函數(shù)的奇偶性的經(jīng)典總結(jié)

1、函數(shù)的奇偶性1、 函數(shù)奇偶性的基本概念1 偶函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。2. 奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。 注意：（1）判斷函數(shù)的奇偶性，首先看定義域是否關(guān)于原點對稱，不關(guān)于原點對稱是非奇非偶函數(shù)，若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的，再判斷 之一是否成立。（2）在判斷與的關(guān)系時，只需驗證及=是否成立即可來確定函數(shù)的奇偶性。題型一 判斷下列函數(shù)的奇偶性。，（2） （3）(4) (5) (6) (7) ，(8)提示：上述函數(shù)是用函數(shù)奇偶性的定義和一些性質(zhì)來判斷（1）判斷上述函數(shù)的奇偶性的方法就是用定義。 （2）

2、常見的奇函數(shù)有：，（3）常見的奇函數(shù)有：， （4）若、都是偶函數(shù),那么在與的公共定義域上，+為偶函數(shù)，為偶函數(shù)。當時，為偶函數(shù)。（5）若，都是奇函數(shù)，那么在與的公共定義域上，+是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當0時，是偶函數(shù)。 （6）常函數(shù)是偶函數(shù)，0既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)。（7）在公共定義域內(nèi)偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);奇函數(shù)和、差仍為奇函數(shù);奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù).（8）對于復合函數(shù)；若為偶函數(shù), 為奇（偶）函數(shù)，則都為偶函數(shù)；若為奇函數(shù)，為奇函數(shù),則為奇函數(shù);若為奇函數(shù)，為偶函數(shù),則為偶函數(shù). 題型二 三次

3、函數(shù)奇偶性的判斷已知函數(shù)，證明：（1）當時，是偶函數(shù)（2）當時，是奇函數(shù)提示：通過定義來確定三次函數(shù)奇偶性中的常見題型，如，當，是偶函數(shù)；當，是奇函數(shù)。題型三 利用函數(shù)奇偶性的定義來確定函數(shù)中的參數(shù)值1函數(shù)是偶函數(shù)，定義域為，則 2設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，則的值域是 3 已知是奇函數(shù)，則的值為 14已知是偶函數(shù)，則的值為 1提示：（1）上述題型的思路是用函數(shù)奇偶性的定義，。（2） 因為是填空題，所以還可以用。（3） 還可以用奇偶性的性質(zhì)，如奇函數(shù)乘以奇函數(shù)是偶函數(shù)，奇函數(shù)乘以偶函數(shù)是奇函數(shù)等。題型四 利用函數(shù)奇偶性的對稱1下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ B ）A B C D2下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，

4、也不是偶函數(shù)的是A A B C D3下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（ C ）A B C D4函數(shù)的圖像關(guān)于（ C ）A軸對稱 B 直線對稱 C 坐標原點對稱 D 直線對稱5已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，則=-46已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，則=-3提示：（1）上述題型的思路是用函數(shù)奇偶性的定義，。(2) 奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱。(3) 在原點有定義的奇函數(shù)必有。（4） 已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，則關(guān)于點對稱。(5)已知是偶函數(shù)，則關(guān)于直線對稱。題型五 奇偶函數(shù)中的分段問題1設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當時，（為常數(shù)），則-3 2已知是奇函數(shù)，且當時，求時，的表達式。3已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，

5、當時，則=-454已知是偶函數(shù)，當時，求 5設(shè)偶函數(shù)滿足，則=提示：（1）已知奇函數(shù)，當，則當時，。（2）已知偶函數(shù)，當，則當時，。類型六 奇函數(shù)的特殊和性質(zhì)1已知函數(shù)，求的和為42已知，且，則=03已知，=_-26_4已知函數(shù)，若，則()提示：已知滿足，其中是奇函數(shù)，則有。題型七 函數(shù)奇偶性的結(jié)合性質(zhì)1設(shè)、是上的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則結(jié)論正確的是.是偶函數(shù) .|是奇函數(shù).|是奇函數(shù) .|是奇函數(shù)2設(shè)函數(shù)和分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是 A是偶函 B是奇函數(shù)C|是偶函數(shù) D|是奇函數(shù)3設(shè)函數(shù)與的定義域是且,是偶函數(shù), 是奇函數(shù),且,求和的解析式, ，。 提示：（1）已知

6、是奇函數(shù)，則是偶函數(shù)。（2）已知是上的函數(shù)，且也是上的偶函數(shù)和也是上的奇函數(shù)，滿足，則有，。題型八 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性1下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）A B C D2下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（1,2）內(nèi)是增函數(shù)的為（A），xR （B），xR且x0（C），xR （D），xR3設(shè)，則（ B ）A既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C有零點的減函數(shù)D沒有零點的奇函數(shù)4設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）5已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，若，則的取值范圍是.6已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足的取值范圍是提示：（1）已知是奇函數(shù)，且在上是增（減）函數(shù)，則在上也是增

7、（減）函數(shù)。（2） 已知是偶函數(shù)，且在上是增（減）函數(shù)，則在上也是減（增）函數(shù)。（3） 已知是偶函數(shù)，必有。題型九 函數(shù)的奇偶性的綜合問題1已知函數(shù),當時，恒，且，又（1）求證：是奇函數(shù)；（2）求證：在R上是減函數(shù)；（3）求在區(qū)間上的最值。最大值1，最小值-3。2設(shè)，且有，求的取值范圍。練習題一、判斷下列函數(shù)的奇偶性（1） （2） （3） （4） （5）（5）（6）(7) (8)（9），(10)，(11)，(12) (13) ，(14)，(15)，(16),(17)二、利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值1若函數(shù)是偶函數(shù)，求的值。02若函數(shù)是奇函數(shù)，求的值。43函數(shù)是奇函數(shù)，定義域為，則的值是 9 4若

8、是奇函數(shù)，則 5若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)_0_.6設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)_-1_7若函數(shù)是奇函數(shù)，則a= .8若為奇函數(shù),則實數(shù)_-2_.9若函數(shù)為偶函數(shù)，則 1 10若是偶函數(shù)，則_.三、 函數(shù)奇偶性定義的應用1函數(shù)y=的圖像A（A）關(guān)于原點對稱 （B）關(guān)于直線對稱（C）關(guān)于軸對稱（D）關(guān)于直線對稱2已知函數(shù)，則 （B ） A. B.為偶函數(shù) C. D.不是偶函數(shù)3若是偶函數(shù)，則（為常數(shù)） ( A ) A.是偶函數(shù) B.不是偶函數(shù) C.是常數(shù)函數(shù) D.無法確定是不是偶函數(shù)4函數(shù)=則為 （ B ） A.偶函數(shù) B.奇函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)5已知為奇函數(shù)，則為

9、 （ A ） A奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)6已知點是偶函數(shù)圖像上一點，則等（B ）A.-3 B.3 C.1 D.-17若點在奇函數(shù)的圖象上，則等于（D）A.0 B.-1 C.3 D.-38已知是奇函數(shù),且.若,則_-1_ .9設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，則函數(shù)，在上一定是（ A ）A奇函數(shù) B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù)10設(shè)是上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對稱，則011已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則_3_.12設(shè)函數(shù)對于任意都有，求證：是奇函數(shù)。13已知，函數(shù)為奇函數(shù)，則 -1 ， -7 14已知奇函數(shù)的，且方程僅有三個根，則的值

10、 015 設(shè)函數(shù)是上為奇函數(shù)，且，在的值16已知偶函數(shù)，求的個數(shù)717 已知偶函數(shù)，求的個數(shù)9四、 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)1已知是偶函數(shù)，且，則的值為12已知，則的值43已知其中為常數(shù)，若，則的值等于( -10 )4已知，則的值 -45已知，則的值 -46已知，則的值 67已知函數(shù)，則（ ）8已知函數(shù)9已知函數(shù)，則10設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則=_2_11已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，則 11在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(0,且).若，則= 12若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，則有（ D ）AB C D13若函數(shù)為上的偶函數(shù)，且當時，則 3 14函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，

11、且對任意實數(shù)都有，則的值是0 15函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，則的值是0 16若函數(shù)在上是奇函數(shù),則的解析式為_.17設(shè)是上的奇函數(shù)，且當時，則當時_18已知定義在上的奇函數(shù)，當時，那么時， .19函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則 4 20奇函數(shù)的定義域為，若為偶函數(shù)，且，則（ 1 ）21設(shè)定義在上的奇函數(shù)，滿足，那么的值022已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當，都有，且當時，則有的值 1五、函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用1已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是 2設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）3已知函數(shù)，則（A）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（B）是奇函數(shù)，且在R

12、上是增函數(shù)（C）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（D）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)4已知奇函數(shù)在上是增函數(shù).若，則的大小關(guān)系為5已知是定義在R上的偶函數(shù)，且.若當 時，則 .6已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，若，則的取值范圍是.7已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足的取值范圍是8若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（ D ）A BC D9設(shè)偶函數(shù)滿足，則 10已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，則的取值范圍是_11已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）12已知定義在 上的函數(shù) （ 為實數(shù)）為偶函數(shù)，記 ，則 的大小關(guān)系為13是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函

13、數(shù)，且，則使得的的取值范圍是14已知函數(shù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則的單調(diào)遞增區(qū)間是15 已知函數(shù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則的單調(diào)遞減區(qū)間為16已知都是奇函數(shù)，如果的解集是，的解集為，則的解集為17 已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，令，則的大小，18已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，若當時，則滿足的解集，19設(shè)是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集是（ ）20設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，.若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 21函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列各式成立的是（ B）A BC D22 R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有.則A.（A） (B) (C) (D) 23設(shè)函數(shù)，則

14、是（ A ）A奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) D偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)24已知函數(shù)，則A在（0,2）單調(diào)遞增B在（0,2）單調(diào)遞減Cy=的圖像關(guān)于直線x=1對稱Dy=的圖像關(guān)于點（1,0）對稱25函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若，則滿足的的取值范圍是26函數(shù)是奇函數(shù)，且當時是增函數(shù)，若，求不等式的解集。 27已知是奇函數(shù)并且是上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)只有一個零點，則函數(shù)的最小值是（5 ）28已知定義在上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間上是增函數(shù),若方程在區(qū)間上有四個不同的根,則-829 已知函數(shù)，求的解集 30已知上的奇函數(shù)，求的解集為六、函數(shù)奇偶性綜合應用1已知函數(shù)

15、是定義在上的奇函數(shù)，當時，。若,則實數(shù)的取值范圍為2已知函數(shù) 是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增（）求的值，并確定的解析式； （），求的定義域和值域 答案：（），；（）3已知函數(shù)的定義域為，且同時滿足下列條件：（1）是奇函數(shù)；（2）在定義域上單調(diào)遞減；（3）求的取值范圍。4已知函數(shù)的定義域為，且對任意，都有，且當時，恒成立，證明：（1）函數(shù)是上的減函數(shù)；（2）函數(shù)是奇函數(shù)。5已知定義在上的奇函數(shù)滿足(1)求的值；0 (2)求證：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；(3)若在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，試比較的大小6已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)，若對任意恒成立 ，求實數(shù)的取值范圍.7已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域； （2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）當時，求函數(shù)的值域.8已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù).（1）求，的值；,（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.9已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)（1）求實數(shù)的值；（2）判