電路分析基礎(chǔ)chap07_1718

1、2017學(xué)年第1學(xué)期電路分析及實(shí)驗(yàn)電路分析及實(shí)驗(yàn)本章主要介紹二階電路的時(shí)域分析方法，動(dòng)態(tài)本章主要介紹二階電路的時(shí)域分析方法，動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析方法，以及動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)變量電路的復(fù)頻域分析方法，以及動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)變量分析方法等。分析方法等。第七章第七章 二二階電路階電路7.1 二階電路的時(shí)域分析二階電路的時(shí)域分析在動(dòng)態(tài)電路分析中，激勵(lì)和響應(yīng)都表示為時(shí)在動(dòng)態(tài)電路分析中，激勵(lì)和響應(yīng)都表示為時(shí)間間t的函數(shù)，采用微分方程求解電路和分析電路的的函數(shù)，采用微分方程求解電路和分析電路的方法，稱時(shí)域分析方法。方法，稱時(shí)域分析方法。用二階微分方程描述的電路稱為二階電路。用二階微分方程描述的電路稱為二階電路。二階

2、電路一般含有兩個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件。二階電路一般含有兩個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件。RLC串聯(lián)串聯(lián)電路的電路的RLC并聯(lián)電路是最簡(jiǎn)單的二階電路。本節(jié)并聯(lián)電路是最簡(jiǎn)單的二階電路。本節(jié)主要討論主要討論RLC電路的響應(yīng)。電路的響應(yīng)。7.1.1 二階電路方程及其求解二階電路方程及其求解二階微分方程的一般形式為二階微分方程的一般形式為22102d ydyaayb wdtdt其中，輸出其中，輸出y為齊次解為齊次解yh與特解與特解yp之和，齊次解之和，齊次解yh是齊次方程是齊次方程22120d ydyaaydtdt的通解，而特解的通解，而特解yp是與輸入是與輸入w具有類似形式的函數(shù)。具有類似形式的函數(shù)。通解通解yh取決于特征方

3、程取決于特征方程22100a sa sa的根，即特征根的根，即特征根s1和和s2。1. 當(dāng)當(dāng)s1和和s2為兩個(gè)不相等為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根時(shí)，解為的負(fù)實(shí)根時(shí)，解為1212s ts thyK eK e2. 當(dāng)當(dāng)s1和和s2為兩個(gè)相等為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根時(shí)，的負(fù)實(shí)根時(shí)， s1= =s2= =- - ，解為，解為1212ststthyK eK teKK t e3. 當(dāng)當(dāng)s1和和s2為一對(duì)共軛復(fù)根為一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，時(shí)，s1,2= =- - j j d d，解為，解為12cossincostthdddyKtKt eKet4. 當(dāng)當(dāng)s1和和s2為一對(duì)共軛虛根為一對(duì)共軛虛根時(shí)，時(shí)，s1,2= =j j 0 0，

4、解為，解為10200cossincoshyKtKtKt其中待定常數(shù)其中待定常數(shù)K，K1 ，K2由初始條件確定。由初始條件確定。7.1.2 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng)KCL： iC+iR+iL=0因?yàn)橐驗(yàn)槌跏紬l件初始條件0LdvvCidtRLdivLdt所以所以220LLLd idiLLCidtR dt(0 )0Li0(0 )(0 )(0 )CLvVdivdtLLL2200(0 )0(0 )LLLLLd idiLLCidtR dtiVdidtL二階電路是含有兩個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件的線性定常電路。描述二階電路是含有兩個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件的線性定常電路。描述這種電路的方程是二階線性常微分方程。這種

5、電路的方程是二階線性常微分方程。特征方程特征方程220LLLd idiLLCidtR dt210LLCssR 特征根特征根22221,204111222LLLCRRsLCRCRCLC 其中其中12RC稱衰減系數(shù)，阻尼系數(shù)稱衰減系數(shù)，阻尼系數(shù)01LC稱諧振頻率稱諧振頻率 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)，s10，s20，s1s2，為兩個(gè)不相等的為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，則負(fù)實(shí)根，則 1212( )s ts tLi tk ek e由由121 1220(0 )0(0 )(0 )LLCikkdiLvLs kLs kVdt 求得求得012121VkkssL 則有則有120121( )()0s ts tLVi teetL ss

6、過(guò)阻尼過(guò)阻尼并求得并求得120121( )()0s ts tLVi teetL ss 1201212( )() ( )s ts tLCVdivtLs es eu tdtss12012121( )() ( )s ts tCRvVits es eu tRR ss122201212( )() ( )s ts tCCdvCVitCs es eu tdtss11221lnmstsss電路響應(yīng)的物理過(guò)程電路響應(yīng)的物理過(guò)程 當(dāng)當(dāng) = 0 時(shí)時(shí)，s1 = s2 = - = -0 = s，為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，則根，則 121212( )()s ts tstLi tk ek tekk t e由由1

7、120(0 )0(0 )()LLikdiLL skkVdt 0120,VkkL則有則有0( )0stLVi ttetL 臨界阻尼臨界阻尼 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)，s1,2 = - jd，為一對(duì)共軛復(fù)根。為一對(duì)共軛復(fù)根。220d( )cos()tLdi tket由由0(0 )cos0(0 )(cossin )LLdikdiLLkVdt 090dVkL 則有則有0( )cos(900tLddVi tettL 欠阻尼欠阻尼并求得并求得0000sin()cos(90)ttCddddvV etV et 200sin(2 )tCddCiV etLiCvCi 當(dāng)當(dāng) = 0時(shí)時(shí)，s1,2 = j0，為一對(duì)共軛虛根，則，

8、為一對(duì)共軛虛根，則0( )cos()Li tkt由由00(0 )cos0(0 )sinLLikdiLLkVdt 0090VkL 則有則有無(wú)損耗情況無(wú)損耗情況000( )cos(900LVi tttL 2200(0 )0(0 )LLLLLd idiLLCidtR dtiVdidtL2200(0 )(0 )0CCCCCd vdvLCRCvdtdtvVdvdtRLC并聯(lián)并聯(lián)RLC串串聯(lián)聯(lián)RLC并聯(lián)并聯(lián)情況下：情況下：過(guò)阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼無(wú)損耗無(wú)損耗12RC01LC012RL C012RL C012RL C0R 220LLLd idiLLCidtR dtRLC串串聯(lián)聯(lián)情況下：情況下

9、：過(guò)阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼無(wú)損耗無(wú)損耗12GL01LC02RL C02RL C02RL C00R220CCCd vdvLCRCvdtdt四種不同情況總結(jié)：四種不同情況總結(jié)：（1 1）當(dāng)電路方程的特征根位于）當(dāng)電路方程的特征根位于s s平面的負(fù)實(shí)軸上，電平面的負(fù)實(shí)軸上，電路的零輸入響應(yīng)必是衰減非周期性（非振蕩性）類型路的零輸入響應(yīng)必是衰減非周期性（非振蕩性）類型的，或者說(shuō)是過(guò)阻尼型的（其中包括臨界阻尼型）。的，或者說(shuō)是過(guò)阻尼型的（其中包括臨界阻尼型）。（2 2）當(dāng)電路方程的特征根位于開左半）當(dāng)電路方程的特征根位于開左半s s平面內(nèi)，平面內(nèi)，但不包括位于負(fù)實(shí)軸上，電路的零輸入響應(yīng)必

10、是但不包括位于負(fù)實(shí)軸上，電路的零輸入響應(yīng)必是衰減周期性（振蕩性）類型的，或者說(shuō)是欠阻尼衰減周期性（振蕩性）類型的，或者說(shuō)是欠阻尼型的。型的。（3 3）當(dāng)電路方程的特征根位于）當(dāng)電路方程的特征根位于s s平面的虛軸上，電平面的虛軸上，電路的零輸入響應(yīng)必是無(wú)衰減周期性（振蕩性）類型路的零輸入響應(yīng)必是無(wú)衰減周期性（振蕩性）類型的，或者說(shuō)是無(wú)阻尼型的。的，或者說(shuō)是無(wú)阻尼型的。（4 4）當(dāng)電路方程的特征根位于開右半）當(dāng)電路方程的特征根位于開右半s s平面內(nèi)，電平面內(nèi)，電路方程的解是不收斂的，響應(yīng)波形是發(fā)散的。路方程的解是不收斂的，響應(yīng)波形是發(fā)散的。( (a) a) 過(guò)阻尼情況的時(shí)域波形過(guò)阻尼情況的時(shí)域波

11、形( (b) b) 過(guò)阻尼情況的狀態(tài)空間軌跡過(guò)阻尼情況的狀態(tài)空間軌跡RLC并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)(a) 欠阻尼情況欠阻尼情況(b) 無(wú)阻尼情況無(wú)阻尼情況(c) 發(fā)散情況發(fā)散情況電路的狀態(tài)空間軌跡能夠反映電路的特性電路的狀態(tài)空間軌跡能夠反映電路的特性 1.1.過(guò)阻尼情況過(guò)阻尼情況: : 狀態(tài)軌跡從狀態(tài)軌跡從t t=0=0+ + 的初始狀態(tài)的初始狀態(tài)x x0 0=I I0 0 U U0 0 T T開始，開始，在在t t= = 時(shí)終止于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)終止于坐標(biāo)原點(diǎn) （2 2）欠阻尼情況：狀態(tài)軌跡是從）欠阻尼情況：狀態(tài)軌跡是從t t=0=0+ + 到到t t= = 時(shí)的時(shí)的螺旋線螺旋線

12、（3 3）無(wú)阻尼情況：狀態(tài)軌跡是以原點(diǎn)為對(duì)稱的橢圓）無(wú)阻尼情況：狀態(tài)軌跡是以原點(diǎn)為對(duì)稱的橢圓 （4 4）響應(yīng)為增幅振蕩情況：在）響應(yīng)為增幅振蕩情況：在t t趨于趨于 時(shí)，零輸入時(shí)，零輸入響應(yīng)成為無(wú)界，狀態(tài)軌跡是向外發(fā)散的。響應(yīng)成為無(wú)界，狀態(tài)軌跡是向外發(fā)散的。 (a) 欠阻尼情況欠阻尼情況(b) 無(wú)阻尼情況無(wú)阻尼情況(c) 發(fā)散情況發(fā)散情況7.1.3 二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)t=0+時(shí)的初始條件：時(shí)的初始條件：iL(0+) = iL(0-) = 0，vC(0+) = vC(0-) = 0齊次解齊次解當(dāng)當(dāng)iS(t)=u(t)時(shí)，為單位階躍響應(yīng)時(shí)，為單位階躍響應(yīng). .t0+時(shí)的電路方

13、程時(shí)的電路方程( (過(guò)阻尼情況過(guò)阻尼情況) )22( )1LLLSd idiLLCiiu tdtR dt(0 )(0 )0CLvdidtL1212s ts tLhik ek ecos()tLhdiket( (欠阻尼情況欠阻尼情況) )特解：為響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量特解：為響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量(或強(qiáng)制分量或強(qiáng)制分量) iLp=iS所以過(guò)阻尼情況所以過(guò)阻尼情況1212s ts tLLhLpSiiik ek ei定常數(shù)定常數(shù) 121 12200Skkis ks k解得解得 21121221SSskissskiss欠阻尼情況欠阻尼情況cos()tLdSiketi定常數(shù)定常數(shù) (0 )cos0(0 )cossin0L

14、SLdikidikkdt 解得解得 1costanSdik iL(t) 在瞬態(tài)過(guò)程中的數(shù)值在瞬態(tài)過(guò)程中的數(shù)值可能大于電流源的電流，可能大于電流源的電流，稱過(guò)電流效應(yīng)。稱過(guò)電流效應(yīng)。 同一電路同一電路 描述同一變量零輸入響應(yīng)時(shí)的微分方程與零描述同一變量零輸入響應(yīng)時(shí)的微分方程與零狀態(tài)響應(yīng)的微分方程的特征方程是相同的，特征根狀態(tài)響應(yīng)的微分方程的特征方程是相同的，特征根(即即固有頻率固有頻率)是相同的。因此可認(rèn)為，是相同的。因此可認(rèn)為，特征根僅由電路參特征根僅由電路參數(shù)和電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所決定，與輸入無(wú)關(guān)。數(shù)和電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所決定，與輸入無(wú)關(guān)。 特征根在特征根在s復(fù)平面的位置，決定了電路響應(yīng)的暫態(tài)情況復(fù)平面

15、的位置，決定了電路響應(yīng)的暫態(tài)情況：過(guò)阻尼、臨界阻尼、欠阻尼和無(wú)損耗。過(guò)阻尼、臨界阻尼、欠阻尼和無(wú)損耗。 輸入決定電路響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)情況輸入決定電路響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)情況。零輸入響應(yīng)穩(wěn)態(tài)時(shí)為零；。零輸入響應(yīng)穩(wěn)態(tài)時(shí)為零；零狀態(tài)響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)時(shí)強(qiáng)制為與輸入一致。零狀態(tài)響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)時(shí)強(qiáng)制為與輸入一致。 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)是初態(tài)的線性函數(shù)，零狀態(tài)響應(yīng)是輸入的線是初態(tài)的線性函數(shù)，零狀態(tài)響應(yīng)是輸入的線性函數(shù)。性函數(shù)。7.1.4 二階電路的全響應(yīng)二階電路的全響應(yīng)全響應(yīng)全響應(yīng)= =零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+ +零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) = = 自由分量自由分量 + + 強(qiáng)制分量強(qiáng)制分量 = = 暫態(tài)分量暫態(tài)分量 + + 穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分

16、量注意：注意：全響應(yīng)既不是初始條件，也不是輸入的線性函數(shù)全響應(yīng)既不是初始條件，也不是輸入的線性函數(shù)例例 求正弦激勵(lì)下的全響應(yīng)求正弦激勵(lì)下的全響應(yīng)vC(t)初始條件初始條件iL(0-)=2A，vC(0-)=1V 解解 KVLLLCSdiLRivvdt支路關(guān)系支路關(guān)系CLdviCdt22CCCSd vdvLCRCvvdtdt2213cos222(0 )1(0 )11(0 )(0 )2CCCCCLLd vdvvtdtdtvdviidtCC 特征方程特征方程2131022ss 特征根特征根 s1 = -1，s2 = -2 齊次解齊次解212tthvk ek e 特解特解 與與輸入同頻率的輸入同頻率的正

17、弦量正弦量 vp = Acos(2t+) 其中其中A、 為待定值。為待定值。特解應(yīng)滿足方程特解應(yīng)滿足方程2 sin(2)pdvAtdt 224 cos(2)pd vAtdt 代入原方程可求得代入原方程可求得 A = 0.316， = -108.4所以所以 vp = 0.316cos(2t-108.4) 212( )0.316cos(2108.4)ttChpvtvvk ek et由初始條件定積分常數(shù)由初始條件定積分常數(shù)1212(0 )0.316cos108.41(0 )22 0.316sin108.42CCvkkdvkkdt 123.62.5kk 2( )3.62.50.316cos(2108.4)0tt