西安交大計算方法第一章

1、數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 馬軍馬軍理科樓理科樓 338QQ 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 馬軍馬軍理科樓理科樓 338QQ 604751413112134131216113121321321321xxxxxxxxx1, 1, 1:321xxx其其解解為為求解方程組求解方程組78. 020. 025. 033. 008. 125. 033. 050. 083. 133. 050. 000. 1321321321xxxxxxxxx演示計算方法計算方法鄧建中鄧建中, ,西安交通大學(xué)出版社西安交通大學(xué)出版社數(shù)值分析數(shù)值分析李乃成李乃成, ,梅立泉梅立泉 科學(xué)出版社科學(xué)出版社參考書參考書課程成績課程

2、成績 考試成績考試成績 80%80%上機成績上機成績 20%20%課程基礎(chǔ)課程基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 計算機基礎(chǔ)計算機基礎(chǔ) 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 線性代數(shù)線性代數(shù) 計算機語言計算機語言 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 第第1 1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 什么是數(shù)值計算方法什么是數(shù)值計算方法第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 算法算法數(shù)值型問題數(shù)值型問題 解決工程計算問題解決工程計算問題非數(shù)值型問題非數(shù)值型問題 解決一般的計算機應(yīng)用解決一般的計算機應(yīng)用理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ):高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué),線性代線性代數(shù)數(shù),數(shù)學(xué)模型

3、數(shù)學(xué)模型,計算方法等計算方法等理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ):數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),離散離散數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)等計算機處理的問題計算機處理的問題第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 問題的類型問題的類型第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 n定義定義 誤差誤差是指近似值與真正值之差是指近似值與真正值之差 誤差分類誤差分類模型誤差模型誤差在建立數(shù)學(xué)模型時，忽略次要因素而造成的在建立數(shù)學(xué)模型時，忽略次要因素而造成的數(shù)據(jù)誤差數(shù)據(jù)誤差由于問題中的值通過觀察得到的，從而產(chǎn)生誤差由于問題中的值通過觀察得到的，從而產(chǎn)生誤差截斷誤差截斷誤差通過近似替代，簡化為較易求解的問題通過近似替代，簡化為較

4、易求解的問題舍入誤差舍入誤差由于計算機中的性能限制而造成的由于計算機中的性能限制而造成的第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 絕對誤差絕對誤差第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 的近似值是真值設(shè)xxxxxx或 的絕對誤差稱為近似值x誤差限稱為絕對誤差界或絕對則令,x)( xxx或者記為有絕對誤差或絕對誤差限絕對誤差或絕對誤差限常常簡稱為誤差常常簡稱為誤差相對誤差相對誤差第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 的近似值是真值設(shè)xxxxxxxxx 或的相對誤差稱為近似值x誤差限稱為相對誤差界或相對則令rrx, )1 (rxx有相對誤差界相

5、對誤差界常用百分數(shù)表示常用百分數(shù)表示, ,簡稱為相對誤差簡稱為相對誤差準確數(shù)字準確數(shù)字第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 0,12121xxxxxxxxnmmmm并設(shè)設(shè)nxx1021 50000. 0n個若位小數(shù)準確到稱為nx準確數(shù)字及其以前的非零數(shù)字為并稱nmx.897931415926535. 3:例1416. 3141105 . 000005. 00000073. 0位準確數(shù)字共位小數(shù)準確到則541，有效數(shù)字有效數(shù)字第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 nmmmmxxxxxxx2121設(shè)nmmmmmxxxxxx2121. 010mnmxxxx21

6、000 . 0個mnmxxx21. 010位準確數(shù)字具有位小數(shù)準確到則如果mnnxxxn,1021數(shù)稱為有效數(shù)各位數(shù)字都準確的近似字各準確數(shù)字稱為有效數(shù)問題的性態(tài)問題的性態(tài)第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 可表示為有關(guān)與某些參量設(shè)數(shù)學(xué)問題的解,.,21nxxxy),.,(21nxxxy),.,( ,21nxxxy，得到近似解解也會有誤差時則當(dāng)各輸入?yún)?shù)有誤差),.,(),.,( 2121nnxxxxxxyy-y則解的絕對誤差為),.,(y 21nxxxyyy相對誤差為問題的性態(tài)問題的性態(tài)第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 于函數(shù)的微分函數(shù)的增量可以

7、近似等當(dāng)數(shù)據(jù)誤差較小時，iniinxxxxxy121),.,(iiniinxxxxxxy121),.,(倍數(shù)縮小的放大或表示解的誤差相對量的或其中的系數(shù)iiixxx的條件數(shù)稱其為問題y否則稱為良態(tài)問題態(tài)問題條件數(shù)大的問題稱為病,問題的性態(tài)問題的性態(tài)第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 可以得到)()()(211221xxxxxx22212121)(xxxxxxx浮點數(shù)系浮點數(shù)系第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 ). 0()( 21tmxxxbxxflx按舍入原則表示為將實數(shù)進制浮點數(shù)并稱為b:其中稱為基數(shù)基數(shù) b:的數(shù)字為尾數(shù)1.,2 , 1 , 0

8、,. 0:21bxxxxit稱為規(guī)格化的浮點數(shù)時當(dāng)，x01UmL，m:范圍稱為階碼階碼稱為計算機的位數(shù)位數(shù) t :浮點數(shù)系浮點數(shù)系第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 可能有半位誤差其末位數(shù)字規(guī)格化的浮點數(shù)txxfl)(tmmtbbbxflx2121)( 絕對誤差tbxfl(x)x121 相對誤差計算機的相對精度 在計算機的浮點數(shù)系中,四則運算是非封閉的 為使經(jīng)過算術(shù)運算產(chǎn)生的結(jié)果仍然以同一浮點數(shù)系中的數(shù)表示,必須用一個比較接近的浮點數(shù)代替.因此會產(chǎn)生誤差,稱此誤差為舍入誤差第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 點數(shù)系的浮點數(shù)的集合稱為浮在計算機中所有規(guī)

9、格化浮點數(shù)系浮點數(shù)系浮點數(shù)系浮點數(shù)系第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 223(2,3,-1,2)(0.100 2 ) (0.110 2 )0.110 2F上溢 在中 012(2,3,-1,2)(0.100 2 ) (0.110 2 )0.110 2F下溢 在中 浮點數(shù)系浮點數(shù)系第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 001(2,3,-1,2)(0.100 2 )(0.111 2 )0.1101 2F 在中 浮點數(shù)系浮點數(shù)系第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 (1)(1)避免

10、產(chǎn)生大結(jié)果的運算，尤其是避免小數(shù)作為除數(shù)避免產(chǎn)生大結(jié)果的運算，尤其是避免小數(shù)作為除數(shù) 參加運算；參加運算；(2)(2)避免避免“大大”“”“小小”數(shù)相加減；數(shù)相加減；(3)(3)避免相近數(shù)相減，防止大量有效數(shù)字損失；避免相近數(shù)相減，防止大量有效數(shù)字損失；(4)(4)盡可能簡化運算步驟，減少運算次數(shù)。盡可能簡化運算步驟，減少運算次數(shù)。浮點運算原則浮點運算原則第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 n定義定義 在執(zhí)行某一數(shù)值方法時，如果由初始誤差導(dǎo)致最終解在執(zhí)行某一數(shù)值方法時，如果由初始誤差導(dǎo)致最終解的誤差能被有效地控制，這樣的方法是的誤差能被有效地控制，這樣的方法是數(shù)值穩(wěn)定數(shù)值穩(wěn)定的的 方法的數(shù)值穩(wěn)定性是指運算中由初始誤差通過計算方法的數(shù)值穩(wěn)定性是指運算中由初始誤差通過計算導(dǎo)致的最終解的誤差的可控性導(dǎo)致的最終解的誤差的可控性反之，如果各個計算過程中的誤差不斷增長，且不能反之，如果各個計算過程中的誤差不斷增長，且不能被有效地控制，則該方法稱為被有效地控制，則該方法稱為數(shù)值不穩(wěn)定數(shù)值不穩(wěn)定的的第第1章章 數(shù)值計算方法的一般概念數(shù)值計算方法的一般概念 計算機在計算過程中，由于原始數(shù)據(jù)可能有誤差，每次運算也計算機在計算過程中，由于原始數(shù)