D9.7極值與最值

1、 第八章 第七節(jié)第七節(jié)一、多元函數(shù)極值一、多元函數(shù)極值 二、多元函數(shù)最值二、多元函數(shù)最值三、條件極值的求法三、條件極值的求法多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyz一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無(wú)極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有

2、xyzxyz高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如,定理定理1 (必要條件) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 時(shí), 具有極值定理定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一

3、階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)證明略 . 時(shí), 沒(méi)有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.1. 求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn). .得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx096

4、32 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BA

5、CABC高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 是二者的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時(shí)當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、最值應(yīng)用問(wèn)題二、最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值

6、存在存在, 且只有一個(gè)只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí), )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )依據(jù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3 3.解解: 設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水箱問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233

7、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板 , 把它折起來(lái)做成解解: 設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為 x cm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問(wèn)怎樣折法才能使斷面面高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 故此點(diǎn)即為所求.,0sin0 xsi

8、ncossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、條件極值三、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘

9、數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿足設(shè) 記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格極值點(diǎn)必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyxfF高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量

10、和多個(gè)約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為0V則問(wèn)題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱, 試問(wèn) 0VzyxyxzyzxS)

11、(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 得唯一駐點(diǎn),2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省.因此 , 當(dāng)高為,340Vxyz思考思考:1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對(duì)稱性可知,30Vzyx2) 當(dāng)開(kāi)口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià)最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長(zhǎng)、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長(zhǎng)、寬、高尺寸相等 .高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解：解：0120020323322zyxFyxFyzxFz

12、yxFzyx.691224623maxu則例例6. 將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù) x, y, z 之和, 使得為最大.)12(),(23zyxzyxzyxF令zyxu23解得唯一駐點(diǎn) (6,4,2), 故最大值為高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解：解：設(shè) 為橢球面上一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)的切平面為),(000zyxP)(020 xxax)(020yyby0)(020 zzcz1202020czzbyyaxx化簡(jiǎn)得該切平面在三個(gè)軸上的截距各為,02xax ,02yby 02zcz 例例7.在第一卦限內(nèi)作橢球面1222222czbyax的切平面,使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)

13、.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 所圍四面體的體積000222661zyxcbaxyzV,lnlnln000zyxuF000lnlnlnzyx) 1(220220220czbyax令0, 0, 0, 0000FFFFzyx由高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 可得即01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx30ax 30by 30cz )3,3,3(cba當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為 時(shí)，四面體的體積最小 .23minabcV高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問(wèn)題函數(shù)的極值問(wèn)題第一步 利用必要條件

14、在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問(wèn)題函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1) 簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對(duì)二元函數(shù)(2) 一般問(wèn)題用拉格朗日乘數(shù)法高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步 判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問(wèn)題函數(shù)的最值問(wèn)題在條件求駐點(diǎn) . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄

15、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點(diǎn) C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí)思考與練習(xí) 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx則 ACABS2110321yx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時(shí), 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開(kāi)始或暫停高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P118 3; 4; 6; 10; 11.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為 x , y , z ,則,2zyxzyx它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx設(shè)拉