第2章概率論習(xí)題課

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章習(xí)題課一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量離離 散散 型型隨機(jī)變量隨機(jī)變量連連 續(xù)續(xù) 型型隨機(jī)變量隨機(jī)變量分分 布布 函函 數(shù)數(shù)分分 布布 律律密密 度度 函函 數(shù)數(shù)均均勻勻分分布布指指數(shù)數(shù)分分布布正正態(tài)態(tài)分分布布兩兩點(diǎn)點(diǎn)分分布布二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布泊泊松松分分布布隨機(jī)變量隨機(jī)變量的函數(shù)的的函數(shù)的 分分 布布定定義義二、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)重點(diǎn)(0-1)分布、二項(xiàng)分布和泊松分布的分布律分布、二項(xiàng)分布和泊松分布的分布律 正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布的分布正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布的分布函數(shù)、密度函數(shù)及有關(guān)區(qū)間概率的計(jì)算函數(shù)、密度函數(shù)及有關(guān)

2、區(qū)間概率的計(jì)算2.難點(diǎn)難點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的求法連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的求法(1)解解：放放回回：,X設(shè)設(shè)抽抽取取次次數(shù)數(shù)為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量:X則則的的所所有有可可能能取取值值為為1,2,X 13101,2,1313kP Xkk 分分布布律律為為：例例1三、典型例題三、典型例題(2)不不放放回回：,X設(shè)設(shè)抽抽取取次次數(shù)數(shù)為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量X則則的的所所有有可可能能取取值值為為1,2,3,4X 101,13P X 分分布布律律為為：3 102,13 12P X 3 2 103,13 12 11P X 3 2 1 10413 12 1110P X .,212. 2, 21,3

3、2, 11, 1, 0)(的分布律的分布律并求并求試確定常數(shù)試確定常數(shù)且且的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量XbaXPxbaxaxaxxFX 思路思路 首先利用分布函數(shù)的性質(zhì)求出常數(shù)首先利用分布函數(shù)的性質(zhì)求出常數(shù) a, b,再用已確定的分布函數(shù)來(lái)求分布律再用已確定的分布函數(shù)來(lái)求分布律.解解:)(的性質(zhì)的性質(zhì)利用分布函數(shù)利用分布函數(shù)xF例例2),0()( iiixFxFxXP, 1)( F221 XP知知)32()(aba ,322 ba. 1 ba且且.65,61 ba由此解得由此解得 . 2, 1, 21,21, 11,61, 1, 0)(xxxxxF因此有因此有從而從

4、而 X 的分布律為的分布律為XP211 213161,03( )2,3420,1; 2( )7312Xkxxxf xxkXF xPX 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 具具有有概概率率密密度度其其它它（ ）確確定定常常數(shù)數(shù)（ ）求求 的的分分布布函函數(shù)數(shù)；（ ）求求例例31(1)( )16f x dxk 由由得得解解: :0303(2)0,0,036( )2,34621,4xxxxdxxF xxxdxdxxx 分分布布函函數(shù)數(shù) ,xF xf t dtx 220,0,0312( )32,3441,4xxxF xxxxx 即即分分布布函函數(shù)數(shù) 77413112248PXFF （ ）設(shè)某類(lèi)日光燈管的使用壽命設(shè)某

5、類(lèi)日光燈管的使用壽命 X 服從服從120001,0,( )0,0.xexF xx X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解參數(shù)為參數(shù)為 =1/2000的指數(shù)分布的指數(shù)分布(單位單位:小時(shí)小時(shí))(1)任取一只這種燈管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時(shí)以上的概率小時(shí)以上的概率. (2)有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000小時(shí)以上小時(shí)以上,求還能使用求還能使用1000小時(shí)以上的概率小時(shí)以上的概率. 例例41000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP100020

6、00 XPXP . 0, 0, 0,1)(20001xxexFx1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指數(shù)分布的重要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無(wú)記憶性無(wú)記憶性”. . 0, 0, 0,1)(20001xxexFx如如X 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布, 則任給則任給s,t 0, 有有 PXs+t | X s=PX t()事實(shí)上事實(shí)上()/()()|1()ee1( )e.s tt s PXstXsP Xst XsP XsP XstF stP XsF sP Xt l性質(zhì)性質(zhì)()稱為稱為無(wú)記憶性無(wú)記憶性.l指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)論中有廣泛的指數(shù)分布在可

7、靠性理論和排隊(duì)論中有廣泛的運(yùn)用運(yùn)用.)3();()2(;)1(.,e)(2的概率密度的概率密度求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求求系數(shù)求系數(shù)的概率密度為的概率密度為已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量XYxFXAxAxfXx 解解有有由概率密度的性質(zhì)由概率密度的性質(zhì),)1( xAxxfxded)(1 0de2xAx,2A .21 A故故例例5,de21)()2( xxxxF有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 xxxFxxde21)( ;e21x 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 xdede21)(00 xxxxxxF;e211x 所以所以 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 . 0,e211, 0,e21)(xxxFxx, 0)3(2 XY由于由于;

8、 0)(,0 yYPyFyY有有時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng)有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 y)(2yXPyYPyFY yXyP yyxxde21,de2120 yxx),()(yfyFYY 由于由于有有時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng),0 ydedd)(dd0 yxYxyyFy,21eyy 的概率密度為的概率密度為從而從而 Y, . 0, 00,e21)(yyyyfyY.2100,cm182)2(?01. 0,)1()cm:()6,170(2的概率的概率頂碰頭的人數(shù)不多于頂碰頭的人數(shù)不多于個(gè)成年男子與車(chē)門(mén)個(gè)成年男子與車(chē)門(mén)求求若車(chē)門(mén)高為若車(chē)門(mén)高為車(chē)門(mén)頂碰頭的幾率小于車(chē)門(mén)頂碰頭的幾率小于使男子與使男子與車(chē)門(mén)的高度車(chē)門(mén)的高度問(wèn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)公共汽車(chē)問(wèn)

9、應(yīng)如何設(shè)計(jì)公共汽車(chē)單位單位高高設(shè)某城市成年男子的身設(shè)某城市成年男子的身NX思路思路.2,cm182100.,01. 0,cm的概率的概率求其不超過(guò)求其不超過(guò)布律布律然后用此分然后用此分的人數(shù)的分布律的人數(shù)的分布律子中身高超過(guò)子中身高超過(guò)名男名男第二問(wèn)首先要求出第二問(wèn)首先要求出確定確定那么按設(shè)計(jì)要求應(yīng)有那么按設(shè)計(jì)要求應(yīng)有設(shè)車(chē)門(mén)高度為設(shè)車(chē)門(mén)高度為llXPl 例例6解解),6 ,170()1(2NX由題設(shè)知由題設(shè)知1lXPlXP 617061701lXP)6170(1 l ,01. 0 .99. 0)6170( l即即,33. 26170 l查表得查表得).cm(98.183 l故故.cm182)2

10、(p的概率為的概率為設(shè)任一男子身高超過(guò)設(shè)任一男子身高超過(guò) 61701826170182XPXPp則則)2(1 .0228. 0 ,cm182100的人數(shù)的人數(shù)個(gè)男子中身高超過(guò)個(gè)男子中身高超過(guò)為為設(shè)設(shè) Y其中其中則則),0228. 0,100( BY,9772. 00228. 0100100 kkkkYP .100, 1 , 0 k,28. 2,0228. 0,100 nppn其中其中布來(lái)計(jì)算布來(lái)計(jì)算故可用泊松分故可用泊松分較小較小較大較大由于由于從而從而! 2e28. 2! 1e28. 2! 0e28. 2228. 2228. 228. 20 YP.6013. 0 ,2102 YPYPYPYP

11、所求概率為所求概率為,(:),1 600,200,. a 設(shè)設(shè)某某儀儀器器上上裝裝有有三三只只獨(dú)獨(dú)立立工工作作的的同同型型號(hào)號(hào)電電子子元元件件 其其壽壽命命 單單位位 小小時(shí)時(shí) 都都服服從從同同一一指指數(shù)數(shù)分分布布 其其中中參參數(shù)數(shù)試試求求在在儀儀器器使使用用最最初初小小時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一只只元元件件損損壞壞的的概概率率思路思路(1,2,3) 200 ,iA i 以以分分別別表表示示三三個(gè)個(gè)電電子子元元件件“在在使使用用的的最最初初小小時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)損損壞壞” 的的事事件件321AAAPa 于是于是)(1321AAAP ),()()(1321APAPAP 例例7),3 , 2 , 1()( i

12、APpi令令.,便可得解便可得解由指數(shù)分布求出由指數(shù)分布求出 p解解的概率密度為的概率密度為由題設(shè)知由題設(shè)知個(gè)元件的使用壽命個(gè)元件的使用壽命表示第表示第用用)3 , 2 , 1(,)3 , 2 , 1( iXiiXii . 0, 0, 0,e6001)(600 xxxfx,一一分分布布由由三三個(gè)個(gè)電電子子元元件件服服從從同同,)(200pAPXPii 又又因此所求概率為因此所求概率為)()()(1321APAPAP 31p 331)e (1 .e11 從而從而 200d)(200 xxfXPi 200600de6001xx,e31 . 3 , 2 , 1 i某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成某

13、地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)績(jī)( (百分制百分制), ), 服從正態(tài)分布，平均成績(jī)服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)闉?7272分，分，9696分以上占考生總數(shù)的分以上占考生總數(shù)的2.3%, 2.3%, 試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)谠嚽罂忌耐庹Z(yǔ)成績(jī)?cè)?6060分至分至 8484分之分之間的概率間的概率. .解解依題意，考生外語(yǔ)成績(jī)依題意，考生外語(yǔ)成績(jī) X X),(2 N72 其其中中，且且960.023P X 96196P XP X 于于是是977. 0023. 01 例例896P X 又又96() )24()7296( 977. 0)24( 查表，知查表，知977. 0)2( ( ) x由由的的單單調(diào)

14、調(diào)增增加加性性，得得224 12 2(72,12 )XN因因而而6084PX 故故)127260()127284( )1()1( )1(1)1( 1)1(2 查表，得查表，得841. 0)1( 682. 01841. 028460 XP1,( )0,axbXf xba 直直徑徑 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為其其它它36YX 體體積積 ( )YFyP Yy36PXy36yPX63( )yf x dx 例例9解解6333330,61( ),661,6yYayaFydxaybbayb ( )( )YYfyFy 33631,660,yaybba 其其它它 233326,660,yayb ba 其其它它11 kkp由由解：解： 1)2/1(51 kkA即即51 A得得51, 1)( dxxf由由解：解： 1210 badxbax得得 ,852835 . 015 . 0 badxbaxXP又又21, 1 ba