數(shù)字信號處理第10章 平穩(wěn)隨機信號

1、10.1 引言10.2 隨機過程的基本概念10.3 平穩(wěn)隨機過程10.4 高斯過程10.5 窄帶隨機過程10.6 正弦波加窄帶高斯過程10.7 隨機過程通過線性系統(tǒng)3.1 引言隨機信號 如果信號的某個或某幾個參數(shù)不能預(yù)知或不能完全預(yù)知，這種信號就稱為隨機信號。隨機噪聲 通信系統(tǒng)中不能預(yù)測的噪聲就稱為隨機噪聲，簡稱噪聲。隨機噪聲和隨機信號統(tǒng)稱為隨機過程隨機變量 在概率論中，將每次實驗的結(jié)果用一個變量來表示，如果變量的取值是隨機的，則稱變量為隨機變量。例如，在一定時間內(nèi)電話交換臺收到的呼叫次數(shù)是一個隨機變量。 當(dāng)隨機變量的取值個數(shù)是有限個時，則稱它為離散隨機變量。否則就稱為連續(xù)隨機變量。 概率分布

2、函數(shù)F(x) 定義隨機變量X的概率分布函數(shù)F(x)是X取小于或等于某個數(shù)值x的概率P(Xx)，即 F(x)=P(X x) 上述定義中，隨機變量X可以是連續(xù)隨機變量，也可以是離散隨機變量。 對于離散隨機變量，其分布函數(shù)可表示為 式中 ，是隨機變量X取值為xi的概率。( )()( )1,2,3,iixxF xP XxP xi( )(1,2,3,)iP xi 隨機變量的統(tǒng)計特征概率密度函數(shù)f(x) 概率密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。從圖形上看，概率密度就是分布函數(shù)曲線的斜率。概率密度函數(shù)有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）( )0f x ( )1f x dx( )()baf x dxP aXb( )( )dF

3、 xf xdx隨機變量的數(shù)字特征 前面討論的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，能夠較全面地描述隨機變量的統(tǒng)計特性。然而，在許多實際問題中，我們往往并不關(guān)心隨機變量的概率分布，而只想了解隨機變量的某些特征，例如隨機變量的統(tǒng)計平均值，以及隨機變量的取值相對于這個平均值的偏離程度等。這些描述隨機變量某些特征的數(shù)值就稱為隨機變量的數(shù)字特征。數(shù)字期望 數(shù)字期望（簡稱均值）是用來描述隨機變量X的統(tǒng)計平均值，它反映隨機變量取值的集中位置。對于離散隨機變量X，設(shè) 是其取值xi 的概率，則其數(shù)字期望定義為對于連續(xù)隨機變量X，其數(shù)學(xué)期望定義為式中，f(x)為隨機變量X的概率密度。( )(1,2, )iP xik1()( )

4、kiiiE Xx P x()( )E Xxf x dx數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如下：（1）若C為一常數(shù)，則常數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于常數(shù)，即E(C)=C；（2）若有兩個隨機變量X和Y，它們的數(shù)學(xué)期望E(X)和E(Y)存在，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)。若隨即變量X1,X2,Xn的數(shù)學(xué)期望都存在，則E(X1+X2+Xn)也存在，且有E(X1+X2+Xn)E(X1)+E(X2)+E(Xn)（3）若隨機變量X和Y相互獨立，且E(X)和E(Y)存在，則E(XY)也存在，且有 E(XY)=E(X)E(Y)方差 方差反映隨機變量的取值偏離均值的程度。方差定義為隨機變量X與其數(shù)學(xué)期望E(X)之差的平方的數(shù)學(xué)期望，即 D

5、X=EX-E(X)2n對于離散隨機變量，上式方差的定義可表示為式中，Pi是隨機變量X取值為xi 的概率。n對于連續(xù)隨機變量，方差的定義可表示為 另外，還可以表示為2()iiiD XxE XP2()( )iD XxE Xfx dx22222()2()()()()D XE XE XE XXE XEXE XEX方差的性質(zhì)如下：（1）常數(shù)的方差等于0，即DX=0；（2）設(shè)DX存在，C為常數(shù)，則 DX+C=DX D(CX)=C2D(X)；（3）設(shè)DX和DY都存在，且X和Y相互獨立，則DX+Y=DX+DY。 對于多個獨立的隨機變量X1,X2,Xn，不難證明有D(X1+X2+Xn)D(X1)+D(X2)+D

6、(Xn)隨機過程 隨機試驗E的可能結(jié)果為(s,t)，試驗的樣本空間S為x1(t)、 x2(t) xi(t), xi(t)為第i個樣本函數(shù)。每次實驗之后，(s,t)取空間S中的某一個樣本函數(shù)，于是用(s,t)表示該隨機過程，簡記為(t) 。 幾個基本概念 隨機過程：所有樣本函數(shù)的集合，t與s均可變； 樣本函數(shù)：確定的時間函數(shù)，t是變量，s是固定的； 樣本隨機變量：t固定時，隨機信號的狀態(tài); 樣本值：確定的數(shù)值，t與s均固定10.2 隨機過程的基本概念 (si,t)= xi(t),樣本樣本函數(shù)函數(shù); (s,tk)= (tk),隨機隨機變量變量; (si,tk)= 確定實數(shù)確定實數(shù)x1(t)x2(t

7、)xi(t)xN(t)實數(shù)值實數(shù)值樣本函數(shù)樣本函數(shù)tkt (si,tk) 隨機過程的兩種基本表征 樣本函數(shù)集合 隨機變量集合,.2 , 1),(),(itstsi確定樣本函數(shù)集合隨機過程,.2 , 1),(),(itstsi隨機變量集合隨機過程隨機過程的概率密度函數(shù) 一階概率分布與密度函數(shù) 二階概率分布與密度函數(shù)1111( , ) ( )F x tPtx11111( , )( , )f x tF x tx12121122( ,; , ) ( ), ( )F x x t tPtxtx21212121212( ,; , )F( ,; , )f x x t tx x t tx x 隨機過程的統(tǒng)計特征

8、 隨機過程(t)的數(shù)字特征 數(shù)學(xué)期望 方差 自相關(guān)函數(shù)dxtxxftEta),()()(22)()()()(tEtEtDt2222)(),()()(tadxtxfxtEtE 212121212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 自協(xié)方差 自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)描述同一隨機過程的相關(guān)程度，與選擇時刻t1和t2有關(guān)。如果t2t1并令t2=t1+，有即相關(guān)函數(shù)是時間起點t1以及時間間隔的函數(shù) 互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)描述不同隨機過程的相關(guān)程度),(),(1121ttRttR 121122112221212121212,; ,( ,)( ) ( )B t tEta tt

9、a txa txa tfx x t tdx dxR t ta t a t 10.3 平穩(wěn)隨機過程統(tǒng)計特性（概率密度函數(shù)，相關(guān)函數(shù)等）具有平穩(wěn)性的隨機信號稱為平穩(wěn)隨機過程觀測平穩(wěn)隨機過程的相應(yīng)統(tǒng)計特性時，不受觀察時刻的影響嚴格平穩(wěn)：全部統(tǒng)計特性平穩(wěn)廣義平穩(wěn)：部分統(tǒng)計特性平穩(wěn) 均值平穩(wěn) 自相關(guān)平穩(wěn)122121)(),(),(ttRttttRttR，0)()()(attEtEta各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性） 統(tǒng)計平均等于樣本函數(shù)的時間平均 均值各態(tài)歷經(jīng)性：統(tǒng)計均值等于時間均值 時間均值：設(shè)x(t)為(t)的一個樣本函數(shù) 相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng):統(tǒng)計相關(guān)函數(shù)等于樣本的時間相關(guān)函數(shù) 樣本的時間相關(guān)函數(shù) 各態(tài)歷經(jīng)的隨機

10、過程是平穩(wěn)的，但平穩(wěn)的隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。2/2/)(1lim)(TTTdttxTtxa2/2/)()(1lim)()()(TTTdttxtxTtxtxR平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)：實平穩(wěn)隨機過程(t) 的的平平均均功功率率tStER 20 為為偶偶函函數(shù)數(shù) RRR 的的上上界界 RRR0 的的直直流流功功率率ttER 2 的的交交流流功功率率方方差差，tRR 20 平穩(wěn)隨機信號的頻譜特性 隨機信號的頻譜特性用功率譜密度P()來表示 廣義平穩(wěn)隨機信號功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 PR dePRj21dPP)(21維納維納-辛辛欽定理欽定理10.5 高斯過程若

11、隨機變量的概率密度函數(shù)可表示成則稱為服從正態(tài)分布的隨機變量。a及2是兩個常量（均值及方差） 222exp21axxf高斯隨機過程的性質(zhì)(1)若高斯過程是廣義平穩(wěn)的,則它也是嚴平穩(wěn)的;(2)若幾個高斯過程中的隨機變量之間互不相關(guān),則這些高斯過程也是互不相關(guān)的;(3)若干個高斯過程之和的過程仍是高斯過程;(4)高斯過程經(jīng)過線性變換后的過程仍是高斯型。概率密度函數(shù)圖a210 xf (x) f(x)f(x)關(guān)于關(guān)于x=ax=a對稱對稱 f(x)f(x)在（在（- - ，a a）內(nèi)單）內(nèi)單調(diào)上升，在（調(diào)上升，在（a a， ）內(nèi)單）內(nèi)單調(diào)下降，且在調(diào)下降，且在a a點最大點最大 對不同的對不同的a a，表

12、現(xiàn)為，表現(xiàn)為f(x)f(x)的左右平移，對不同的的左右平移，對不同的 ， f(x)f(x)圖形隨圖形隨 的減小而變高的減小而變高變窄變窄 xafxaf 0, xfxx或或 211 dxxfdxxfdxxfaa標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布誤差函數(shù)(P.473 附錄B) 定義 主要性質(zhì) erf(0)=0 erf()=1 erf(- )=-erf() 202yerfedy 2exp211, 022xxfa11( )()222xaF xerf補誤差函數(shù) 定義 主要性質(zhì) erfc(0)=1 erfc()=0 erfc(- )=2-erfc() dzeerferfcz2211( )1()22xaF xerfc 概率積分函

13、數(shù) 定義 Q函數(shù)的主要性質(zhì) Q(0)=1/2; Q()=0; Q(-）=1-Q()，0; 2212yQedy( )1()xaF xQ誤差函數(shù)和概率積分函數(shù)的關(guān)系 221Qerf2/21)(erfcQ 22Qerfc10.6 窄帶隨機過程定義帶寬B遠小于中心頻率fc的隨機過程為窄帶隨機過程。P ( ) c0- c c+ m- c- m- c+ m c- m 一般表達式 a(t)為(t)的包絡(luò)函數(shù)(t)為(t)的相位函數(shù) 窄帶隨機過程可以表示成兩個相互正交的分量之和 0cos tatttatc 正交分量正交分量同相分量同相分量ttatttattttttsccscc sincossincos 性質(zhì)

14、一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，它的同相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值都為零，方差也相同； 在同一時刻得到的同相分量c和正交分量s是不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的； 一個均值為零、方差為2的平穩(wěn)高斯窄帶過程，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，而相位的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，相位和包絡(luò)是統(tǒng)計獨立的。10.7 正弦載波加窄帶高斯過程 通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘柾ǔＪ且粋€正弦波作為載波的已調(diào)信號，信號經(jīng)過信道傳輸時總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機前端設(shè)置一個帶通濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是正弦波信號與窄帶噪聲的合成信號。這是通信系統(tǒng)中常

15、會遇到的一種情況，所以有必要了解合成信號的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性。設(shè)正弦波加窄帶高斯噪聲的合成信號為( )cos()( )cos() ( )cos( )sin cos( )cos sin( )sin( )cos( )cicccscccsccr tAtn tAtn ttn ttAn ttAn ttz ttt式中，分別為合成信號的隨機包絡(luò)和隨機相位。可以證明，正弦信號加窄帶高斯噪聲所形成的合成信號，具有如下統(tǒng)計特性：22( )cos( ) sin( )0csz tAn tAn tzsin( )( )arctancos( )scAn ttAn t正弦信號加窄帶高斯噪聲的隨機包絡(luò)服從廣義瑞利分布（也稱萊

16、斯（Rice）分布），即其包絡(luò)的概率密度函數(shù)為式中， 是 的方差， 為零階修正貝賽爾函數(shù)。x0時， 是單調(diào)上升函數(shù)，且有 。2202221( )exp() ()02zAzf zzAIz2( )in t0( )Ix0( )Ix0(0)1I deRPjo0ioPHP210.8 隨機過程通過線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)輸入輸入 i(t)()(iiPR輸出輸出 o(t)()(ooPR2)()(HRh平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機過程i(t)通過線性系統(tǒng)后,其輸出過程o(t)也是平穩(wěn)的,且高斯過程經(jīng)過線性變換后的過程仍為高斯過程。0( )(0)Eta H20()|() |()iPHP白噪聲若噪聲的功率譜密度P()在所有頻率上為一常數(shù),則稱為白噪聲.即白噪聲只有在=0點是相關(guān)的，而在任何兩個時刻上的隨機變量都是不相關(guān)的。 2)(0nP 20nR 20nP() 2on R 白噪聲通過理想低通濾波器傳遞函數(shù)功率傳遞函數(shù)輸出功率譜 其它其它0|)(0mtjd