第四講 黃金分割及數(shù)學(xué)的真、善、美

1、免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史1第四講第四講 黃金分割及數(shù)學(xué)的真、善、美黃金分割及數(shù)學(xué)的真、善、美免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史2提綱：提綱：1、引 言2、黃金分割的簡(jiǎn)單性質(zhì)3、正五邊形中的黃金分割4、黃金分割與斐波那契數(shù)列5、黃金分割與優(yōu)選法6、余音：數(shù)學(xué)的真、善、美免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史3藝術(shù)與生活中黃金比的美藝術(shù)與生活中黃金比的美免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史4一、引言一、引言黃金分割是具有悠久歷史同時(shí)卻永葆青春的數(shù)學(xué)珍品。 “幾何學(xué)有兩大財(cái)富：

2、一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯定理，另一個(gè)是按照中外比劃分一個(gè)線段。第一大財(cái)富可稱得上是黃金定理，而第二大財(cái)富則可稱之為珍珠定理?！钡聡?guó)天文學(xué)家 開普勒免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史5幾何原本幾何原本第二篇問(wèn)題第二篇問(wèn)題11：分割一已給直線，使整段與其中一分段所成矩：分割一已給直線，使整段與其中一分段所成矩形等于另一分段上的正方形。形等于另一分段上的正方形。 AB C D E F G H xx免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史6幾何原本幾何原本第六篇中的定義：第六篇中的定義：分一線段為二線段，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時(shí)，則稱此線段被

3、分為中外比中外比（extreme and mean ratio）。需指出的是：黃金分割這一名稱只是在它十分出名之后，即到19世紀(jì)初期才出現(xiàn)的。免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史7二、黃金分割的簡(jiǎn)單性質(zhì)二、黃金分割的簡(jiǎn)單性質(zhì)ACBEF1上圖上圖E點(diǎn)位線段點(diǎn)位線段AC的黃金分割點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)0.5黃金比的幾何畫法黃金比的幾何畫法免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史8黃金分割點(diǎn)（比）黃金分割點(diǎn)（比）A B C1-1101-2251-618. 021-5解得解得 其正根為其正根為 即即 有有 免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)

4、文化與數(shù)學(xué)史9黃金比的連分?jǐn)?shù)表示：1111111111免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史10黃金比的根式表示：黃金比的根式表示： 由由 -1-1-1-1-1還可得 免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史11三、正五邊形中的黃金分割三、正五邊形中的黃金分割B C D E F G H I J A免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史12命題命題3.1：正五邊形邊長(zhǎng)與對(duì)角線之比為黃金比：正五邊形邊長(zhǎng)與對(duì)角線之比為黃金比B C D E F G H I J A免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史

5、13四、黃金分割與斐波那契數(shù)列四、黃金分割與斐波那契數(shù)列免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史14斐波那契兔子問(wèn)題：斐波那契兔子問(wèn)題： 兔子出生以后兩個(gè)月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對(duì)（一雌一雄），且每月生一次。假如養(yǎng)了初生的小兔一對(duì)，則一年以后共可有多少對(duì)兔子（如果生下來(lái)的小兔都不死的話）？免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史15用表示一對(duì)小兔子，用表示一對(duì)大兔子 。且用下圖a表示一對(duì)小兔子一月后長(zhǎng)成一對(duì)大兔子，圖b表示一對(duì)大兔子一月生一對(duì)小兔子。(a) (b) 免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史16

6、免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史17命題命題4、1：當(dāng)：當(dāng)即nnFFn1時(shí)，)(11111111111nFFnnn個(gè)1其中 為斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)。nF免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史18斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式 ：) 1()251()251(51nFnnn免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史19斐波那契數(shù)列的一些有趣性質(zhì)斐波那契數(shù)列的一些有趣性質(zhì):命題4.4：成立命題4.3：成立命題4.5：成立命題4.2：成立1221nnFFFF11224221231nnNnFFFFFFFF及12

7、2221nnnFFFFF為奇數(shù)。為偶數(shù)，nFnFFFnnnn, 1, 121212命題4.6：成立為奇數(shù)。為偶數(shù)，nFnFFFFFFFnnnn, 1,2213221免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史20命題命題4.6的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用：的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用：七個(gè)依次的矩形之和等于一個(gè)大的正方形。七個(gè)依次的矩形之和等于一個(gè)大的正方形。 1321 813 58 352312 11免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史21爬樓梯問(wèn)題：爬樓梯問(wèn)題：上樓梯時(shí)，從樓梯外只能進(jìn)入第上樓梯時(shí)，從樓梯外只能進(jìn)入第1梯，跨入樓梯后若允許每梯，跨入樓梯后若允許每次跨一梯

8、或兩梯，問(wèn)：可以用多少種方法，跨到第次跨一梯或兩梯，問(wèn)：可以用多少種方法，跨到第n梯？梯？ 2 3 4 5 1 n-2 n-1 n 免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史22蜜蜂進(jìn)蜂房問(wèn)題：蜜蜂進(jìn)蜂房問(wèn)題：一只蜜蜂從蜂房一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)，想爬到第出發(fā)，想爬到第1,2,3，n號(hào)蜂號(hào)蜂房，但只允許它自左向右（不許反向倒走），問(wèn)它爬到第房，但只允許它自左向右（不許反向倒走），問(wèn)它爬到第n號(hào)蜂房的路線號(hào)蜂房的路線數(shù)可以有多少條？數(shù)可以有多少條？1436257An免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史23推廣的推廣的斐波那契數(shù)列：盧卡斯數(shù)列斐波那契

9、數(shù)列：盧卡斯數(shù)列 從任何兩個(gè)前小后大的正整數(shù)開始，往后的每一個(gè)數(shù)是該數(shù)之前兩個(gè)數(shù)的和，由此構(gòu)成的無(wú)窮數(shù)列稱為推廣的斐波那契數(shù)列。 1,3,4,7,11,18，29，現(xiàn)稱為盧卡斯數(shù)列。它與黃金分割同樣有密切的聯(lián)系。免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史24五、黃金分割點(diǎn)與優(yōu)選法五、黃金分割點(diǎn)與優(yōu)選法中國(guó)數(shù)學(xué)家 華羅庚免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史25 假設(shè)在區(qū)間【0,1】上有一個(gè)單峰函數(shù)，我們要求其達(dá)到極大值的點(diǎn)?？梢酝ㄟ^(guò)在區(qū)間上不斷取點(diǎn)進(jìn)行比較后得到。 在區(qū)間上取兩個(gè)點(diǎn)的原則是：這兩個(gè)點(diǎn)應(yīng)該關(guān)于區(qū)間的中點(diǎn)對(duì)稱配置，同時(shí)，其中的任何一個(gè)

10、點(diǎn)應(yīng)同時(shí)是縮小區(qū)間中的一個(gè)這樣的點(diǎn)。免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史26用優(yōu)選法在一個(gè)區(qū)間中所選的兩個(gè)點(diǎn)，就是此區(qū)間上的左、右黃金分割點(diǎn)。換言之，優(yōu)選法是基于黃金分割的優(yōu)選法。黃金分割點(diǎn)具有再生性。ABOC/C/C免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史27余余 音：數(shù)學(xué)的真、善、美音：數(shù)學(xué)的真、善、美思 索：黃金分割是美的，同時(shí)亦是有用的（善的），它的美和善來(lái)自何方？黃金分割的美和善來(lái)自于它的真。即它是本存在于自然界與人類社會(huì)許多事物之間的確定的數(shù)量關(guān)系。當(dāng)人們通過(guò)深入的觀察，把這種數(shù)量關(guān)系抽象出來(lái)后，就成為了具有普遍聯(lián)系性的知識(shí)和有用的一種思想方法。而美的東西與有用的東西之間常常是有聯(lián)系的。因此，黃金分割正是集真、善、美與一體的數(shù)學(xué)藝術(shù)品。免師教育碩士課程免師教育碩士課程數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史28 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)是在激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣后，在