期為注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)第6頁/共58頁第七頁，共59頁。(1) 反函數(shù)的概念(ginin)及性質(zhì)若函數(shù)(hnsh)為單射,則存在逆映射習慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為 f 的反函數(shù) .其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增 性

4、質(zhì): 第7頁/共58頁第八頁，共59頁。2) 函數(shù)(hnsh)與其(yq)反函數(shù)的圖形關于(guny)直線對稱 .例如 ,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,其圖形關于直線xy 對稱 .),(abQ),(baPxyo指數(shù)函數(shù)第8頁/共58頁第九頁，共59頁。則設有函數(shù)(hnsh)鏈稱為由, 確定(qudng)的復合函數(shù) , 復合映射的特例 u 稱為中間變量. 注意: 構成復合函數(shù)的條件 不可少. 例如, 函數(shù)鏈 :函數(shù)但函數(shù)鏈不能構成復合函數(shù) .可定義復合第9頁/共58頁第十頁，共59頁。(1) 基本(jbn)初等函數(shù)(六大類)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、

5、反三角函數(shù)(2) 初等函數(shù)由基本初等函數(shù)否則稱非初等函數(shù) . 例如 ,構成 ,并可用一個式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所稱為初等函數(shù) .又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .常數(shù)函數(shù)、第10頁/共58頁第十一頁，共59頁。 初等(chdng)函數(shù)2.冪函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)5.三角函數(shù)(snjihnsh)1.常值函數(shù)4.對數(shù)函數(shù)6.反三角函數(shù)第11頁/共58頁第十二頁，共59頁。常值函數(shù)(hnsh)oxy1.常值函數(shù)(hnsh)constant function其中C是常數(shù)定義域值域第12頁/共58頁第十三頁，共59頁。冪函數(shù)oxy2.冪函數(shù)(pow

6、er functions )定義域值域都過點(1,1)第13頁/共58頁第十四頁，共59頁。xay xay)1( a 指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)定義域值域都過點(0,1)第14頁/共58頁第十五頁，共59頁。4. 對數(shù)函數(shù)(du sh hn sh)xyalog)1( a(logarithmic function)定義域值域都過點(1,0)自然對數(shù)a=e=2.71828時第15頁/共58頁第十六頁，共59頁。正弦(zhngxin)函數(shù)5. 三角函數(shù)(snjihnsh)定義域值域),(周期(zhuq)奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)性 第16頁/共58頁第十七頁，共59頁。余弦(yxin)函數(shù)定義域值

7、域 1 , 1),(周期(zhuq)奇偶性 偶函數(shù) 單調(diào)(dndio)性 第17頁/共58頁第十八頁，共59頁。正切(zhngqi)函數(shù)定義域值域周期(zhuq)奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)(dndio)性 第18頁/共58頁第十九頁，共59頁。余切(yqi)函數(shù)定義域值域周期(zhuq)奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)(dndio)性 第19頁/共58頁第二十頁，共59頁。正割(zhngg)函數(shù)定義域值域周期(zhuq)2奇偶性 偶函數(shù) 單調(diào)(dndio)性 第20頁/共58頁第二十一頁，共59頁。余割(yg)函數(shù)定義域周期(zhuq)奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)(dndio)性 23值域2第21頁/共58頁第二十二頁

8、，共59頁。6. 反三角函數(shù)(snjihnsh)定義域值域 1 , 1奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)(dndio)性 第22頁/共58頁第二十三頁，共59頁。定義域值域 1 , 1單調(diào)(dndio)性 第23頁/共58頁第二十四頁，共59頁。定義域值域奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)(dndio)性 ),(第24頁/共58頁第二十五頁，共59頁。xycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)arcxycot arc定義域值域單調(diào)(dndio)性 ),(第25頁/共58頁第二十六頁，共59頁。極 限的定義(dngy)數(shù) 列函 數(shù)數(shù)列(shli)極限與函數(shù)極限之間關系四則運算(s z yn sun)無窮小無窮大無窮小比較極 限的性質(zhì)

9、唯一性有界性保號性極限存在準則兩個重要極限極限第26頁/共58頁第二十七頁，共59頁。注意(zh y)：極限定義 如果對于任意給定的正數(shù) (不論(bln)它多么小),總存在正整數(shù) ,使得對于 時的一切 ,不等式 都成立,那么就稱常數(shù) 是數(shù)列 的極限,或者稱數(shù)列收斂于 ,記為 或如果數(shù)列(shli)沒有極限,就說數(shù)列(shli)是發(fā)散的.數(shù)列第27頁/共58頁第二十八頁，共59頁。總有總有有界:無界:下界(xi ji):上界:第28頁/共58頁第二十九頁，共59頁。性質(zhì)(xngzh)1（極限的唯一性）收斂(shulin)數(shù)列的極限必唯一.收斂數(shù)列必為有界數(shù)列.性質(zhì)2（有界性）反之不一定成立推論

10、無界數(shù)列則必發(fā)散性質(zhì)3（保序性）推論1（保號性）推論2第29頁/共58頁第三十頁，共59頁。性質(zhì)(xngzh)4（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系）發(fā)散數(shù)列判別(pnbi)法:1. 無界數(shù)列必定發(fā)散.2. 一子列發(fā)散,則數(shù)列發(fā)散.3. 兩子列收斂到不同的極限,則數(shù)列發(fā)散.第30頁/共58頁第三十一頁，共59頁。單調(diào)(dndio)增加有上界數(shù)列有極限；單調(diào)減少有下界(xi ji)數(shù)列有極限。第31頁/共58頁第三十二頁，共59頁。函數(shù)(hnsh)極限第32頁/共58頁第三十三頁，共59頁。函數(shù)極限(jxin)的統(tǒng)一定義(見下表)第33頁/共58頁第三十四頁，共59頁。過 程時 刻從此時刻以后 xxxN

11、Nn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過 程時 刻從此時刻以后 )(xf Axf)(第34頁/共58頁第三十五頁，共59頁。左極限(jxin)右極限(jxin)(right-hand limit)(left-hand limit)定理(dngl)第35頁/共58頁第三十六頁，共59頁。定理2（函數(shù)極限(jxin)的局部有界性）定理1（函數(shù)極限(jxin)的惟一性）(注:對于六種極限形式都成立只要做相應的修改即可,可類似證明) 若存在，那么該極限是唯一的，若那么存在常數(shù) M 0,()fxM0 ，和使得當00 xx ，有xlimx

12、lim第36頁/共58頁第三十七頁，共59頁。推論(tuln)3.不等式性質(zhì)(xngzh)定理(dngl)(保序性)注意:若將小于等于改成小于,極限式子也不可以改成小于.第37頁/共58頁第三十八頁，共59頁。定理(dngl)(局部保號性)推論(tuln)注意:若將小于等于改成小于,極限(jxin)式子也不可以改成小于.第38頁/共58頁第三十九頁，共59頁。第39頁/共58頁第四十頁，共59頁。一些基本初等(chdng)函數(shù)的極限第40頁/共58頁第四十一頁，共59頁。00,0,0 |Mxx當時,00,0,0 |Mxx當時,所有(suyu)以為極限的函數(shù)(包括(boku)數(shù)列)都稱為在某個趨

13、勢下的無窮大無窮大無窮小第41頁/共58頁第四十二頁，共59頁。定理1 在自變量的同一(tngy)變化過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.注意無窮多個(du )無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.定理2 有界函數(shù)(hnsh)與無窮小的乘積是無窮小.推論1 在自變量的同一變化過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小.若為無窮大,為無窮小 ;若為無窮小, 且則為無窮大.則定理4.在自變量的同一變化過程中,第42頁/共58頁第四十三頁，共59頁。(1)有限個正無窮(wqing)大量之和為正無窮(wqing)大量； 有限個負無窮(

14、wqing)大量之和為負無窮(wqing)大量。(2)有限(yuxin)個無窮大量之積為無窮大量。(3)非0常量C與正無窮大量之積為無窮大量。(4)無窮大量與有界量之和為無窮大量。 特別地，無窮大量與常量C之和為無窮大量。注：兩無窮大量之和或差不一定為無窮大量。注：無窮大量與有界量之積不一定為無窮大量，無窮大量與無窮小量（或無窮大量）之商不一定為無窮大量。第43頁/共58頁第四十四頁，共59頁。無窮小的性質(zhì)(xngzh) ;無窮小的比較(bjio) ;常用(chn yn)等價無窮小: ;x;x;x第44頁/共58頁第四十五頁，共59頁。則有定理(dngl) 1 . 若定理(dngl) 2 .

15、若則有定理 3 . 若且 B0 , 則有定理5. 設且 x 滿足時,又則有第45頁/共58頁第四十六頁，共59頁。(2) ,消去(xio q)零因子法1. 極限(jxin)四則運算法則2. 求函數(shù)極限(jxin)的方法 (3) 對 型 , 約去公因子 ,分子分母同除分母最高次冪Th1Th2Th3Th4總結 (4) 型(無窮小因子分出法)(5)無窮項之和,變形后求極限(1)多項式與分式函數(shù)(分母不為0)代入法求極限(7)利用左右極限求分段函數(shù)極限(6)利用無窮小、無窮大運算性質(zhì)求極限(8) 復合函數(shù)極限求法設中間變量洛必達法則洛必達法則第46頁/共58頁第四十七頁，共59頁。解決(jiju)方法

16、:通分轉化0取倒數(shù)(do sh)轉化0010取對數(shù)轉化00為非負常數(shù) )一般有如下結果：第47頁/共58頁第四十八頁，共59頁。 兩個(lin )重要極限 e)11(lim)2(或e1)1(lim0注: 代表相同的表達式填空題 ( 14 )第48頁/共58頁第四十九頁，共59頁。求極限(jxin):能否直接使用(shyng)洛必達法則:第49頁/共58頁第五十頁，共59頁。連續(xù)性間斷(jindun)點間斷(jindun)點的分類基本(jbn)初等函數(shù)反函數(shù)復合函數(shù)初等函數(shù)連續(xù)性定義間斷點定義閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)連續(xù)第50頁/共58頁第五十一頁，共59頁。有函數(shù)(hnsh)的增量)(xfy xo

17、y0 xxxy左連續(xù)(linx)右連續(xù)當時, 有函數(shù))(xf在點連續(xù)有下列等價命題:連續(xù)第51頁/共58頁第五十二頁，共59頁。定理(dngl)2. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)定理1. 在某點連續(xù)的有限(yuxin)個函數(shù)經(jīng)有限(yuxin)次和,差,積 ,商(分母不為 0) 運算,結果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù) .(遞減).遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)定理3. 連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的.定理3.初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)第52頁/共58頁第五十三頁，共59頁。在在(1) 函數(shù)(hnsh)(2) 函數(shù)(hns

18、h)不存在;(3) 函數(shù)存在 ,但 不連續(xù) :設在點的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形這樣的點之一函數(shù) f (x) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點 . 在無定義 ;第53頁/共58頁第五十四頁，共59頁。第一類間斷(jindun)點:及均存在(cnzi) ,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在 ,稱若其中有一個為振蕩 ,稱若其中有一個為為可去間斷點 .為跳躍間斷點 .為無窮間斷點 .為振蕩間斷點 .第54頁/共58頁第五十五頁，共59頁?？扇バ偷谝活愰g斷(jindun)點oyx跳躍(tioyu)型無窮(wqing)型振蕩型第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x第55頁/共58頁第五十六頁，共59頁。問x=0為函數(shù)(hnsh)的( )A 可去間斷(jindun)點B 跳躍(tioyu)間斷點C 無窮斷點D 連續(xù)點A在R內(nèi)連續(xù)，則a=( )1在x=0處連續(xù)，則a=(