美國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型

1、2021年數(shù)學(xué)建模論文第一套論文題目：人口增長(zhǎng)模型確實(shí)定組別：第35組姓名：耿晨閆思娜王強(qiáng)提交日期：2021年7月4日題目：美國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型本文根據(jù)近兩個(gè)世紀(jì)美國(guó)每十年一次的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),建立了指數(shù)增長(zhǎng)模型,即Malthus模型,并通過(guò)1790-1890年的數(shù)據(jù)驗(yàn)證了它的準(zhǔn)確性.但是,隨著時(shí)間的推移,擬合函數(shù)與統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)誤差逐漸增大,所以,又建立了阻滯增長(zhǎng)模型,即Logistic模型,這個(gè)模型的擬合函數(shù)與統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)誤差較小,并用該模型對(duì)美國(guó)未來(lái)幾年的人口做出了預(yù)測(cè).總體來(lái)說(shuō),阻滯增長(zhǎng)模型在預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度方面要明顯優(yōu)于原始的馬爾薩斯人口指數(shù)增長(zhǎng)模型.關(guān)鍵詞：指數(shù)增長(zhǎng)模型,阻滯增長(zhǎng)模型,人口預(yù)測(cè)一、問(wèn)

2、題重述1790-1980年間美國(guó)每隔10年的人口記錄如下表所示表1:人口記錄表年份1790一180018101820183018401850186018701880人口(X106)3.915.37.29.612.917.123.231.438.650.2年份1890190019101920193019401950196019701980人口(X106)62.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.51 .試用以上數(shù)據(jù)建立馬爾薩斯(Malthus)人口指數(shù)增長(zhǎng)模型,并對(duì)接下來(lái)的每隔十年預(yù)測(cè)五次人口數(shù)量,并查閱實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)分析.2 .如果數(shù)據(jù)不相符

3、,再對(duì)以上模型進(jìn)行改良,尋找更為適宜的模型進(jìn)行預(yù)測(cè),并對(duì)兩次預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比照分析.3 .查閱資料找出中國(guó)人口與表1同時(shí)期的人口數(shù)量,用以上建立的兩個(gè)模型進(jìn)行人口預(yù)測(cè)與分析.二、問(wèn)題分析影響人口增長(zhǎng)的因素很多,其中最主要的兩個(gè)因素是出生率和死亡率.出生率受到嬰兒死亡率、對(duì)避孕的態(tài)度及舉措效果、對(duì)墮胎的態(tài)度、懷孕期間的健康護(hù)理等因素的影響；死亡率那么受到衛(wèi)生設(shè)施與公共衛(wèi)生狀況、戰(zhàn)爭(zhēng)、污染、醫(yī)療水平、飲食習(xí)慣、心理壓力和焦慮等因素的影響.止匕外,影響人口在一個(gè)地區(qū)增長(zhǎng)的因素還有遷入和遷出、生存空間的限制、水和食物、疾病等.在這些因素中,有些是常態(tài)的或者有規(guī)律的,這些因素對(duì)人口的增長(zhǎng)是恒定的；而有些因

4、素是隨機(jī)的,對(duì)人口的增長(zhǎng)是沒(méi)有規(guī)律的.因此,當(dāng)大范圍、長(zhǎng)時(shí)期研究人口增長(zhǎng)問(wèn)題時(shí),對(duì)人口增長(zhǎng)產(chǎn)生影響的隨機(jī)因素就不在考慮了.建立該模型的目的是要能通過(guò)模型預(yù)測(cè)美國(guó)后來(lái)每十年的人口數(shù)具體變化,并與實(shí)際的數(shù)據(jù)進(jìn)行比照,看誤差的大小.在此根底上利用改良的模型對(duì)美國(guó)人口同時(shí)期數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè),并進(jìn)行總結(jié)分析.三、問(wèn)題假設(shè)人口指數(shù)增長(zhǎng)模型中采用以下根本假設(shè)：(1)單位時(shí)間的人口總量增長(zhǎng)與當(dāng)時(shí)的人口呈正比,比例常數(shù)為k；(2)假設(shè)t時(shí)刻的人口為N(t),由于人口數(shù)一般是很大的,所以將N(t)近似地視為連續(xù),可微的函數(shù).記初始時(shí)刻(t=0)的人口數(shù)為N0O新生人口數(shù)百分率為a,死亡的百分率為b,那么,經(jīng)過(guò)At時(shí)間

5、后,人口數(shù)量為N(t+At)就是原來(lái)人口數(shù)量加上At時(shí)間內(nèi)新生人口數(shù)減去死亡人口數(shù).四、變量說(shuō)明t0：數(shù)據(jù)的起始時(shí)間,即1790年；t:時(shí)間變量；r：人口固有增長(zhǎng)率；N.：當(dāng)時(shí)間t=1790時(shí)的人口數(shù)量,即3.9*10A6人；N：t時(shí)刻人口數(shù)量；Nm：最大人口容量.五、模型建立在Malthus的人口指數(shù)增長(zhǎng)模型中,根據(jù)假設(shè)我們可以得到:Nt：t=NtaNt=t-bNt：t(D上式進(jìn)行變形,N-aaN(t)-bN(t)=kN(t),其中,AN=N(t+&)-N(t)可見(jiàn)在一段時(shí)間內(nèi),人口的變化和人口的數(shù)量成正比,用瞬時(shí)變化率逼近平均變化率得：dNdtkNN(t0)-N0(2)式中：N0-

6、初始時(shí)刻的人口數(shù)；N-人口數(shù).用別離變量法得到上述方程的解為：ktN一二kt0e(3)即方程的解為N=N0ek(j)(4)六、模型求解利用MATLAB數(shù)學(xué)工具,對(duì)數(shù)據(jù)中前H一年1790-1890的人口數(shù)擬合4式.現(xiàn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變形以便處理,對(duì)4式進(jìn)行取對(duì)數(shù),得：InN=kt-t°InN0(5)取t0=0,在MATLAB中輸入程序程序1:可以得到k=0.2808;InN0=1.4107即N0=4.0988所以1790年到1890年的擬合函數(shù)為線性函數(shù)lnN=0.2808t+1.4107,所以:N=4.0988e0.2808t(6)繪制離散點(diǎn)和擬合函數(shù)的圖像進(jìn)行比照,在MATLAB中輸入程

7、序程序2:得圖1如下：圖1:1790-1890年美國(guó)人口擬合曲線圖比擬擬合的曲線圖和散點(diǎn)圖圖1可以發(fā)現(xiàn)與19世紀(jì)的人口增長(zhǎng)情況相吻合類似地,可以求出1790年至1990年的擬合函數(shù)為(7)0.2142tN=5.5918e擬合過(guò)程如下：在MATLAB中輸入程序見(jiàn)程序3:可以得到k=0.2142lnN0=1.7213即No=5.5918所以1970年到1990年的擬合函數(shù)為線性函數(shù)y=0.2142x+1.7213,所以:_02142tN=5.5918e繪制離散點(diǎn)和擬合函數(shù)的圖像進(jìn)行比照,在MATLAB中輸入程序程序4,得圖2如下：35D02468101214161820圖2:1790-1990年美

8、國(guó)人口擬合曲線圖此時(shí)我們可以觀察到雖然前期的數(shù)據(jù)能較好的吻合,但是隨著時(shí)間的推移并不能很好的反響后期的人口真實(shí)情況,函數(shù)估計(jì)值與統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的誤差越來(lái)越大.這說(shuō)明,用指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)短期人口的數(shù)量可以得到較好的結(jié)果,但是從長(zhǎng)期來(lái)看,任何地區(qū)的人口數(shù)量都不可能無(wú)限制地增長(zhǎng).因此,指數(shù)增長(zhǎng)模型不適合預(yù)測(cè)長(zhǎng)時(shí)期人口的增長(zhǎng)情況.Malthus模型中,我們只考慮了出生率和死亡率對(duì)人口的影響,而忽略了其他因素如自然資源、生存環(huán)境等對(duì)人口的影響.然而這些因素對(duì)人口增長(zhǎng)起著阻滯作用,并且隨著人口數(shù)量的增加,阻滯作用也會(huì)增大.因此需要將增長(zhǎng)率k看作是人口數(shù)量的函數(shù),丹麥生物學(xué)家Pierre-Francois-Ver

9、hulst在指數(shù)增長(zhǎng)模型的根底上建立了改良的Malthus模型,即Logistic模型.一般來(lái)說(shuō)人口的增長(zhǎng)率是變化的,當(dāng)人口較少時(shí),增長(zhǎng)速度較快,增長(zhǎng)率較大；當(dāng)增加至一定的數(shù)量時(shí),增長(zhǎng)速度必然會(huì)減慢,增長(zhǎng)率開(kāi)始減小.因此增長(zhǎng)率K應(yīng)該視為人口數(shù)量的函數(shù).在修正的人口阻滯增長(zhǎng)模型中,有以下假設(shè)：(1)假設(shè)人口增長(zhǎng)率k(t)是t時(shí)人口N(t)的函數(shù),隨著人口的增加,自然資源、環(huán)境條件等對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用越來(lái)越明顯,k(N)應(yīng)是N的減函數(shù).一個(gè)簡(jiǎn)單的假設(shè)是k(N)是N的線性函數(shù),k(N)=r-sN,其中s>0,k>0式中r稱為固有增長(zhǎng)率,表示人口很少時(shí)的增長(zhǎng)率.其中s='(Nm稱

10、為最大人口容量).Nm(2)考慮自然資源和環(huán)境因素所能容納的最大人口數(shù)量Nm,當(dāng)N=Nm時(shí)增長(zhǎng)率為0(環(huán)境飽和),即k(Nm)=0o考慮環(huán)境因素的限制因素,對(duì)于阻滯增長(zhǎng)模型,在假設(shè)的前提下我們可以得到(8)Nk(x)=r(1)Nm式中：kx人口增長(zhǎng)率;Nm取大人口谷重o在上式的假設(shè)前提下,指數(shù)模型可以修改為:'%N,1dt'、N(to)=N.上述方程稱為阻滯增長(zhǎng)模型Logistic模型,上述方程中我們可以看到,方程右面的因子中,當(dāng)N增大時(shí),相應(yīng)的；老將會(huì)減小,即人口增長(zhǎng)由這兩個(gè)因子限制,比擬符合實(shí)際情況.方程9的解為(10)NmNmJt-to)1eNo)在9式中,當(dāng)時(shí)間t無(wú)限大

11、時(shí),N接近限制Nm,這說(shuō)明隨時(shí)間推移人口數(shù)最大到達(dá)飽和值Nm,進(jìn)一步考慮增長(zhǎng)率變化問(wèn)題,由9式可得：d2Ndt22N1-NmJdNdtd2N令不丁=0,那么N=Nm,這說(shuō)明當(dāng)人口數(shù)量到達(dá)最大人口數(shù)一半時(shí),人口增長(zhǎng)率到達(dá)最大,此后開(kāi)始不斷減小.不同時(shí)期的增長(zhǎng)率見(jiàn)圖三所示見(jiàn)程序5；圖3:增長(zhǎng)率隨時(shí)間變化的關(guān)系圖用MATLAB寸函數(shù)式10進(jìn)行模擬可得圖4程序6;圖4：Logistic模型曲線圖與美國(guó)實(shí)際人口比照采用阻滯增長(zhǎng)模型對(duì)美國(guó)人口進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果如圖4所示,我們能夠看到,阻滯增長(zhǎng)模型很好的處理了指數(shù)增長(zhǎng)模型無(wú)限增長(zhǎng)的弊端,對(duì)長(zhǎng)遠(yuǎn)的人口情況估計(jì)更符合實(shí)際情況.但是與統(tǒng)計(jì)值之相比擬仍存在一定的誤差,

12、并且預(yù)測(cè)值小于統(tǒng)計(jì)值,這是由于我們忽略了社會(huì)因素還有其他導(dǎo)致地區(qū)人口減少的因素.事實(shí)上,對(duì)于復(fù)雜生命史和個(gè)體生長(zhǎng)期較長(zhǎng)的高等動(dòng)植物簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)缺乏以反映出全部的問(wèn)題.七、結(jié)果分析通過(guò)對(duì)美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)模型的建立和修改,最終采用更為實(shí)際的人口增長(zhǎng)阻滯模型,并對(duì)中國(guó)同期人口進(jìn)行統(tǒng)計(jì),采用兩種模型分別對(duì)中國(guó)人口進(jìn)行預(yù)測(cè),具體過(guò)程如下:首先調(diào)查統(tǒng)計(jì)同時(shí)期中國(guó)人口,人口數(shù)分布情況如表2所示表2:中國(guó)人口調(diào)查記錄表1790-1980年份1790180018101820183018401850186018701880人口(x106)301.5366.0340.0383.1409.0418.9430.0377.03

13、57.7368.0年份1890190019101920193019401950196019701980人口M106380.0400.0427.7472.0489.0518.8546.8667.1818.3981.2表3:中國(guó)人口調(diào)查記錄表1991-2021年份1991199219931994199519961997199819992000人口(x106)1158.21171.71185.21198.51211.21223.9:1236.31247.61257.91267.4年份2001200220032004200520062007202120212021人口父1061276.31284.51

14、292.31299.91307.61314.5:1321.31328.01334.51340.9采用指數(shù)增長(zhǎng)的馬爾薩斯模型,首先對(duì)1790到1980年的人口數(shù)據(jù)作為依據(jù),得到相應(yīng)的模型參數(shù),在MATLAB中輸入程序程序7:可以得到k=0.0425;lnN0=5.7074即N0=301.0872所以1790年到1890年的擬合函數(shù)為線性函數(shù)lnN=0.04251+301.0872,所以：N=301.0872e0.0425t11繪制離散點(diǎn)和擬合函數(shù)的圖像進(jìn)行比照,在MATLAB中輸入程序程序8:圖5:馬爾薩斯模型曲線圖與中國(guó)實(shí)際人口比照由圖可見(jiàn),馬爾薩斯不能很好的反響長(zhǎng)期時(shí)間人口開(kāi)展的情況,正如美

15、國(guó)的情況一樣,因此人口的預(yù)測(cè)需要改良的馬爾薩斯模型更為準(zhǔn)確.采用阻滯增長(zhǎng)的Logistic模型對(duì)中國(guó)人口增長(zhǎng)情況的預(yù)測(cè)時(shí),首先分析不同時(shí)期的增長(zhǎng)率變化情況,從而得出人口最大值Nm.其實(shí)現(xiàn)程序如程序9.在此根底上對(duì)17902021年人口進(jìn)行模型與統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的比照,在MATLAB中輸入程序10,得到口增長(zhǎng)率變化圖6:圖6:1790-2021人口增長(zhǎng)率變化情況針對(duì)增長(zhǎng)率的變化和歷史的角度可以發(fā)現(xiàn),中國(guó)需要預(yù)測(cè)人口變化情況,必須得從近二十年的人口變化來(lái)尋求規(guī)律,那么需要重新對(duì)中國(guó)人口數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬及預(yù)測(cè).對(duì)19912021年馬爾薩斯擬合,在MATLAB中實(shí)現(xiàn)程序11,得到圖7.圖7:1991-2021年改

16、良的馬爾薩斯人口增長(zhǎng)率變化情況參數(shù)確定后,我們采用該模型來(lái)預(yù)測(cè)中國(guó)未來(lái)幾年的人口數(shù)情況,在MATLAB中鍵入程序12,得到圖8:圖8:Logistic模型曲線圖與中國(guó)實(shí)際人口比照該模型最終很好的預(yù)測(cè)了人口的開(kāi)展?fàn)顩r,實(shí)現(xiàn)了人口預(yù)測(cè)的目標(biāo),就統(tǒng)計(jì)值和預(yù)測(cè)值之間的差正如前面所述,我們了解到高等動(dòng)植物的生存期限會(huì)受多方面的因素影響,因此我們可以說(shuō),在有條件的選那么處理數(shù)據(jù)的時(shí)候盡可能選擇對(duì)未來(lái)有相似生存條件或者生活質(zhì)量的數(shù)據(jù),以保證在數(shù)據(jù)處理的后期能得到比擬理想的模型.因此我們可以說(shuō),本次模型建立是成功地實(shí)現(xiàn)了中國(guó)人口預(yù)測(cè)的母的.八、參考文獻(xiàn)1張志涌,楊祖櫻.MATLAB教程M.北京：北京航空航天大

17、學(xué)出版社,2021.2夏鴻鳴,魏艷華,王丙參.數(shù)學(xué)建模.成都：西南交通大學(xué)出版社,2021.3周品,趙新芬.數(shù)學(xué)建模.北京：國(guó)防工業(yè)出版社,2021.4王中鮮.MATLAB建模與仿真應(yīng)用.機(jī)械工業(yè)出版社,2021.九、附錄程序1x=0:1:10;y=3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.9;y=log(y);k=polyfit(x,y,1)程序2x=0:1:10;y=3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.9;y1=4.0988*exp(0.2808*x);plot(x,y,'*',x,y1)程序3x

18、=0:1:19;y=3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5;y=iog(y);k=polyfit(x,y,1)程序4x=0:1:19;y=3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5;y1=5.5918*exp(0.2142*x);plot(x,y,'*',x,y1)程序5A=zeros(0,19);%計(jì)算17901980年的人口增

19、長(zhǎng)率,A為人口增長(zhǎng)率的矩陣fori=1:19A(i)=(y(i+1)-y(i)/y(i);endfigure(2);A1=A,0;plot(x,A1,'or-');程序6q=polyfit(y,A1,1);q0.3389/0.0014ym=242.0714;fori=21:25A2(i)=-0.0014*i+0.3389;endA2fori=1:20y3(i)=242.0714./(1+61.0696*exp(-0.3389*x(i);endy3figure(3);plot(x,y,'ob-',x,y3,'or-');title('改良馬爾薩斯)程序7x=0:1:19;y=301.5366.0340.0383.1409.0418.9430.0377.0357.7368.0380.0400.0427.7472.0489.0518.8546.8667.1818.3981.2;y=log(y);k=polyfit(x,y,1)程序8x=0:1:19;y=301.5366.0340.0383.1409.0418.9430.0377.0357.7368.0380.0400.0427.7472.0489.0518.8546.8667.