人教版高數(shù)必修五第6講：等比數(shù)列的概念、性質(zhì)(教師版)

1、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)教學目標*教學重點：掌握并理解等比數(shù)列的概念及性質(zhì)，通項公式的求解，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系教學難點：理解等比數(shù)例性質(zhì)及與指數(shù)函數(shù)的關系如知識梳理) .1 .等比數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用q (q#0 )表示。2 .等比數(shù)列的通項公式n 1 an =aq3 .等比中項如果三個數(shù)x,G, y組成等比數(shù)列，那么 G叫做x和y的等比中項，其中 G2 = xy4 .等比數(shù)列的性質(zhì)(1)公比為q的等比數(shù)列的各項同乘以一個不為零的數(shù)m,所得數(shù)列仍是等比數(shù)列，公比仍為q

2、(2)若 m +n = p +q,m,n, p,qw N +,則 ama=apHq1 1(3)若等比數(shù)列&的公比為q,則卜是以為公比的等比數(shù)列anq(4)等比數(shù)列a中，序號成等差數(shù)列的項構成等比數(shù)列(5)若Qn與bn均為等比數(shù)列，則anbn也為等比數(shù)列5.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系等比數(shù)列an的通項公式an =aiqn1 = a1qn當q0且q=1時，y = qx是一個指數(shù)函數(shù)，設 qc=a1則an=cqn,等比數(shù)列 Qn可以看成是函數(shù) y = cqx,因此，等比數(shù)列aj各項所對應 q的點是函數(shù)y =cqx的圖像上的一群孤立的點。根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到等比數(shù)列的增減性的下列結論：(1)

3、等比數(shù)列4遞增=：110或01會(2)等比數(shù)列為遞減U :圣或(3) 等比數(shù)列an為常數(shù)列u q=1(4) 等比數(shù)列 匕力為擺動數(shù)列u q0,則ln an一定是等差數(shù)列D.數(shù)列心02是等比數(shù)列，其公比與數(shù)列an的公比相等解析：A項，若數(shù)列 Qn為非-1的常數(shù)列，則Ian +1)是非零的常數(shù)列，顯然是公比為1的等比數(shù)列，故該選項不正確；B項，若k = 0 ,則kan = 0 ,此時數(shù)列kan不是等比數(shù)列，所以該選項不2112正確；D項，因為 =an土，所以若數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列an2是等比數(shù)列，其公ank an 比為數(shù)列an的公比的平方，所以該選項不正確，所以選 C答案：C練習1.對任意等

4、比數(shù)列an,下列說法一定正確的是()A.a1，a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a成等比數(shù)列Caaa成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列答案：D練習2.已知數(shù)列中，2 =1,an =2an.+1(n22 )（1） 證明：數(shù)列& +1是等比數(shù)列求國答案：（1）數(shù)列an+1是首項為2,公比為2的等比數(shù)列（2） an =2n -1例2.已知等比數(shù)列an中，an 0,且a =2,a3 =a2+4,求an解析：設等比數(shù)列Gn的公比為q an 0,，q a 0由a1 = 2,a3 = a2 +4,得2q2 =2q + 4,即 q2q2=0,解得q=2 或q=1 （舍去），因此q = 2所以3的通項公

5、式為 an =2 2n=2n n N答案：an =2 2nl=2n n N練習3.已知等比數(shù)列 QJ中，a3 =3,a10 =384,求a7答案：a7 -48練習4.若等比數(shù)列Q/滿足anan+=16n,則公比為（）A.2B.4C.8D.16答案：B類型二：等比數(shù)列的性質(zhì)例3.（2015廣東梅州摸底）在等比數(shù)列an中，an0,且a2=1-a，&=9 a3，則a4 + % =（）A.27B.16C.81D.36解析：設公比為q由已知得q0因為a+a2 =1,a3+a4 =9,所以q2 =生= = 9,解得q = 3或 a1 , a23-3 （舍），故 a% +a5 =（a1 +a2 q =27答

6、案：A練習5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列（an中，a1a2a3 =5,a7a8a9 =10,則a4a5%=（）A.5 .2B.7C.6D4 2答案：A練習6.已知數(shù)列 Q為等比數(shù)列，若a4+a6 =10,則a1a7+2a3a7+%29的值為（）A.10B.20C.60D.100答案：D例 4.若等比數(shù)列 Qn）各項均為正數(shù)，且a10ali+a9a12=2e5,則 Ina1+lna2+ ln a3+.十lna20=解析：因為等比數(shù)列 a中，aioaii = a9a12所以由aioaii+a9ai2 = 2e5可解得a。211 = 5所以io5In aiIna2. Ina?o= Ina1a2. a

7、2o = Inaioaii= iOlnaioaii= iOln e =50答案：50練習7.若等比數(shù)列an滿足a2a4 =2,則a1a32a5 = -1答案：14練習8.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a2 =1,a8 =a6+2a4,則a6的值是答案：4類型三：等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系；等差數(shù)列與等比數(shù)列的結合例5.已知等比數(shù)列an中，a2 =6,a4 =54，求a5_2 c.A2：，?。航庳?na4 W q ZZ54一 cW,、c,一 2 一5. 一一2 一 5 .一信：三或q=3當q=3 時a5= 父（3）=162；當 q = -3時 a5= 父（-3）=-162；故3 3a5 =16

8、2 或 % = 162答案：a5 =162 或 8 = -162練習9.已知aj是差d *a1,%,%等比 則13 ：=a? ad aio7_91113A.16B.16C.16D.16答案：D練習io.設an 為公比的等比數(shù)列，若,2a2oi2和癡3是方程4x -8x 3 二 0的兩根，則a2oi4a2oi5答案：180 a產(chǎn)95若ak是a1與a2k的等比中項,例6. （2。15山西太原質(zhì)檢）設等差數(shù)列ajg八工an的公差不為k 則k ()A.2B.4C.6D.8解析：由題意得 ak =& +(k l)d =(k +8 )d,a2k =& +(2k1 )d =(2k + 8)d 又a, = a

9、1，a2k所以2 .22(k+8)d =9d(2k+8 用即 k 2k 8 =0解得 k =4或 k = 2 (舍)答案：B練習11.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an;1a2 a3 a4的公比q *1且a*aaa1成等差數(shù)列，則a3 + a4 + a5的值為（）1 - .5,5 1.5-1.51,5-1A. 2B. 2C. 2D. 2 或 2答案：C練習12.已知a,b,c成等比數(shù)列，如果 a,x,b和b, y,c都成等差數(shù)列，則 -+- =x y答案：2d也當堂檢測）1 .公差不為零白等差數(shù)列an, a2, 33, a7成等比數(shù)列，則它的公比為（）A. 4B. - 1cjD. 444答案：D2 .

10、若2a, b,2c成等比數(shù)列，則函數(shù) y=ax2+bx + c的圖象與x軸的交點個數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 0或 2答案：B3 .若等比數(shù)列的首項為9,末項為1,公比為|,則這個數(shù)列的項數(shù)為（） 833A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B4 .在等比數(shù)列 an中，a4 + a5= 10 , a6+a7 = 20,則電+a9等于（）A. 90B. 30C. 70D. 40答案：D5 .對任意等比數(shù)列an,下列說法一定正確的是 （）A. an a3, a9成等比數(shù)列B . a2, a3, a6成等比數(shù)列C. a2, a4, a8成等比數(shù)列D. a3, a6, a9成等比數(shù)列答案：D

11、6 .等比數(shù)列an各項為正數(shù),且 3是a5和a6的等比中項，則 ai a2aio=（）A. 39B. 310C. 311D. 312答案：B27 .在等比數(shù)列an中，若a3a5a7a9a11= 243,則詈的值為（）a11A. 9B. 1C. 2D. 3答案：D，走當堂總結）砧家庭作業(yè)基礎鞏固1 .已知等比數(shù)列an中，有a3a11 = 4a7,數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b7=a7,則bs+bg等于（）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：Ca6 ,2 .在等比數(shù)列an中，anan+1,且 a7 a11 = 6, a4+a14=5,則一2等于（）a16A3B.2C.1D. 6236答案： A13

12、.已知an是等比數(shù)列，a2=2, as=4,則公比q等于（）D.2D. 243D. b= i3, ac=91 A. -2B. - 2C. 2答案：D4 .已知等比數(shù)列an滿足a1+a2=3, az+a3=6,則a?=（）A. 64B. 81C. 128答案：A5 .如果一1, a, b, c, 一9成等比數(shù)列，那么（）A . b= 3, ac= 9 B . b= - 3, ac= 9C. b= 3, ac= - 9答案：B6 .已知等比數(shù)列an中，a3=3, a1o= 384,則該數(shù)列的通項 an =答案：3 2n 37 .已知等比數(shù)列前3項為1, 1, 1,則其第8項是24 8答案：1256

13、12i8 .已知等比數(shù)an中，ai=27, a7=27,求 an.答案：由 a7=a1q6,得 27= 27 q6,q6= 272= 36,q=垃ik _ o 口-P n 11、/on-1 on 4當 q=3 時，an=a1q= 2yX 3= 3；當 q = 3 時，an= a1qn 1= 2x ( 3)n 1 = (3) 3 ( 3)n 1= ( 3)n 4.故 an=3n 4或 an= ( 3)n 4.9 .在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2= 1, a8=a6+2a4,則a6的值是答案：410 .已知等比數(shù)列an的公比q=-3,則：2：；4魯：；7等于答案：311 .已知數(shù)列an為等比

14、數(shù)列.(1)若 a1 + a? +a3= 21, a1a2a3=216,求 an；(2)若 a3a5=18, a4a8=72,求公比 q.答案：(1) : a1a2a3= 216,a2= 6,aa3 = 36.又: a1 + a3=21a2=15,.a1、a3是方程 x215x+36=0 的兩根 3 和 12.當 a1=3 時，q = 2= 2, an = 3 2n 1;a1當 a1=12 時，q= 2, an = 12 (2)n 1.(2) a4a8= a3q asq3= a3a5q4= 18q4= 72, q4= 4, 1. q= 72.能力提升12.設an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q=

15、2, 且 a1 a2 a3 a30 = 230, 那么 a3 a6 a9 a30等于A. 210B. 220C. 216D. 215答案： B13.如果數(shù)列an是等比數(shù)列，那么()2A.數(shù)列an是等比數(shù)列B.數(shù)列2 an是等比數(shù)列C.數(shù)列l(wèi)g an是等比數(shù)列D.數(shù)列nan是等比數(shù)列 答案：A14.在等比數(shù)列an中，公比為q,則下列結論正確的是()A.當q1時，an為遞增數(shù)列B.當0Vq0 成立D.當 nCN +時，anan+2an+40 成立 答案：C15 .等比數(shù)列an中，|a1|=1, a5=8a2, a5a2,則 an=()A. ( 2)n 1B. ( 2)n1C. (2)nD. (2)

16、n答案： A1a1成等差數(shù)列，則史普的值為()a4 十 a5,5+1 B.2C.毋D.看16 .各項都是正數(shù)的等比數(shù)列an的公比qw1, 且a2,m3,17 .在等比數(shù)列 an中，an0,且a2= 1 a1, ad=9a3,則a4+a5的值為()A. 16B. 27C. 36D. 81答案：B18 .若正數(shù)a, b, c依次成公比大于1的等比數(shù)列，則當 x1時，logax, logbx, logcx()A.依次成等差數(shù)列B .依次成等比數(shù)列C.各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列D.各項的倒數(shù)依次成等比數(shù)列答案：C19.在8和5 832之間插入5個數(shù)，使它們組成以8為首項的等比數(shù)列，則此數(shù)列的第 5項是答

17、案：64820 .從盛滿20 L純酒精的容器里倒出1升后用水添滿，再倒出 1 L混合溶液，再用水添滿，這樣連續(xù)進行，一共倒5次，這時容器里有純酒精約 L（結果保留3位有效數(shù)字）.答案：15.521 .已知 2a=3,2b=6,2c=12,則 a, b, c（ ）A.成等差數(shù)列不成等比數(shù)列B.成等比數(shù)列不成等差數(shù)列C.成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D.既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列答案：A22 .公差不為零的等差數(shù)列an中，2a3a2 + 2a11 = 0,數(shù)列bn是等比數(shù)列，且 b7=a7,則b6b8 = .答案： 1623 .在3和一個未知數(shù)間填上一個數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項減去6則成等比數(shù)列，

18、則此未知數(shù)是.答案：3或2724 . an為等比數(shù)列,且 a1a9=64, 23 + 27= 20,求 an.答案：.an為等比數(shù)列，a1 a9= a3 a7= 64,又 a3+ a7= 20 , a3、a7是方程t220t + 64=0的兩個根.a3 = 4, a7= 16或 a3= 16, a7 = 4,當 a3=4 時，as+a7= as+a3q4= 20,.1 + q4=5,，q4=4.當 a3= 16 時，a3+a7= a3（1 + q4）= 20, - 1 + q4=4， q4=4.1- a11 = a3q8= 64 或 1.25.設an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn=log2an

19、,若b1+b2+b3=3, b1b2b3=3,求此等比數(shù)列的通項公式an.答案：由 b1+b2+b3=3,得 log2（a1 a2 a3）= 3,1 1 a1 a2 a3= 2=8,- a2= a1 a3, a2= 2,又 b b2 b3= 1 3,2設等比數(shù)列an的公比為q,得log2C） log2（2q） = - 3.q . 1 （log2q）2= 3, log2q= 2.解得q = 4或1, 4，所求等比數(shù)列an的通項公式為n2 c2n 3 fo5-2nan= a2 q= 2 或 an= 2.26 .等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知&=a2,且S, S2, S4成等比數(shù)列，求an的通項公式.答案：設an的公差為d.由 &= a2, 得 3a2 = a2, 故 a2 = 0 或 a2= 3.由S2, S4成等比數(shù)列得 S2=SiS4.又 S1 = a2 d , S2 = 2a2 d, S4=4a2+ 2d)故(2a2 d) 2= (a2 d)(4 a2 + 2d).若a2=0,則d2= 2d2,所以d=0,此時Sn= 0,不合題意；若22=3,則(6 d)2= (3d)(12 + 2d),解得 d=0 或 d = 2.因此an的通項公式為an= 3或an= 2n1.27 .在