高一數(shù)學(xué)必修一

1、本章內(nèi)容2.1 指數(shù)函數(shù)2.2 對數(shù)函數(shù)2.3 冪函數(shù)第二章 小結(jié)知識要點(diǎn)自我檢測題復(fù)習(xí)參考題1. 指數(shù)冪的運(yùn)算負(fù)指數(shù):分?jǐn)?shù)指數(shù):同底數(shù)冪相乘除:冪的乘方:積的乘方:.1kkaa .nmnmaa amanam+n.nmnmaaa (am)namn.(ab)nanbn.返回目錄2. 指數(shù)函數(shù)解析式:圖象特點(diǎn):y ax (a0, 且a1).xyO1yax(0a1)3. 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)定義域:值域:0a1, 負(fù)指數(shù)冪小于1, 正指數(shù)冪大于1.0a1, (, +)上是增函數(shù).4. 對數(shù)運(yùn)算對數(shù)式與指數(shù)式的互化:常用對數(shù):aN = b N logab.自然對數(shù):1 的對數(shù)等 0,底的對數(shù)等于 1.以10

2、為底, log10a lga.以 e2.71828為底, logealna.兩個(gè)特殊對數(shù)值:5. 對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)換底公式:(1) loga(MN) logaM + logaN.(3) logaMn nlogaM (nR).(2) loga logaM logaN.NM.logloglogabbcca 6. 對數(shù)函數(shù)解析式:圖象特點(diǎn):y logax (a0, 且a1).xyo1ylogaxa1xyo1ylogax0a17. 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)定義域:值域:單調(diào)性:(0, +).(, +).底數(shù)、真數(shù)同大于1, 或同小于1, 對數(shù)值為正.0a1, (0, +)上是增函數(shù).底數(shù)、真數(shù)一個(gè)大于1, 一個(gè)小

3、于1, 對數(shù)值為負(fù).8. 冪函數(shù)解析式:幾種冪函數(shù)的圖象特點(diǎn):y xa (a為常數(shù)).xyoyx11xyoyx211xyoyx311xyo21xy 11xyoyx1119. 冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域單調(diào)性過定點(diǎn)yxa奇偶性(1, 1)(1, 1) (, 0)(0, +)(, +)0, +)0, +)(, 0)減(, +)增yx1yx2yx3yx21xy (1, 1)(1, 1)(1, 1)(, +)(, +) (, 0)(0, +)0, +)(, +)(, +)(0, +)減0, +)增(, 0減0, +)增(, +)增奇非奇偶奇偶奇10. 反函數(shù) 由于習(xí)慣用 x 表示自變量, 所以將變換后函數(shù)

4、中的字母 x, y 相交換得將一個(gè)函數(shù) yf(x) 中的 y 表示成 x 的函數(shù)xg(y),我們把 xg(y) 叫做 yf(x) 的反函數(shù).yg(x).指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù). 如果兩函數(shù)互為反函數(shù), 則它們的圖象關(guān)于直線 yx 即稱.返回目錄A 組1. 求下列各式的值:(1) (2) (3) (4);12121;) 4964 (21 ;1000043 .) 27125 (32 解:(1)21221)11(121 11.(2)212221)78() 4964 ( 2122)87( .87 43443)10(10000 (3)310 .10001 (4)323332) 35 () 2712

5、5 ( 2235 .259 2. 化簡下列各式: (1) (2) (a22+a2)(a2a2).;2121212121212121babababa + + + + 解:(1)原式 )()()()(21212121221212121212122121babababababa+ + + + + + + babbaababbaa + + + + + + 2121212122.)( 2baba + + (2)原式 )()(1121 + + aaaaaa11 + + aaaa.1122+ + aa3. (1) 已知 lg2a, lg3b, 試用 a、b 表示 log125; (2) 已知 log23a,

6、 log37b, 試用 a、b 表示 log1456.解:(1)12lg5lg5log12 )34lg(210lg 3lg4lg2lg10lg+ + 3lg2lg22lg1+ + .21baa+ + 3. (1) 已知 lg2a, lg3b, 試用 a、b 表示 log125; (2) 已知 log23a, log37b, 試用 a、b 表示 log1456.解:(2)由 log23a, ,2log3log33a ,12log3a )414(log56log 1414 4log114+ + 14log4log133+ + 7log2log2log21333+ + + baa+ + + 121.

7、121ab+ + + 4. 求下列函數(shù)的定義域: (1) (2);8121 xy.) 21 (1xy 解:(1)要使函數(shù)有定義, 只需2x10,即,21 x函數(shù)的定義域?yàn)?21| xRx(2)要使函數(shù)有定義, 需, 0) 21 (1 x, 1) 21 ( x x0.函數(shù)的定義域?yàn)?x|x0.5. 求下列函數(shù)的定義域: (1) (2) yloga(2x) (a0, 且a1); (3) yloga(1x)2 (a0, 且a1).;)23(log13 xy解:(1)要使函數(shù)有定義, 需 , 0)23(log0233 xx , 132 xx原函數(shù)的定義域?yàn)?. , 1 () 1 ,32( + +(2)

8、要使函數(shù)有意義, 需2x0,得 x2,原函數(shù)的定義域?yàn)?x|x0, 且a1); (3) yloga(1x)2 (a0, 且a1).;)23(log13 xy解:(3)要使函數(shù)有定義, 需(1x)20,即 1x0,原函數(shù)的定義域?yàn)?xR|x1.得 x1,6. 比較下列各組中兩個(gè)值的大小: (1) log67, log76; (2) log3p, log20.8.解:(1)log67log661,log76log76.(2)31, p 1,log3p0,又 21, 0.81,log20.8log20.8.7. 已知 f(x)3x, 求證: (1) f(x)f(y)f(x+y); (2) f(x)f

9、(y)f(xy).證明:(1) f(x)3x, f(x)f(y)3x3y=3x+y,f(x+y)3x+y,則 f(x)f(y)f(x+y)成立.(2)f(x)f(y)3x3y=3xy,f(xy)3xy, f(x)f(y)f(xy)成立. 8. 已知 f(x) a, b(1, 1), 求證:,11lgxx+ + ).1()()(abbafbfaf+ + + + +證明:,11lg)(xxxf+ + bbaabfaf+ + + + + + +11lg11lg)()()1111lg(bbaa+ + + + ,11lgabbaabba+ + + + + abbaabbaabbaf+ + + + + +

10、 + + +1111lg)1(,11lgbaabbaab+ + + + + + 即 成立.)1()()(abbafbfaf+ + + + + 9. 牛奶保鮮時(shí)間因儲藏時(shí)溫度的不同而不同, 假定保鮮時(shí)間與儲藏溫度是一種指數(shù)關(guān)系, 若牛奶放在0的冰箱中, 保鮮時(shí)間約是192 h, 而在22的廚房中則約是42 h. (1) 寫出保鮮時(shí)間 y 關(guān)于儲藏溫度 x 的函數(shù)解析式; (2) 利用 (1) 中結(jié)論, 指出溫度在30和16的保鮮時(shí)間 (精確到 1 h); (3) 運(yùn)用上面的數(shù)據(jù), 作此函數(shù)的圖象.解:(1)設(shè)保鮮時(shí)間與溫度的指數(shù)關(guān)系為 ykax,當(dāng) x0 時(shí), y192; 當(dāng) x22 時(shí), y4

11、2.則 22042192kaka k192, a0.93.于是得保鮮時(shí)間與溫度的函數(shù)式為 y1920.93x. 9. 牛奶保鮮時(shí)間因儲藏時(shí)溫度的不同而不同, 假定保鮮時(shí)間與儲藏溫度是一種指數(shù)關(guān)系, 若牛奶放在0的冰箱中, 保鮮時(shí)間約是192 h, 而在22的廚房中則約是42 h. (1) 寫出保鮮時(shí)間 y 關(guān)于儲藏溫度 x 的函數(shù)解析式; (2) 利用 (1) 中結(jié)論, 指出溫度在30和16的保鮮時(shí)間 (精確到 1 h); (3) 運(yùn)用上面的數(shù)據(jù), 作此函數(shù)的圖象.解:(2)由(1)得函數(shù)式為 y1920.93x.當(dāng) x30 時(shí), y1920.933022 (h);當(dāng) x16 時(shí), y1920

12、.931660 (h). 答: 在30溫度下, 可保鮮22小時(shí), 在16溫度下, 可保鮮60小時(shí). 9. 牛奶保鮮時(shí)間因儲藏時(shí)溫度的不同而不同, 假定保鮮時(shí)間與儲藏溫度是一種指數(shù)關(guān)系, 若牛奶放在0的冰箱中, 保鮮時(shí)間約是192 h, 而在22的廚房中則約是42 h. (1) 寫出保鮮時(shí)間 y 關(guān)于儲藏溫度 x 的函數(shù)解析式; (2) 利用 (1) 中結(jié)論, 指出溫度在30和16的保鮮時(shí)間 (精確到 1 h); (3) 運(yùn)用上面的數(shù)據(jù), 作此函數(shù)的圖象.解:(3)圖象經(jīng)過點(diǎn)(30, 22).(22, 42),(16, 60),(0, 192),xyo16 2230224260192y1920.

13、93x 10. 已知冪函數(shù) yf(x) 的圖象過點(diǎn)(2, ), 試求此函數(shù)的解析式, 并作出圖象, 判斷奇偶性、單調(diào)性.22解:冪函數(shù) yxa 經(jīng)過點(diǎn)),22 , 2(則有,222a a 得22log2 a a2122log .21 即函數(shù)解析式為21 xy.1x 定義域?yàn)?0, +),圖象過點(diǎn) (1, 1),),22 , 2().21 , 4(xyo1124函數(shù)非奇非偶,在(0, +)上是減函數(shù).2221B 組 1. 已知集合Ay | ylog2x, x1, By | y x1, 則AB ( ) (A) (B) y|0y1 時(shí), log2x0,Ay|y0,21) 21 (0 x,210 |

14、yyB則.210 | yyBAA2. 若 2a5b10, 則. 11 + +ba解:2a10, alog210,5b10, blog510,則10log110log11152+ + + +ba5lg10lg12lg10lg1+ + 5lg2lg + + lg(25)1.13. 對于函數(shù) f(x)a (aR): (1) 探索函數(shù) f(x) 的單調(diào)性; (2) 是否存在實(shí)數(shù) a 使函數(shù) f(x) 為奇函數(shù)?122+ +x解:(1)122()122()()(2121+ + + + xxaaxfxf12212212+ + + + xx2x是 (, +)上的增函數(shù),當(dāng) x1x2 時(shí), 121221+ +

15、 + +xx則,12212221+ + + +xx所以得 f(x1)f(x2),函數(shù)在(, +)上是增函數(shù).3. 對于函數(shù) f(x)a (aR): (1) 探索函數(shù) f(x) 的單調(diào)性; (2) 是否存在實(shí)數(shù) a 使函數(shù) f(x) 為奇函數(shù)?122+ +x解:(2)要使 f(x)為奇函數(shù), 需f(x) f(x)即,122122+ + + + + xxaa整理得,12221222+ + + + xxxa解得. 11212 + + + xxa即當(dāng) a1 時(shí), f(x)為奇函數(shù).4. 設(shè) 求證: (1) g(x)2f(x)21; (2) f(2x)2f(x)g(x); (3) g(2x)g(x)2+

16、f(x)2.,2ee)( ,2ee)(xxxxxgxf + + 證明:原等式成立.22 )( )( xfxg (1)22)2()2(xxxxeeee + + 42422222xxxxeeee + + + + + =1,4. 設(shè) 求證: (1) g(x)2f(x)21; (2) f(2x)2f(x)g(x); (3) g(2x)g(x)2+f(x)2.,2ee)( ,2ee)(xxxxxgxf + + 證明:,2)2(22xxeexf 原等式成立.(2)又 2f(x)g(x)222xxxxeeee + + ,222xxee 4. 設(shè) 求證: (1) g(x)2f(x)21; (2) f(2x)2

17、f(x)g(x); (3) g(2x)g(x)2+f(x)2.,2ee)( ,2ee)(xxxxxgxf + + 證明:(3),2)2(22xxeexg + + g(2x)g(x)2+f(x)2 成立.又 g(x)2+f(x)2,222xxee + + 22)2()2(xxxxeeee + + + 42422222xxxxeeee + + + + + + 5. 把物體放在冷空氣中冷卻, 如果物體原來的溫度是 q1, 空氣的溫度是q0. t min 后物體的溫度q可由公式 q q0+(q1q0)ekt求得, 這里 k 是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正的常量, 現(xiàn)有62的物體, 放在15的空

18、氣中冷卻, 1 min以后物體的溫度是52, 求上式中 k 的值 (精確到0.01), 然后計(jì)算開始冷卻后多長時(shí)間物體的溫度是42, 32. 物體會不會冷卻到12?解: 當(dāng) q1 62, q0 15, t 1時(shí), q 52, 則得 5215+(6215)ek,解得3747ln k0.24.得此物體的冷卻公式為q 15+47e0.24t.當(dāng) q 42 時(shí), 解得 t 2.3(min);當(dāng) q 32 時(shí), 解得 t 4.2(min).當(dāng) q 12 時(shí), 得 t lg0.79(0.06), 對數(shù)無意義. (答略)事實(shí)上, 物體不可能冷卻到比空氣的溫度還低. 6. 某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放, 過

19、濾過程中廢氣的污染物數(shù)量 P mg/L 與時(shí)間 t h 間的關(guān)系為 p p0ekt.如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物, 試回答: (1) 10小時(shí)后還剩百分之幾的污染物? (2) 污染物減少50%需要花多少時(shí)間 (精確到 1 h)? (3) 畫出污染物數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的函數(shù)圖象, 并在圖象上表示計(jì)算結(jié)果.解: 當(dāng) t5 時(shí), P=90%P0,則 90%P0P0e5k,解得 k0.02,得 P 與 t 的關(guān)系式為 PP0e0.02t.(1) 當(dāng) t 10 時(shí), PP0e0.20.82P0,答: 10小時(shí)后大約還剩百分之八十二的污染物. 6. 某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放, 過濾過程中廢氣的污

20、染物數(shù)量 P mg/L 與時(shí)間 t h 間的關(guān)系為 p p0ekt.如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物, 試回答: (1) 10小時(shí)后還剩百分之幾的污染物? (2) 污染物減少50%需要花多少時(shí)間 (精確到 1 h)? (3) 畫出污染物數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的函數(shù)圖象, 并在圖象上表示計(jì)算結(jié)果.解: 當(dāng) t5 時(shí), P=90%P0,則 90%P0P0e5k,解得 k0.02,得 P 與 t 的關(guān)系式為 PP0e0.02t.(2) 當(dāng) P 0.5P0 時(shí),答: 污染物減少50%, 大約需要花35小時(shí).得 0.5P0P0e0.02t.解得 t 35, 6. 某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放, 過濾過程中

21、廢氣的污染物數(shù)量 P mg/L 與時(shí)間 t h 間的關(guān)系為 p p0ekt.如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物, 試回答: (1) 10小時(shí)后還剩百分之幾的污染物? (2) 污染物減少50%需要花多少時(shí)間 (精確到 1 h)? (3) 畫出污染物數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的函數(shù)圖象, 并在圖象上表示計(jì)算結(jié)果.解:圖象過點(diǎn) (5, 0.9),(3)(10, 0.82),(35, 0.5).xyo5 10350.50.820.9自我檢測題返回目錄檢測題一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng))1. 已知集合A=y|y=log2x, x1, B=y|y= , x1, 則AB=( ) (A) (B) y|0yb, 則

22、 ( ) (A) a2b2 (B) (C) lg(a-b)0 (D)3. 如果a1, bf(1), 則x的取值范圍是( ) (A) (B) (C) (D) (0,1) (10,+)二、填空題6. 1992年底世界人口達(dá)到54.8億, 若人口的年平均增長率為1%, 經(jīng)過x年后世界人口數(shù)為y(億), 則y與x的函數(shù) 解析式為 .7. 函數(shù)y=logx-1(3-x)的定義域是 .8. 設(shè)0 x2,則函數(shù) 的最大值是 , 最小值是 .三、解答題9. 已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1) (a0, 且a1). (1) 求f(x)的定義域; (2) 討論函數(shù)f(x)的增減性.10. 某電器公司生產(chǎn)A型電

23、腦, 1993年這種電腦每臺平均生產(chǎn)成本為5000元, 并以純利潤20%確定出廠價(jià), 從 1994年開始, 公司通過更新設(shè)備和加強(qiáng)管理,使生產(chǎn)成本逐年降低, 到1997年, 盡管A型電腦出廠價(jià)是1993 年出廠價(jià)的80%, 但卻實(shí)現(xiàn)了50%純利潤的高效益. (1) 求1997年每臺A型電腦的生產(chǎn)成本; (2) 以1993年的生產(chǎn)成本為基數(shù), 求19931997年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù) (精確到0.01, 以下數(shù)據(jù) 可供參考: ).x) 21 (21y0|y 1y21|y 1ab ba)21()21( 1)101( ,) (1,)101 (0, + +)1101(0 0 ,5234yxx2

24、1+ + 2.4496 2.236,5 檢測題一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)) 1. 已知集合Ay| ylog2x, x1, By| y , x1, 則AB ( ) (A) (B) y|0y0,.210 | yyB.210 | yyBAA2. 若 a, b 是任意實(shí)數(shù), 且 ab, 則 ( ) (A) a2b2 (B) (C) lg(ab)0 (D)1 abba) 21 () 21 ( 分析:用函數(shù)的思想判斷 A、D 選項(xiàng),A 選項(xiàng)看作二次函數(shù), 在任意實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不是一個(gè)單調(diào)區(qū)間, 不能確定大小.D 選項(xiàng)看作指數(shù)函數(shù), 底數(shù)小于 1, 在 (, +)上是減函數(shù), ab,.) 21 () 2

25、1 ( ba D也可用具體實(shí)數(shù)檢驗(yàn):12 12(2)2, 112 12 ab0.1 lg(ab)0,A不對;B不對;C不對.3. 如果 a1, bf(1), 則 x 的取值范圍是 ( ) (A) (B) (C) (D) (0, 1) (10, +) 1 ,101()10 ,101() , 1 ()101 , 0( + +分析:由 f(x) 在 0, +) 上是減函數(shù), 且是偶函數(shù),則大概圖象如圖:xyO11f(1)f(1),要使 f(lgx)f(1), 需1lgx0,x11,3x0,解得 1x0, 且a1). (1) 求 f(x) 的定義域; (2) 討論函數(shù) f(x) 的增減性.解:(1)要

26、使對數(shù)有意義, 需 ax10,即 ax1, 當(dāng) 0a1 時(shí), x1 時(shí), x0,此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?(0, +).三、解答題 9. 已知函數(shù) f(x)loga(ax1) (a0, 且a1). (1) 求 f(x) 的定義域; (2) 討論函數(shù) f(x) 的增減性.解:(2) 當(dāng) 0a1 時(shí), x0,ax是 (, 0) 上的減函數(shù).取 x1x20 時(shí),112121 xxauau logau是 (0, +) 上的減函數(shù), logau1logau2,則當(dāng) 0a0, 且a1). (1) 求 f(x) 的定義域; (2) 討論函數(shù) f(x) 的增減性.解:(2) 當(dāng) a1 時(shí), x0,ax是 (0, +

27、) 上的增函數(shù).取 x1x20 時(shí),112121 xxauau logau是 (0, +) 上的增函數(shù), logau1logau2,同樣, 當(dāng) a1 時(shí), f(x) 在 (0, +) 上是增函數(shù).當(dāng) 0a1 時(shí), 函數(shù)在 (0, +) 上也是增函數(shù). 10. 某電器公司生產(chǎn)A型電腦, 1993 年這種電腦每臺平均生產(chǎn)成本為 5000 元, 并以純利潤 20% 確定出廠價(jià), 從 1994 年開始, 公司通過更新設(shè)備和加強(qiáng)管理, 使生產(chǎn)成本逐年降低, 到 1997 年, 盡管A型電腦出廠價(jià)是 1993 年出廠價(jià)的 80%, 但卻實(shí)現(xiàn)了 50% 純利潤的高效益. (1) 求 1997 年每臺A型電腦

28、的生產(chǎn)成本; (2) 以 1993 年的生產(chǎn)成本為基數(shù), 求 19931997 年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù) (精確到 0.01, 以下數(shù)據(jù)可供參考: ).449. 26 ,236. 25 解: (1) 1993年的出廠價(jià)為5000(1+20%),設(shè)1997年的成本為 x 元, x(1+50%),x(1+50%) 5000(1+20%)80%.按純利潤50%計(jì)算, 則出廠價(jià)為1997年的出廠價(jià)是1993年出廠價(jià)的80%, 則有解得 x3200(元).(答略) 10. 某電器公司生產(chǎn)A型電腦, 1993 年這種電腦每臺平均生產(chǎn)成本為 5000 元, 并以純利潤 20% 確定出廠價(jià), 從 199

29、4 年開始, 公司通過更新設(shè)備和加強(qiáng)管理, 使生產(chǎn)成本逐年降低, 到 1997 年, 盡管A型電腦出廠價(jià)是 1993 年出廠價(jià)的 80%, 但卻實(shí)現(xiàn)了 50% 純利潤的高效益. (1) 求 1997 年每臺A型電腦的生產(chǎn)成本; (2) 以 1993 年的生產(chǎn)成本為基數(shù), 求 19931997 年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù) (精確到 0.01, 以下數(shù)據(jù)可供參考: ).449. 26 ,236. 25 解: (2) 設(shè)成本降低的百分?jǐn)?shù)為 x, 則5000(1x)43200,(1x)40.64,8 . 01 x52 ,89. 0236. 22 則 x10.890.1111%.(答略)知識要點(diǎn)自我檢測題復(fù)習(xí)參考題1. 指數(shù)冪的運(yùn)算負(fù)指數(shù):分?jǐn)?shù)指數(shù):同底數(shù)冪相乘除:冪的乘方:積的乘方:.1kkaa .nmn