專題25以分段函數(shù)為載體的應(yīng)用題(解析版)

1、專題25以分段函數(shù)為載體的應(yīng)用題以分段函數(shù)為載體的應(yīng)用題是應(yīng)用題中一種重要的題型，可以更多的考查多個函數(shù)，由于參數(shù)的范圍不同得到的函數(shù)的解析式不同，但要注意無論分成幾段，都是一個函數(shù)，因此，解決分段函數(shù)要根據(jù)范圍 不同都要進(jìn)行討論，然后比較大小，得出最后的答案。一、例題選講例1、(江蘇省泰州中學(xué)、江都中學(xué)、宜興中學(xué) 2020屆高三10月月考數(shù)學(xué)試題)某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元，每生產(chǎn)x1萬件，需另投入流動成本 C(x)萬兀，當(dāng)年廣量小于 7萬件時，C(x)=-x2+2x (萬元)：當(dāng)年產(chǎn)量不小于 33e 7萬件時，C(x

2、) =6x +ln x +- -17 (萬元).己知每件產(chǎn)品售價為 6元，若該同學(xué)生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年全部 x售完.(1)寫出年利潤 P(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量 x (萬件)的函數(shù)解析式；(注；年利潤=年銷售收人-固定 成本-流動成本(2)當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬件時， 該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？(取e3定20解(1)產(chǎn)品售價為6萬元，則x萬件產(chǎn)品銷售收入為 6x萬元依據(jù)題意得，當(dāng)0v x v 7時，,、-,12-、1 2-p(x)=6x(x +2x)2 = x +4x2,33當(dāng)x之7時，33eep(x) = 6x -(6x In x 1- 17) -2 = 15 -ln x -

3、xx1 2- x2 42 -2,0 : x :二 73P(x) 3e3 15 -ln x -,x -7 x 12(2)當(dāng) 0vxv7 時，p(x) = (x-6) +10 3當(dāng)x=6時，p(x)的最大值為p(6)=10萬元3 e p(x) =15 -ln x -一x3. p(x)=, x當(dāng) 7Wxe3 時，p(x)0, p(x)單調(diào)遞減，當(dāng) x=e3時，p(x)的最大值為 p(e3) =15ln e3 1 =11 萬元11 10當(dāng)x=e3為20時，p(x)的最大值為11萬元答：當(dāng)年產(chǎn)量約為 20萬件時，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲得年利潤最大，最大利潤為11萬元變式1、(2016蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)某經(jīng)銷商

4、計劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺凈化器的利潤為 x(單位：元，x0)時，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關(guān)系滿足：若x不超過20,則q(x)1260= ；若x大于或等于180,則銷售量為零；當(dāng) 20x 180時，q(x) = a-bJx(a, b為實常數(shù)). x+11(1)求函數(shù)q(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為多少時，總利潤(單位：元)取得最大值，并求出該最大值.規(guī)范解答(1)當(dāng)20WxW 180時，由：a-b 720 = 60, ,a-bA/180 = 0得Ik3S(2分)0x20,20x180.(4分)1 260故Mj 903e0,(2)設(shè)總利潤 f(x)=xq

5、(x),朝v57+由(1)得 f(x)=A1S-(6 分)當(dāng) 0xW20 時，f(x)= 126 000x= 126 000 126 000 f(x)在(0,20上單調(diào)遞增, x+1x+1所以當(dāng)x= 20時，f(x)有最大值120 000. (8分)當(dāng) 20xw 180 時，f(x)= 9 000x-30075 xx, f (x)=9 00045075 4k令 f (x)=0,得 x=80. (10 分)當(dāng) 20Vx0, f(x)單調(diào)遞增,當(dāng) 80xw 180 時，f (x)180 時，f(x)=0.答：當(dāng)x為80時，總利潤取得最大值240 000元.(14分)易錯警示 本題易錯在忽視了題目中

6、所給單位“百臺”導(dǎo)致14分全部扣完.應(yīng)用題的數(shù)據(jù)上要注意兩個方面：一題目所給單位是什么？如百臺，千件；二是數(shù)據(jù)的值比較大，計算要謹(jǐn)慎，而這兩類問題多出自函數(shù)應(yīng)用題.變式2: (2016常州期末)幾名大學(xué)畢業(yè)生合作開3D打印店，生產(chǎn)并銷售某種3D產(chǎn)品.已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為34元.該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其他固定支出20 000元.假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量t(x)(件)與銷售價格x(元/件)(xCN*)之間滿足如下關(guān)系：當(dāng)34WxW60 時，t(x) = a(x+ 5)2+10 050 ;當(dāng) 60W xW 76 時，t

7、(x)= 100x+7 600.設(shè)該店月利潤為 M(元)(月利潤=月銷售總額一月總成本)，求：(1) M關(guān)于銷售價格x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該打印店月利潤 M的最大值及此時產(chǎn)品的銷售價格.規(guī)范解答(1)當(dāng) x=60 時，t(60)= 1 600,代入 t(x)=- a(x+ 5)2+ 10 050,解得 a= 2.(2 分)所以M(x) =(2x220x+ 10 000 034 ) 20 000, 34Wx60, xC N , 4(100x+ 7 600 934 y- 20 000,(0WxW 76, xC N*.(4分)即 M-2x3 + 48x2+ 10 680x-360 000, 34x6

8、0, xC N*,M(x)一1 100x2+ 11 000x- 278 400, 60x 76, xC N*.(注：寫到上一步，不扣分 )(2)設(shè) g(u)=(-2u2-20u+ 10 000)(u-34)-20 000,34 u60,uC R,貝U g (u)=- 6(u2 16u 1 780).令 g (u)=0,解得 5=82祠(舍去)，W=8+2布 C (50,51). (7 分)當(dāng) 34u0, g(u)單調(diào)遞增;當(dāng) 51u60 時，g (u) 0.f(2 尸 a(2 m2=1,m = 6,由題意，得S1 解得S 1(4分)|f，22a(-2-m尸2,|a=G所以曲線段AB對應(yīng)函數(shù)的解

9、析式為y = 116(x+6)2(x -6, 2). (5分)(2)設(shè) P(x, y),記1-8x(x+6 )，, xC 6, 2,g(x) = Mp=(0 x)y = 116x2)(7 分)2-2,(4+x ) xC -2, 0.9”當(dāng)xC6, 2時，g(x)的最大值為g(3)=9; (10分) 8一,一fx24 f一當(dāng) xC2,0時，g(x)-g(-2) = -20,即 g(x)Wg(2)=1,4+ x9 得g(x)的取大值為g(x)max= -.(13分)89綜上所述，g(x)max = 8.(14分)一一 9因為 0.8V8V 1.50),S G R A x將點C(1,1)代入，得2

10、P =1 ,即曲線段BC的方程為y = JX(0Exw1).又由點C(1,1),D(2,3)得線段CD的方程為 y =2x -1(1 x 2).0 二 x 三 1,1 : x : 2.而 GA=2x ,所以Syx(2-x), (2x-1)(2-x),_13 3 1 所以 Sx2-3x22(2)當(dāng) 0 0,所以S遞增;3-2當(dāng)xw(,1)時，S 0,所以S遞減，所以當(dāng) 3x = 2 時，Sm；3ax4.69 5 29當(dāng) 1x2時，因為 S =(2x1)(2x) = 2(x) +,48所以當(dāng)x = 5時，Smax = 9； 48,一.9 4x659綜上，因為一A,所以當(dāng)x=一米時，Smax =一平

11、方米.8948變式2、如圖，某新建小區(qū)有一片邊長為1(單位：百米)的正方形剩余地塊 ABCD ,中間部分MNK是一片2 12池塘，池塘的邊緣曲線段MN為函數(shù)y= (- x一)的圖象，另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線9x 33段.為了美化該地塊，計劃修一條穿越該地塊的直路 1(寬度不計)，直路l與曲線段MN相切(切點記為P), 并把該地塊分為兩部分.記點P到邊AD距離為t, f(t)表示該地塊在直路l左下部分的面積.(1)求f (t)的解析式;(2)求面積S=f (t)的最大值.2y2解析(1)因為y =一 ,所以 9xC 2 9x由于點P到邊AD距離為t ,所以點一 ，一.2P的坐標(biāo)為(t

12、),9t一 2所以過點P的切線方程為y-9t9t1 2 3 4,，、口.24(x -t),即 y = -, x + 一 , 9t29t4.一v x = 0 ,付 y =,令 y =0 ,付 x = 2t.9t4所以切線與x軸交點E(2t,0),切線與y軸交點F(0,).9t2t 1,，9H1,41 - t1,，9H1,2 t時，切線左下方的區(qū)域為一直角梯形,31 4 4t - 2f(t) =1( 422) 1 =2 9t 9t24t -12t 1,，4,所以2tT2,9 t1 4tf(t)=-9t2+2t) 1=2tt2,綜上所求函數(shù)f(t)的解析式f(t)=44 4,9 94t-1 1 9t

13、21t & 一，2t -, 3,1(2)由(1)得，當(dāng)一&34 .一9 2t一時，f(t)=2tt2(t -4)2 -4(一，9MZ 1,214t11 1 c、2443 _ t 一時，f (t) =2-= (2) + 239t 9 t 9 9所以所求面積S的最大值為Smax =-.9例3、(2016南京三模)如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD,其四條邊均為道路， AD/ BC, / ADC= 90, AB=5千米，BC=8千米，CD = 3千米.現(xiàn)甲、乙兩管理員同時從A地出發(fā)勻速前往 D地，甲的路線是AD,速度為6千米/小時，乙的路線是 ABCD,速度為v千米/小時.(1)若甲、乙兩管理

14、員到達(dá) D的時間相差不超過15分鐘，求乙的速度 v的取值范圍;(2)已知對講機有效通話的最大距離是5千米.若乙先到達(dá) D,且乙從A到D的過程中始終能用對講機與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍.思路分析(1)先求出AD = 12千米，用路程速度=時間列出一個含絕對值的不等式，解出v的范圍;(2)解法3中用向量(即物理中的“位移”)更易顯示PQ的長度.利用PQ=AQAP,求出f(t) = PQ2關(guān)于時間t的四個時間段的表達(dá)式.利用函數(shù)f(t)在四個時間段上的單調(diào)性，求出f(t)max,解不等式f(t)max8.(6分)v5 ,48v + 36)t2.當(dāng)0vt5,即0,所以當(dāng)t=5時，f(t)

15、取最大值, 5v所以(y2 48v+36 )x (5)w25,解得 v145.(9 分)一一 513 .當(dāng) 5Wvtw13,即wtw9時， vvf(t)= (vt 1 6t)2+9=(v-6) 2。一 V16J + 9.因為v8,所以(v6) 20,所以當(dāng)t=13時，f取最大值， v 6 vv所以(v6) 2 件v16) + 9W25,解得 39w vW39.(i3 分)當(dāng)13Wvtwi6,即更wtw16時， v vf(t)=(12 6t)2+ (16-vt)2,因為126t0,16vt0,所以f在R3，)遞減，即當(dāng)t = 3時，f(t)取最大值,26X 13 2 + 16 vx%25,解得禁

16、廠39.綜上所述，8v8.(6分) v以A點為原點，AD為x軸建立直角坐標(biāo)系，當(dāng) 0vvtW5 時，f(t)= &t6t)+毓).由于dvt-6t)+ i5Vt*25,所以gv-6)+備25對任意0?.(9分)當(dāng) 5WvtW13 時，f(t)=(vt1 6t)2+32由于(vt 1 6t) +3 w 25,所以一4W vt 1 6tw 4 對任意t w -都成立,5v 6w t)即3 - 八、 t w v 6所以5vv 一 6ws,3v)一 w v 6,13解得 39wvw 39.(13 分) 當(dāng) 13WvtW16,即 13wtw16,此時 f (t)=(12 6t)2+(16vt)2.由及知

17、 8v34,于是 0V126tW12 個忘 1278*3= 4, 又因為 0W16 vtW3,所以 f =(126t)2+(16 vt)2W 42 + 32 = 25恒成立.綜上所述，8v8.(6分)設(shè)從A出發(fā)經(jīng)過t小時，甲、乙兩管理員的位置分別為P, Q,則第= (6t,0).當(dāng) 0tW5時,AQ= &t, 5vt )當(dāng) 加，AQ= j+ vjt-5 : 3 ；= (vt 1,3);當(dāng) 13wtw16時，AQ=2, 3-vt-1v3j i!= (12,16-vt);當(dāng) 16wtW2 時，AQ=(12,0). v記 f(t)= Pq2=(AQ-Ap)2,J i 4N t H5| r - .)

18、d + Og 石r -一L11ET c- / 1316( l2twa + ( Ib-rf)T tr16則 f(t)=(l2-6i!)名E8,所以在相應(yīng)的t的范圍內(nèi)，v2-48v+36, (v 6)t1,16vt,12 6t均為正數(shù),5可知f(t)在1，5和v，131上遞增，在16口 16,2上上遞減.即f(t)在G 卜遞增，在 胃，21遞減,所以f(t)max=f令* % 25,得斑匕6)1W4,解得85 39.vv4、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、.某駕駛員喝了 1000mL某種酒后，血液中的酒精含量 f(x) (mg/mL)隨時間x(h)變化的規(guī)律近似滿足表達(dá) x2卜 QW xW 1,式f(x)= k A

19、1酒后駕車與醉酒駕車的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)的處罰規(guī)定為駕駛員血液中酒精含量不得卜-，x1.5 3超過0.02mg/mL,據(jù)此可知，此駕駛員至少要過 h后才能開車.(精確到1h) 4.解析 當(dāng)0W x 1時，1_ 5x 2 1,此時不宜開車；由 9 J11 2555 32、（2018南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào)）將一鐵塊高溫熔化后制成一張厚度忽略不計、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線li, 12裁剪成A, B, C三個矩形（B, C全等），用來制成一個 柱體.現(xiàn)有兩種方案：方案：以li為母線，將 A作為圓柱的側(cè)面展開圖，并從 B, C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個 底面；

20、方案：以li為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖，并從 B, C中各裁剪出一個正方形（各邊分別與li或12垂直）作為正四棱柱的兩個底面.（1）設(shè)B, C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案制成的圓柱的底面，求底面半徑；（2）設(shè)l1的長為x dm,則當(dāng)x為多少時，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大?規(guī)范解答（1）設(shè)所得圓柱的底面半徑為r dm,則（2兀 r+2r）X4r=100, （4 分）解得r =5也（兀+1）2 （兀 + 1）.（6 分）（2）設(shè)所得正四棱柱的底面邊長為a dm,十 xJ。，貝1、2Ka-4a,2x解法1所得正四棱柱的體積* 2，即 20 （9分）際x .3x-屹4記函數(shù)p（x

21、） = 400x02寸花,0。2月，x2 10.V = a2x400x ，則p（x）在（0, 2而上單調(diào)遞增，在（2710, +8 ）上單調(diào)遞減，所以當(dāng) x=2y10時，p（x）max=20；10.所以當(dāng)x=210, a=V10時） V max = 20，10 dm3.（14 分）20解法2 2awxw詈，從而aw 機.（11分）所得正四棱柱的體積V=a2x a2 （20）= 20aw 20職.所以當(dāng)a=10, x = 2410時? V max = 20710dm3.（14 分）答：（1）圓柱的底面半徑為512 （兀 +1）2 （兀 +1）m；（16 分）（2）當(dāng)x為241）時，能使按方案制成

22、的正四棱柱的體積最大.解后反思 這道題跳出了應(yīng)用題的常規(guī)模式，它的目標(biāo)函數(shù)是雙變量函數(shù)，如何求它的最值，這里采用 的是放縮兼消元的方法，這種方法不常見，解法 1是消去a保留x,解法2是消去x保留a.1個單3、（2016蘇中三市、宿遷調(diào)研）為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：mg/m3）隨著時間（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為一 1 ,0 W xW 4,8-xy=u 1,一、5 2x, 4x 10.若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.由 實驗知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于 4mg/m3

23、時，它才能起到凈化空氣的作用.（1）若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達(dá)幾天？4天中能（2）若第一次噴灑2個單位的7爭化劑，6天后再噴灑a（1 WaW4）個單位的藥劑，要使接下來的夠持續(xù)有效凈化，試求 a的最小值.（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：V2取1.4）規(guī)范解答（1）因為一次噴灑4個單位的凈化劑,64所以濃度f（x）=4y=$8 一x-4,0x4,120-2x,4x4,解得x0,所以此時0WxW4.（3分） 8-x當(dāng)4 4,解得x 8,所以此時 4x 8.綜上，得0WxW8.故一次投放4個單位的凈化劑，則有效凈化時間可達(dá)8天.（7分）（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng) x（6x4,解得 2416

24、*2waW4,所以 a 的最小值為 2416/2= 16(14 分)4、(2014徐州、宿遷三檢)根據(jù)統(tǒng)計資料，某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過20件，每日產(chǎn)品廢品率與日產(chǎn)量x(件)之間近似地滿足關(guān)系式15 -x, p =2x2 60,540/J 4-*1&x&9,xu N ,l +口目_日廢品量(日廣品廢品率=日產(chǎn)量一 一 *,10 x 20,x N100%).已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元.(該車間的日利潤 y =正品贏利額一日廢品與損額)(1)將該車間日利潤 y (千元)表示為日產(chǎn)量x(件)的函數(shù);(2)當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤最大？最大日利潤是幾千元?

25、24x-2x2*, 1 x 9,xw N ,規(guī)范解答(1)由題意可知y =2x(1 p) px = 3!5x- -, 10 x 20,x三 N*.3180(4分)224x -2x,1 x 9,(2)考慮函數(shù)f(x) =15-x5 x3-x ,10 x 20, 3180當(dāng) 1WxW9時，f(x)=2一90-,令 f (x) =0 ,得 x=15-3君. (15-x)2當(dāng) 1 x 0,函數(shù)f (x)在1,15 3指)上單調(diào)增;當(dāng) 15 -375 x 9 時,f (x) 0 ,函數(shù)f (x)在(15-3有,9上單調(diào)減.所以當(dāng)x=15-3而時，f(x)取得極大值，也是最大值,又x是整數(shù)，f (8)64,一， ，.