立體幾何(第三講)

1、第三講：立體幾何第三講：立體幾何主講人：郭元偉主講人：郭元偉中考中考號碼：號碼：19572336411957233641高一高一號碼：號碼：24853372932485337293高二高二號碼：號碼：22495240192249524019高考高考號碼：號碼：221864004022186400407、三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當(dāng)點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。一、空間角一、空間角（一） 異面直線所成的角（二）直線與平面所成的角（三）二面角的平面角二、空間距離二、空

2、間距離（一）異面直線間的距離（二）點到直線的距離（三）點到平面的距離（四）直線與平面的距離（五）平面與平面間的距離一、空間角(一)異面直線所成的角求異面直線所成的角的常用方法：求異面直線所成的角的常用方法：1 1、平移法平移法（找特殊的點找特殊的點，平移一條或平移一條或兩條直線，常借助于中位線或平行四兩條直線，常借助于中位線或平行四邊形）邊形）2 2、向量法（略）向量法（略）3 3、引理：已知平面引理：已知平面的一條斜線的一條斜線 a a 與平面與平面所成的角所成的角為為1 1，平面，平面內(nèi)的一條直線內(nèi)的一條直線 b b 與斜線與斜線 a a 所成的角為所成的角為，與它的射影與它的射影 a a

3、所成的角為所成的角為2 2。求證：。求證：coscos= = coscos1 1coscos2 2。例 2、 如圖，在長方體中，已知，E、F、G 分別是棱的中點， 求異面直線 DE 與 GF 所成角的大小。解析：取的中點 ，連，則，由可知四邊形是正方形，則，即，又，故平面GBF，所以，即異面直線 DE 與 GF 所成角為。例 1： 直三棱柱 ABC111CBA中， 若BAC=090， AB=AC1AA，則異面直線1BA與1AC所成的角等于（C）A.030B.045C.060D.090例 3、 如圖，在長方體中，已知， 求異面直線與 AC 所成角的余弦值的大小。解析：在長方體的一旁補上一個全等的

4、長方體，連 BF、D1F，則 BF/AC，于是 BF 與 BD1所成的角（或其補角）即為 AC 與 BD1所成的角，如圖，設(shè)，在三角形中，由余弦定理得：注意到異面直線所成角的范圍是，故異面直線 BD1與AC 所成角的余弦值應(yīng)為。小結(jié)：一、先判斷這兩條異面直線是否垂直，如垂直則說明這兩條異面直線所成角為。二、若不垂直，可經(jīng)過如下幾個步驟求解：1. 恰當(dāng)選點，作兩條異面直線的平行線，構(gòu)造平面角；2. 證明這個角（或其補角）就是異面直線所成角；3. 解三角形（常用余弦定理），求出所構(gòu)造角 的度數(shù)；4. 給出答案， 若所求角為銳角， 即為異面直線所成角； 若所求角為鈍角，則其補角即為異面直線所成角。(

5、二)直線和平面所成的角法一：直接法法二：利用公式利用公式lh=sin法三：利用公式利用公式 coscos=cos=cos1 1coscos2 2法四：向量法（略）預(yù)備知識：直線和平面所成的角1 斜線和平面所成的角： 一個平面的斜線和它在這個平面內(nèi)的射影的夾角，叫做斜線和平面所成的角(或斜線和平面的夾角)2直線和平面所成的角的大小范圍是0，90當(dāng)0時，直線在平面內(nèi)或直線平行于平面；當(dāng)90時，直線垂直于平面；當(dāng) 090時，直線與平面斜交3最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的角4作法：作直線和平面所成的角，關(guān)鍵是作垂線，找射影補充：直線與

6、平面所成的角：(1)定義： 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和平面所成的角(2)直線和平面垂直直線與平面所成的角是直角(3)直線和平面平行或直線在平面內(nèi)直線與平面所成的角是所成的角是 0度的角射影定理：(1)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；(2)相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；1 1直接法直接法 ：通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的量，它可以起到聯(lián)系各線段的作用。例例 1 1（ 如圖 1 ） 四面體 ABCS 中， SA,SB,SC 兩兩垂直， SBA=45, SBC=60,M 為 A

7、B 的中點，求（1）BC 與平面 SAB 所成的角。（2）SC 與平面 ABC 所成的角。BMHSCA解:（1） SCSB,SCSA,SC平面 SAB 故 SB 是斜線 BC 在平面 SAB 上的射影，SBC 是直線 BC 與平面 SAB 所成的角為 60。（2） 連結(jié) SM,CM，則 SMAB,又SCAB,AB平面 SCM,面 ABC面 SCM過 S 作 SHCM 于 H,則 SH平面 ABCCH 即為 SC 在面 ABC 內(nèi)的射影。SCH 為SC與平面ABC所成的角。sin SCH=SHSCSC 與平面 ABC 所成的角的正弦值為77 7例 2： （2006浙江）如圖，在四棱錐 P-ABC

8、D 中，底面為直角梯形，ADBC，BAD=90，PA底面 ABCD，且 PA=AD=AB=2BC，M、N 分別為 PC、PB 的中點（）求證：PBDM；（）求 CD 與平面 ADMN 所成的角(正弦值)解： （I）因為 N 是 PB 的中點，PA=AB，所以 ANPB因為 AD平面 PAB，所以 ADPB，從而 PB平面 ADMN因為 DM平面 ADMN，所以 PBDM（II）取 AD 的中點 G，連接 BG、NG，則 BGCD， 所以 BG 與平面 ADMN 所成的角和 CD 與平面 ADMN 所成的角相等因為 PB平面 ADMN，所以BGN 是 BG 與平面 ADMN 所成的角在 RtBG

9、N 中，sinBGN=BN BG = 105 故 CD 與平面 ADMN 所成的角是 arcsin 105 2 2. . 利用公式利用公式lh=sin其中是斜線與平面所成的角， h是 垂線段的長，是斜線段的長， 其中求出垂線段的長 （即斜線上的點到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點，為此可用三棱錐的體積自等來求垂線段的長。例例 2 2長方體 ABCD-A1B1C1D1 ,AB=3 ,BC=2, A1A= 4，求 AB 與面 AB1C1D 所成的角。解：設(shè)點 B 到 AB1C1D 的距離為 h,VBAB1C1=VABB1C113SAB1C1h=13SBB1C1AB(底高轉(zhuǎn)換法解高)，易得 h=125設(shè)A

10、B 與 面 A B1C1D 所成的角為,則sin=hAB=45AB 與面 AB1C1D 所成的角為 sin= 45A1C1D1H4CB123BAD例 3： （2004陜西）三棱錐 P-ABC 中，側(cè)面 PAC 與底面 ABC 垂直，PA=PB=PC=3（1）求證 ABBC；（2）如果 AB=BC=32，求 AC 與側(cè)面 PBC 所成角的大小例 5： （2005浙江）如圖，在三棱錐 P-ABC 中，ABBC，AB=BC=kPA， 點 O、 D 分別是 AC、 PC 的中點， OP底面 ABC（） 當(dāng) k=1 /2 時， 求直線 PA 與平面 PBC 所成角的大??；（） 當(dāng) k 取何值時， O 在

11、平面 PBC 內(nèi)的射影恰好為PBC的重心？3.3.利用公式利用公式 coscos=cos=cos1 1coscos2 2（如圖3） 若 OA為平面的一條斜線，O為斜足，OB為OA在面內(nèi)的射影，OC為面內(nèi)的一條直線，其中為OA與OC所成的角，BOAC圖31為OA與OB所成的角，即線面角，2為OB與OC所成的角，那么cos=cos1cos2（自己證明） ，它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角（常稱為最小角定理）例例 3 3 已知直線 OA,OB,OC 兩兩所成的角為 60, ， 求直線 OA與 面 OBC 所成的角的余弦值。解：AOB=AOC OA 在面 O

12、BC 內(nèi)的射影在BOC 的平分線 OD 上，則AOD 即為 OA 與面 OBC 所成的角，可知DOC=30 ,cosAOC=cosAODcosDOCcos60=cosAODcos30 cosAOD= 33 OA 與 面 OBC 所成的角的余弦值為33。ODACB例 4（易） ：如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點E在棱PB上(1)求證：平面AEC平面PDB；(2)當(dāng)PD 2AB，且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小解析：(1)轉(zhuǎn)化為證明AC平面PDB；(2)AE與平面PDB所成的角即為AE與它在平面PDB上的射影所成的角(1)證明四邊形ABCD是正方形，A

13、CBD.PD底面ABCD，PDAC.又PDBDD，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)解設(shè)ACBDO，連接OE.由(1)知，AC平面PDB于點O，AEO為AE與平面PDB所成的角點O、E分別為DB、PB的中點，OEPD，且OE12PD.又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO.在 RtAOE中，OE12PD22ABAO，AEO45.即AE與平面PDB所成的角為 45.例 5(易)：已知在四棱錐ABCDP中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PA=AD=2，AB=1，BMPD 于點 M(I)求證：AMPD(II)求直線 CD 與平面 ACM 所成的角的余

14、弦值。 （33）總結(jié)： 求直線與平面所成的角，一般分為兩大步：(1)找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；(2)計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解練習(xí)(中)：如圖，已知DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分別為AE，AB的中點(1)證明：PQ平面ACD；(2)求AD與平面ABE所成角的正弦值(1)證明因為P，Q分別為AE，AB的中點，所以PQEB.又DCEB，因此PQDC，PQ 平面ACD，DC平面ACD，從而PQ平面ACD.(2)解如圖，連接CQ，DP.因為Q為AB的中點，且ACBC，所以CQAB.因為DC平面ABC，EBDC

15、，所以EB平面ABC.因此CQEB，又ABEBB，故CQ平面ABE.由(1)有PQDC，又PQ12EBDC，所以四邊形CQPD為平行四邊形，故DPCQ，因此DP平面ABE，DAP為AD和平面ABE所成的角，在 RtDPA中，AD 5，DP1，sinDAP55.因此AD和平面ABE所成角的正弦值為55.(三)二面角的平面角解法一：定義法解法二：三垂線法解法三：垂面法解法四：公式法解法五：補棱法解法六：向量法（略）預(yù)備知識：二面角的概念及平面角的作法1 二面角概念： 從空間一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角記為a，二面角有三個要素：兩個半平面和一條棱3二面角的平面角的作法有三種：(1)

16、定義法；(2)三垂線定理法；(3)直截面法(作與棱垂直的截面)4二面角的大小的取值范圍為(0，1805平面角是直角的二面角叫做直二面角6 兩個平面相交所成的二面角是直二面角時， 就說這兩個平面互相垂直7、三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當(dāng)點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。一、定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點） ，分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認(rèn)真觀察圖形的特性；例 1 在四棱錐 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，PA

17、=AB=a，求二面角 B-PC-D 的大小。?j?A?B?C?D?P?H例： （2011廣東）如圖，在錐體 P-ABCD 中，ABCD 是邊長為 1 的菱形，且DAB=60，PA=PD=2，PB=2，E，F(xiàn) 分別是 BC，PC 的中點（1）證明：AD平面 DEF（2）求二面角 P-AD-B 的余弦值例 2（2009 全國）如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD 底面ABCD，2AD ，2DCSD，點 M 在側(cè)棱SC上，ABM=60（I）證明：M 在側(cè)棱SC的中點（II）求二面角SAMB的大小。證（I）略解解（II） ：利用二面角的定義。在等邊三角形ABM中過點B作BFAM交AM于點

18、F，則點F為 AM 的中點，過 F 點在平面 ASM 內(nèi)作GFAM，GF 交 AS 于 G，連結(jié) AC，ADCADS，AS-AC，且 M 是 SC 的中點，AMSC， GFAM，GFAS，又F為 AM 的中點，GF 是AMS 的中位線，點 G 是 AS 的中點。則GFB即為所求二面角.2SM，則22GF，又6 ACSA，2AM2 ABAM，060ABMABM是等邊三角形，3BF在GAB中，26AG，2AB，090GAB，211423BG366232222113212cos222FBGFBGFBGFBFGFG練習(xí) 1（2008 山東）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面AB

19、CD，60ABC,E，F(xiàn)分別是BC,PC的中點.（）證明：AEPD;（）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為62，求二面角EAFC的余弦值.分析分析： 第 1 題容易發(fā)現(xiàn)， 可通過證 AEAD 后推出 AE平面 APD，使命題獲證，而第 2 題，則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計算出各線段的長度之后， 考慮到運用在二面角的棱 AF上找到可計算二面角的平面角的頂點 S， 和兩邊 SE 與 SC， 進(jìn)而計算二面角的余弦值。 （答案：二面角的余弦值為515）二、三垂線法：已知二面角其中一個面內(nèi)一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；例 3、在四棱錐 P-

20、ABCD 中，ABCD 是平行四邊形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，ABC=30， 求二面角P-BC-A 的大小。pABCDLH例： （2011重慶） 如圖， 在四面體 ABCD 中， 平面 ABC平面 ACD，ABBC，AC=AD=2，BC=CD=1（）求四面體 ABCD 的體積；（）求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值例： （2011重慶） 如圖， 在四面體 ABCD 中， 平面 ABC平面 ACD，ABBC，AC=AD=2，BC=CD=1（）求四面體 ABCD 的體積；（）求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值例 4、(2009 山東卷理) 如圖，在直四棱柱 ABCD-A1B

21、1C1D1中， 底面 ABCD 為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F 分別是棱 AD、AA1、AB 的中點。（1）證明：直線 EE1/平面 FCC1；（2）求二面角 B-FC1-C 的余弦值。證（1）略解（ 2 ）因為 AB=4, BC=CD=2, 、 F 是棱 AB 的中點,所以 BF=BC=CF,BCF 為正三角形,取 CF 的中點 O,則 OBCF,又因為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1平面 ABCD,所以 CC1BO,所以 OB平面CC1F,過 O 在平面 CC1F 內(nèi)作 OPC1F,垂足為 P,連接 BP,則OPB為二面角 B-FC

22、1-C 的一個平面角, 在BCF 為正三角形中,3OB 在 RtCC1F 中, OPFCC1F,11OPOFCCC F22122222OP ,在 RtOPF 中,22114322BPOPOB,272cos7142OPOPBBP,所以二面角B-FC1-C 的余弦值為77.練習(xí) 2（2008 天津）如圖，在四棱錐ABCDP 中，底面ABCD是矩形已知60,22, 2, 2, 3PABPDPAADAB（）證明AD平面PAB；（）求異面直線PC與AD所成的角的大?。唬ǎ┣蠖娼茿BDP的大小分析分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明 AD平面 PAB 后， 容易發(fā)現(xiàn)平面 PAB平面

23、ABCD， 點 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一個點，于是可過點 P 作棱 BD 的垂線， 再作平面 ABCD 的垂線， 于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角ABDP的大小為439arctan）三、垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；例 5 在四棱錐 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，求 B-PC-D 的大小。?j?A?B?C?D?P?H四、射影法：利用面積射影公式 S射S原cos,其中為平面角的大小，此方法

24、不必在圖形中畫出平面角；凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos斜射SS）求出二面角的大小。例 3 在四棱錐 P-ABCD 中，ABCD 為正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 與平面 PDC 所成二面角的大小。?l?A?B?C?D?P例 4 （2008 北京理）如圖，在三棱錐PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC（）求證：PCAB；（）求二面角BAPC的大?。唤猓?（）證略（）ACBC，APBP，APCBPC又PCAC，PCBC又90ACB，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC取AP中點E

25、連結(jié)BECE，ABBP，BEAPEC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，CEAPACE 是ABE 在平面 ACP 內(nèi)的射影，于是可求得：2222CBACAPBPAB，622AEABBE，2 ECAE則1222121CEAESSACE射，3622121EBAESSABE原設(shè)二面角二面角BAPC的大小為的大小為，則，則3331cos原射SS練習(xí) 4：如圖， E 為正方體 ABCDA1B1C1D1的棱 CC1的中點，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1所成銳角的余弦值. .分析分析平面 AB1E 與底面 A1B1C1D1交線即二面角的棱沒有給出，要找到二面角的平面角，則必須先作兩個平面的交線，這給解題

26、帶來一定的難度?？紤]到三角形 AB1E 在平面 A1B1C1D1上的射影是三角形 A1B1C1， 從而求得兩個三角形的面積即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值為 cos=32）.六、補棱法補棱法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱） ，然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決例 5、在四棱錐 P-ABCD 中，ABCD 為正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 與平面 PDC 所成二面角的大小。 （補形化為定義法）?P?Q?M?N?B?O?D?A

27、?B例 3（2008 湖南）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為 1的菱形，BCD60，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA2.（）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補充完整（延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.）再在完整圖形中的PF.上找一個適合的點形成二面角的平面角解之。 （）證略解: （）延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.過點A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在 RtABF中，因為BAF60，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰

28、 RtPAF中，取PF的中點G，連接AG.則AGPF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰 RtPAF中，22.2AGPA在 RtPAB中，練習(xí) 3 已知斜三棱柱 ABCA1B1C1的棱長都是 a，側(cè)棱與底面成600的角，側(cè)面 BCC1B1底面 ABC。（1）求證：AC1BC；（2）求平面 AB1C1與平面 ABC 所成的二面角（銳角）的大小。提示：本題需要補棱，可過 A 點作 CB 的平行線 L（答案：所成的二面角為 45O）例：多面體 ABCDE 中，ABC 為正三角形，ACED 為梯形，ADCE，ADAC，AD=

29、AC=2CE=2，BD=22（1）判斷直線 BD 與 AE 是否垂直，說明理由（2）求 E 點到平面 ABD 的距離（3）求平面 ABC 與平面 BDE 所成銳角二面角的大小練習(xí)：練習(xí)： 二面角二面角此類題主要是如何確定二面角的平面角，并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個合適的三角形中進(jìn)行求解.二面角是高考的熱點，應(yīng)重視.例例 5 5（易易） 如圖，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAP，直線CA和平面所成的角為30（I）證明BCPQ；（II）求二面角BACP的大小ABCQP思路： （I）在平面內(nèi)過點C作COPQ于點O，連結(jié)OB因為，PQ，所以CO，又因為CACB，所以O(shè)AO

30、B而45BAO，所以45ABO，90AOB，從而BOPQ，又COPQ，所以PQ平面OBC因為BC 平面OBC，故PQBC（II）解法一：由（I）知，BOPQ，又，PQ，BO，所以BO過點O作OHAC于點H，連結(jié)BH，由三垂線定理知，BHAC故BHO是二面角BACP的平面角由（I）知，CO，所以CAO是CA和平面所成的角，則30CAO，不妨設(shè)2AC ，則3AO ，3sin302OHAO在RtOAB中，45ABOBAO ，所以3BOAO，于是在RtBOH中，3tan232BOBHOOH故二面角小結(jié)小結(jié)： 本題是一個無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱， 進(jìn)而找出二面角的平面角.無棱二面角棱

31、的確定有以下三種途徑：由二面角兩個面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，補形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小.例例 6(中): 如圖， 在RtAOB中，6OAB， 斜邊4AB RtAOC可以通過RtAOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角BAOC的直二面角D是AB的中點（I）求證：平面COD 平面AOB；（II）求異面直線AO與CD所成角的大小思路啟迪思路啟迪： （II） 的關(guān)鍵是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi).解答過程解答過程：解法 1：

32、 （I）由題意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO 平面COD平面COD 平面AOB（II）作DEOB，垂足為E，連結(jié)CE（如圖） ，則，DEAOCDE是異面直線AO與CD所成的角在RtCOE中，2COBO，112OEBO，225CECOOE又132DEAO在RtCDE中，515tan33CECDEDE異面直線AO與CD所成角的大小為15arctan3二、空間距離距離的共性：這其中距離中，雖然定義不同，但總具有下列幾個特征： 1某距離是指相應(yīng)線段的長度； 2此線段是相關(guān)線段中最短的； 3除兩點間的距離外，其余總與垂直相聯(lián)系，由此

33、求距離的方法就有幾何法和代數(shù)等方法.求距離的一般步驟： 1找出或作出相關(guān)的距離； 2證明它符合定義； 3歸到某三角形或多邊形中計算; 4作答.二、空間距離（一）點到直線的距離（二）點到平面的距離（三）異面直線間的距離（四）直線與平面的距離（五）平面與平面間的距離(一)點到直線的距離： 一般用三垂線定理作出垂線再求解。例 4： 等邊三角形ABC的邊長為22，AD是BC邊上的高，將ABD沿AD折起，使之與ACD所在平面成120的二面角，這時A點到BC的距離是_（答：226） ；例 5：點 P 是 120的二面角-l-內(nèi)的一點，點 P 到、的距離分別是 3、4，則 P 到l的距離為_（答：2 393

34、） ；例（難） ：到正方體1111DCBAABCD的三條棱AB、1CC、11DA所在直線的距離相等的點（D）A.有且只有一個B.有且只有 2 個C.有且只有三個D.有無數(shù)個。（二）點到平面的距離（1）直接法：過點P作一平面與平面垂直，再過點P作兩平面的交線的垂線即可（2）等體積法（3）線面平行法：若過點P有一直線l平面，則直線l上的任一點到平面的距離等于到點P到平面的距離.（4） 線段比例轉(zhuǎn)化法： 平面的統(tǒng)一斜線上的兩點到該平面的距離與這兩點到斜足的距離成比例，運用此結(jié)論可轉(zhuǎn)化為另一點到該平面的距離.（5）向量法：法一、設(shè)n是平面的法向量，在內(nèi)取一點B,則A到的距離cosAB ndABn 法二

35、、 設(shè)AO于O,利用AO和點O在內(nèi)的向量表示， 可確定點O的位置，從而求出AO，即直接求垂線段的長度.點到平面的距離（1）直接法例如圖已知在正方體中，棱長為，求點到平面的距離分析:（法）在正方體 ABCD-ABCD中, AB= AD= AA,點 A在平面 ABD的射影是等邊ABD的外心,連接 AC、 BD交點 E，連接 AE，則 A在平面 ABD的射影 H 在中線 AE 上，由于等邊三角形 的“五心”合一，即 H 是重心，在 AE 的三等分點且靠近 E點，在等邊三角形 ABD中，AE=a223，AH=6在直角三角形 A中，AaAH33AA22即 A到平面 ABD的距離為a33（法） 由 AC

36、在平面 ABCD的射影為 AC， 而 ACDB，由三垂線定理（及逆定理）可知 ACDB，同理可證 ACAB、ACAD 。于是 AC面 ADB 即面 AACC面 ABD連接 AC 與 AE 交 H 點，由面面垂直的性質(zhì)定理可知 AH 的長即為所求。求解略。注：求點到面的距離的關(guān)鍵是證出或作出點到面的垂線段，確定垂線段要注意確定垂足位置和有正確的理論根據(jù)， 法 1 應(yīng)用斜線段相等，射影長也相等的結(jié)論，確定了射影的位置，法 2 應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)即過該點找一個平面與已知平面垂直， 則該點到交線的垂線段即為該點到面的垂線段。以下幾條結(jié)論常常作為尋找射影點的依據(jù):(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個平面

37、互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們交線的直線垂直于另一個平面。(2) 如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這個點在該平面內(nèi)的射影在這個角的角平分線所在的直線上。(3)經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線。設(shè)斜線和已知兩邊的夾角為銳角且相等，則這條斜線在這個平面的射影是這個角的角平分線。(4)若三棱錐的三條棱長相等，則頂點在底面上的射影是底面三角形的外心。(2)等積法如例 1，求 A到平面 ABD的距離可通過體積DBA- - -AD-AB-A-VV來求。即aaaaah2131222331aah33336評注：DBA- - -AD-AB-A-VV雖作為四面體沒有變， 但改變了觀察

38、角度，即把 ABD為底，以 A為頂點的三棱錐改為以ABCD為底以 A 為頂點的三棱錐，而這樣變化有時給求點面距離即棱錐的高帶來了很大便利。(3)線面平行法例 2 已知， 如圖正方形 ABCD 的邊長為 4， CG平面 ABCD，CG=2，E、F 分別是 AB、AD 的中點，求點 B 到平面 GEF 的距離。分析：連接 EG、EF、EF、BD、AC，AC 與 EF、BD 分別交與H、O，易證 BD面 GEF，即點 B 到面 GEF 的距離等于直線 BD 到面 GEF的距離，可證面 GCH面 GEF，在面 GCH 中過點 O 作 OKGH，垂足為 K，由面面垂直的性質(zhì)可知：OK面 GEF，即 OK

39、 為 BD 到面 GEF 的距離，也就是點 B 到面 GEF 的距離。在正方形 ABCD 中，邊長為4，CG=2，AC=24HO=2，HC=23在直角三角形HCG中HG=2222CGHCOK=11112HGGCHO即為點B到面GEF的距離。評注：本題首先利用線面的平行關(guān)系將點 B 到平面的距離轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離，然后利用面面垂直的性質(zhì)確定點到面的距離。例如圖已知在正方體中，棱長為，求點到平面的距離如圖所示，連結(jié)AC、A C、A C 、A B、AB，AC 交B D 于點E，連結(jié)AE交AC于點H，延長AC 至點G使得12C GA C ，連結(jié)CG。CB 平面AA B B 從而斜線A C在平面A

40、A B B 的射影為A B AB、AB為正方形AABB 對角線， ABAB，由三垂線定理知道ABAC。同理可以得到ADA C又ABADA ，AB 平面AB D ，AD 平面AB D A C平面AB D ， AH平面ABD ，即點H為A在平面ABD 的射影，AH的長度為所求/ /ACA C 即/ /ACEG，且1122EGECC GA CA CA CAC 四邊形ACGE為平行四邊形/ /AECG在A CG由等比性質(zhì)有（4）線段比例轉(zhuǎn)化法：平面的統(tǒng)一斜線上的兩點到該平面的距離與這兩點到斜足的距離成比例， 運用此結(jié)論可轉(zhuǎn)化為另一點到該平面的距離.析：若直線AB與平面交于點M，則點A、B到平面的距離之

41、比為:AM BM。特別地，當(dāng)M為AB中點時，A、B到平面的距離相等。例例 6 6（易易） ：長方體1111DCBAABCD 的棱cmAAcmADAB2,41，則點1A到平面11DAB的距離等于_（答：2 63） ；例例 7(7(中中) )：在棱長為 a 的正方體 ABCD-A1B1C1D1中，M 是 AA1的中點，則 A1到平面 MBD 的距離為_（答：66a） 。例 8(難)：如圖，正三棱柱111ABCABC的所有棱長都為2，D為1CC中點（）求證：1AB 平面1ABD；（）求點C到平面1ABD的距離考查目的：考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，

42、考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力解答過程解答過程：解法一： （）取BC中點O，連結(jié)AOABC為正三角形，AOBC正三棱柱111ABCABC中，平面ABC平面11BCC B，AO平面11BCC B連結(jié)1BO，在正方形11BBC C中，OD，分別為1BCCC，的中點，1BOBD，1ABBD在正方形11ABB A中，11ABAB，1AB平面1ABD（）1ABD中，11152 26A BDBDADABS，1BCDS在正三棱柱中，1A到平面11BCC B的距離為3設(shè)點C到平面1ABD的距離為d由11ABCDCA BDVV，得111333BCDA BDSSd，1322BCDA BDSdS點C到平面

43、1ABD的距離為22小結(jié)小結(jié)：解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.例 9（難） ：如圖，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是邊長為2 的正三角形，側(cè)棱A1A與AB、AC均成 45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F.(1)求點A到平面B1BCC1的距離；(2)當(dāng)AA1多長時，點A1到平面ABC與平面B1BCC1的距離相等.解：(1)BB1A1E，CC1A1F，BB1CC1BB1平面A1EF,即面A1EF面BB1C1C在 RtA1EB1中，A1B1E=45，A1B1=aA1E=22a,同理A1F=22a,又EF=a，A1E=22a

44、同理A1F=22a,又EF=aEA1F為等腰直角三角形，EA1F=90過A1作A1NEF，則N為EF中點，且A1N平面BCC1B1即A1N為點A1到平面BCC1B1的距離A1N=221a又AA1面BCC1B，A到平面BCC1B1的距離為2aa=2，所求距離為 2(2)設(shè)BC、B1C1的中點分別為D、D1，連結(jié)AD、DD1和A1D1，則DD1必過點N，易證ADD1A1為平行四邊形.B1C1D1D,B1C1A1NB1C1平面ADD1A1BC平面ADD1A1得平面ABC平面ADD1A1，過A1作A1M平面ABC，交AD于M，若A1M=A1N，又A1AM=A1D1N，AMA1=A1ND1=90AMA1

45、A1ND1,AA1=A1D1=3,即當(dāng)AA1=3時滿足條件.（三）異面直線間的距離（三）異面直線間的距離方法一：直接法方法二：間接法（轉(zhuǎn)換為點到平面距離；轉(zhuǎn)換為直線與平面間的距離；轉(zhuǎn)換為平面與平面間的距離）方法三：最值法方法四：公式法； （略）方法五：向量法； （略）(1)一異面直線與過另一異面直線且平行于第一條異面直線的平面之間的距離(2)分別過兩異面直線的兩個平行平面之間的距離用于兩條異面直線互相垂直情況若已知兩條異面直線互相垂直，那么可以尋找一個輔助平面，使它過其中一條直線且垂直于另一條直線，在輔助平面上，過垂足引前一條直線的垂線，就得到這兩條異面直線的公垂線，并求其長度例例 1 1 如

46、圖 1 所示正三棱錐 VABC 的底面邊長為 a， 側(cè)棱為b，求 AB 與 VC 的距離解解：在正三棱錐 VABC 中，AVCBVC，作 BEVC，連 AE，則 AEVC，且 AEBE，VC平面 AEBVCAB取 AB 中點 D，連 DE，則 DEAB，又 VCDEDE 是異面直線 AB 與 VC 的公垂線分析：分析：這樣求異面直線間距離就化為平面幾何中求點到直線的距離了作 VFBC，則有例例 4 4 如圖 4 所示，正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為 a，求 AC 與BC1的距離解：解：連接 A1C1，A1B，C1A，ACA1C1，AC平面 A1BC1，則求AC 與 BC1的距離轉(zhuǎn)化為求 AC 與其平行平面 A1BC1的距離也就是三棱錐 AA1BC1的高 h由上可知，等積法與作輔助平面法緊密相連，它是以輔助平面為底，與平面平行的另一條異面直線上某一點到該平面的距離為高組成一個三棱錐，若改變?nèi)忮F的底面易于求得三棱錐的體積， 便可利用等積法求出以輔助平面為底的三棱錐的高，即異面直線間的距離運用極值法求異面直線 a、b 的距離是先在 a(或 b)上取點 A，過 A 點作 ABb，設(shè)某一線段為 x，列出 AB 關(guān)于 x 的函數(shù)表達(dá)式 ABf(x)，求出 AB 的最小值，就是所求異面直線間的距離其理論依據(jù)是兩異面直線間的距離是連接兩直線中最短