知識(shí)講解正態(tài)分布理

1、-正態(tài)分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義。2. 了解正態(tài)曲線與正態(tài)分布的性質(zhì)?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)一、概率密度曲線與概率密度函數(shù)1概念：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，位于軸上方，落在任一區(qū)間a，b的概率等于它與軸、直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積如圖陰影局部，這條概率曲線叫做的概率密度曲線，以其作為圖象的函數(shù)叫做的概率密度函數(shù)。2、性質(zhì)：概率密度函數(shù)所取的每個(gè)值均是非負(fù)的。夾于概率密度的曲線與軸之間的“平面圖形的面積為1的值等于由直線，與概率密度曲線、軸所圍成的“平面圖形的面積。要點(diǎn)二、正態(tài)分布1.正態(tài)變量的概率密度函數(shù)正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達(dá)式為：，其中*是隨機(jī)變量

2、的取值；為正態(tài)變量的期望；是正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.2正態(tài)分布1定義如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)隨機(jī)變量滿足：，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。記為。2正態(tài)分布的期望與方差假設(shè)，則的期望與方差分別為：，。要點(diǎn)詮釋：1正態(tài)分布由參數(shù)和確定。參數(shù)是均值，它是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可用樣本的均值去估計(jì)。是標(biāo)準(zhǔn)差，它是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)。2經(jīng)歷說明，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布例如長(zhǎng)度測(cè)量誤差；*一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長(zhǎng)的小

3、麥的株高、穗長(zhǎng)、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等；*地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布 要點(diǎn)三、正態(tài)曲線及其性質(zhì)：1. 正態(tài)曲線如果隨機(jī)變量*的概率密度函數(shù)為，其中實(shí)數(shù)和為參數(shù)，則稱函數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。2正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于軸上方，與軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；曲線在時(shí)到達(dá)峰值；當(dāng)時(shí)，曲線上升；當(dāng)時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以*軸為漸近線，向它無限靠近.曲線與軸之間的面積為1；決定曲線的位置和對(duì)稱性；當(dāng)一定時(shí)，曲線的對(duì)稱軸位置由確定

4、；如以下圖所示，曲線隨著的變化而沿軸平移。確定曲線的形狀；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“高瘦，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖，表示總體的分布越分散。如以下圖所示。要點(diǎn)詮釋：性質(zhì)說明了函數(shù)具有值域函數(shù)值為正及函數(shù)的漸近線*軸性質(zhì)并且說明了函數(shù)具有對(duì)稱性；性質(zhì)說明了函數(shù)在*=時(shí)取最值；性質(zhì)說明越大，總體分布越分散，越小，總體分布越集中要點(diǎn)四、求正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率1. 隨機(jī)變量取值的概率與面積的關(guān)系 假設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、bab，當(dāng)隨機(jī)變量在區(qū)間a，b上取值時(shí)，其取值的概率與正態(tài)曲線與直線*=a，*=b以及*軸所圍成的圖形的面積相等如圖1中的陰影局

5、部的面積就是隨機(jī)變量孝在區(qū)間a，b上取值的概率 一般地，當(dāng)隨機(jī)變量在區(qū)間，a上取值時(shí)，其取值的概率是正態(tài)曲線在*=a左側(cè)以及*軸圍成圖形的面積，如圖2隨機(jī)變量在a，+上取值的概率是正態(tài)曲線在*=a右側(cè)以及*軸圍成圖形的面積，如圖3 根據(jù)以上概率與面積的關(guān)系，在有關(guān)概率的計(jì)算中，可借助與面積的關(guān)系進(jìn)展求解2、正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值：；。上述結(jié)果可用以下圖表示：要點(diǎn)詮釋：假設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則落在的概率約為0.997，落在之外的概率約為0.003，一般稱后者為小概率事件，并認(rèn)為在一次試驗(yàn)中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生。一般的，服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量通常只取之間的值，簡(jiǎn)稱為原則。3、求

6、正態(tài)分布在給定區(qū)間上的概率方法1數(shù)形結(jié)合，利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及曲線與軸之間面積為1。正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，與對(duì)稱的區(qū)間上的概率相等。例如；假設(shè)，則。(2)利用正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間取值的概率：；?！镜湫屠}】類型一、正態(tài)分布的概率密度函數(shù)例1.以下函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是 A，都是實(shí)數(shù)B C D【思路點(diǎn)撥】此題可對(duì)照正態(tài)密度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式判斷【解析】正態(tài)密度函數(shù)為：， 其中指數(shù)局部的應(yīng)與系數(shù)的分母處的保持一致，系數(shù)為正數(shù)且指數(shù)為負(fù)數(shù) 選項(xiàng)A有兩處錯(cuò)誤，分別是錯(cuò)為，指數(shù)錯(cuò)為正數(shù)選項(xiàng)C，從系數(shù)可得=2，而從指數(shù)處可得，顯然不符選項(xiàng)D中指數(shù)為正，錯(cuò)誤所以正確答案為B【總結(jié)升華】注意函數(shù)的形式特點(diǎn)是解

7、題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】設(shè)一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)的圖象，則這個(gè)正態(tài)總體的均值與方差分別是 A10與8 B10與4 C8與10 D2與10【答案】在該正態(tài)分布中，=10，=2，則E(*)=10，D(*)=4，應(yīng)選B?！咀兪?】給出以下三個(gè)正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請(qǐng)找出其均值和標(biāo)準(zhǔn)差 【答案】(1)0，1(2)1，2(3)-1，0.5 【變式3】正態(tài)總體為1概率密度函數(shù)是 A奇函數(shù) B偶函數(shù) C非奇非偶函數(shù) D既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】B。因?yàn)樗赃xB。【變式4】一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)一種尺寸為10 mm的零件，現(xiàn)在從中抽測(cè)10個(gè)，它們的尺寸分別如下單位：mm：10.2，10.1，10，9.

8、8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1如果機(jī)床生產(chǎn)零件的尺寸*服從正態(tài)分布，求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式【答案】求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式，只要求出參數(shù)和即可，而即樣本均值，即樣本標(biāo)準(zhǔn)差依題意得，即，所以*的概率密度函數(shù)為類型二、正態(tài)曲線例2. 如下圖，是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖像寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差 【思路點(diǎn)撥】 由正態(tài)曲線的圖像可知，該曲線的對(duì)稱軸為*=20，最大值為，因此，=20，由可求得的值【解析】 從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線*=20對(duì)稱，最大值是，所以=20 由，解得 于是概率密度函數(shù)的解析式是，*，+總體隨機(jī)變

9、量的期望是=20，方差是【總結(jié)升華】 利用圖像求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖像的實(shí)質(zhì)性兩點(diǎn)：一是對(duì)稱軸*=，一是最值這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)縱、便確定了，代入P*中便可求出相應(yīng)的解析式舉一反三：【變式1】 關(guān)于正態(tài)密度曲線性質(zhì)的表達(dá)：曲線關(guān)于直線*=對(duì)稱，整條曲線在*軸上方；曲線對(duì)應(yīng)的正態(tài)總體概率密度函數(shù)是偶函數(shù)；曲線在*=時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低；曲線的對(duì)稱位置由確定，曲線的形狀由確定，越大曲線越“矮胖，反之，曲線越“高瘦 其中表達(dá)正確的有 A B C D【答案】B根據(jù)曲線關(guān)于直線*=對(duì)稱，只有當(dāng)=0時(shí)函數(shù)才是偶函數(shù)，故錯(cuò)利用排除法選B【變式2】如圖，兩個(gè)正態(tài)分

10、布曲線圖：1為，2為，則，填大于，小于【答案】，。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知?！咀兪?】如圖是三個(gè)正態(tài)分布*N0，0.25，YN0，1，ZN0，4的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量*，Y，Z對(duì)應(yīng)曲線分別是圖中的_、_、_?！敬鸢浮??！咀兪?】正態(tài)總體落在區(qū)間的概率是05，則相應(yīng)的正態(tài)曲線在時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)?！敬鸢浮?.2。由于正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，由題意知。類型三、正態(tài)分布的計(jì)算例3隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2，2)，P(4)0.84，則P(0)()A0.16B0.32C0.68 D0.84【思路點(diǎn)撥】可畫出正態(tài)曲線，利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性解決。【解析】P(4)0.84，2，P(0)P(4)10.840

11、.16，應(yīng)選A.【總結(jié)升華】此題利用了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)求概率，其中應(yīng)注意對(duì)稱性的運(yùn)用。舉一反三：【變式1】1，和的值各是多少.2，和的值各是多少.【答案】1比照，時(shí)，=0，=1。2比照，時(shí)，=1，所以 =1，=3?！咀兪?】在*次測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，假設(shè)在0，1取值的概率為0.4，則在0，2取值的概率為_?！敬鸢浮?.8 服從正態(tài)分布，在0，1與1，2取值的概率一樣，均為0.4。在0，2取值的概率為0.4+0.4=0.8?！咀兪?】設(shè)隨機(jī)變量*N0，1，1P(a*0)=P(0*a)(a>0)；2P(*0)=0.5；3P(|*|1)=0.6826，則P(*1)=0.1587；4

12、P(|*|2)=0.9544，則P(*2)=0.9772；5P(|*|3)=0.9974，則P(*3)=0.9987。其中正確的有 A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)【答案】D；均正確，充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及其意義。例4. 設(shè)N1，22，試求： 1P13； 2P35； 3P5【思路點(diǎn)撥】 要求隨機(jī)變量在*一圍的概率，只需借助于正態(tài)密度曲線的圖像性質(zhì)以及課本中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)展轉(zhuǎn)化求值【解析】 N1，22，=1，=2，1P13=P121+2=P=0.6832P35=P31，P353P5=P3，【總結(jié)升華】 在求隨機(jī)變量在*一圍的概率時(shí)，可以首先把隨機(jī)變量的取值轉(zhuǎn)化到區(qū)間、以及，然后利用在上的概率約為

13、0.683，在上的概率約為0.954，在上的概率約為0.997舉一反三：【變式1】，求。【答案】時(shí)，=2，=5，【變式2】假設(shè)N5，1，求P57【答案】N5，1，正態(tài)分布密度函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)為=5，=1，該正態(tài)密度曲線關(guān)于*=5對(duì)稱【變式3】設(shè)。1求P(11)；2求P(02)?！敬鸢浮?時(shí)，。2，正態(tài)曲線關(guān)于直線*=0對(duì)稱，。類型四、正態(tài)分布的應(yīng)用例5. *年級(jí)的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N70，102，如果規(guī)定低于60分為不及格，則 1成績(jī)不及格的人數(shù)占多少. 2成績(jī)?cè)?090分的學(xué)生占多少.【思路點(diǎn)撥】 此題考察正態(tài)密度曲線對(duì)稱性及正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律因?yàn)檎龖B(tài)密度曲線關(guān)

14、于直線*=對(duì)稱，故此題可利用對(duì)稱性及特殊值求解【解析】1設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量*， 則*N70，102，其中=70，=10 成績(jī)?cè)?080分之間的學(xué)生人數(shù)的概率為 P7010*70+10=0.683， 不及格的人數(shù)占 ×10.683=0.1585 2P7020*70+20=0.954， 成績(jī)?cè)?090分的學(xué)生占P50*90P60*80=0.1355【總結(jié)升華】 此題利用了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)求概率，其中應(yīng)注意對(duì)稱性的運(yùn)用及正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律舉一反三：【變式1】工廠制造的*機(jī)械零件尺寸*服從正態(tài)分布N，問在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5)

15、這個(gè)尺寸圍的零件大約有多少個(gè).【答案】*N，4，.不屬于區(qū)間(3,5)的概率為P(*3)P(*5)1P(3<*<5)1P(41<*<41)1P(3<*<3)10.997 0.0031 000×0.0033(個(gè))，即不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸圍的零件大約有3個(gè)【變式2】商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)的*種包裝的大米質(zhì)量服從正態(tài)分布N10，0.12單位：kg?，F(xiàn)進(jìn)1000袋這種大米，質(zhì)量不在9.710.3 kg的大米大約有多少袋.【答案】由正態(tài)分布N10，0.12，知=10，=0.1，質(zhì)量在9.710.3 kg的概率為P(103×0.1*10+3×0.1)=0.997質(zhì)量不在9.710.3 kg的概率為P=10.997=0.003。質(zhì)量不在9.710.3 kg的大米大約有1000×0.003=3袋。【變式3】在*次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)*服從一個(gè)正態(tài)分布，即*N(90，100)。1試求考試成績(jī)*位于區(qū)間70，110的概率是多少.2假設(shè)這次考試共有2000名考