數(shù)量關(guān)系—學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)量數(shù)量(shling)關(guān)系關(guān)系 第一頁，共28頁。四、利用坐標(biāo)作向量四、利用坐標(biāo)作向量(xingling)的線性運(yùn)算的線性運(yùn)算 一、向量一、向量(xingling)的概的概念念二、向量二、向量(xingling)的線性運(yùn)算的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量及其線性運(yùn)算 第七七章 第1頁/共28頁第二頁，共28頁。.a或表示法:向量(xingling)的模 :向量(xingling)的大小,21MM記作向量:(又稱矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量稱為向量向徑 (矢徑):自由向量

2、:與起點(diǎn)無關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為 1 的向量,.a或記作 a零向量:模為 0 的向量,.00或，記作有向線段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共28頁第三頁，共28頁。規(guī)定: 零向量與任何(rnh)向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反,則稱 a 與 b 平行, ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量,記作因平行(pngxng)向量可平移到同一直線上, 故兩向量(xingling)平行又稱 兩向量共線 .若 k (3)

3、個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此 k 個向量共面 .記作a ;機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共28頁第四頁，共28頁。1. 向量向量(xingling)的加法的加法三角形法則(fz):平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律 :交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 bbabbacba )()(cbacbaabcbacb)(cbacba )(aababa第4頁/共28頁第五頁，共28頁。機(jī)動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas第5頁/共28頁第六頁，共28頁。三角(snjio)不等式機(jī)動 目錄(m

4、l) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ab)( ab有時特別當(dāng),ab aa)( aababaabababa0baba第6頁/共28頁第七頁，共28頁。aa 是一個(y )數(shù) ,.a規(guī)定(gudng) :時，0，同向與aa,0時,0時.0a;aa;1aa可見;1aa;aa 與 a 的乘積是一個新向量, 記作，反向與aa總之:運(yùn)算律 :結(jié)合律)(a)( aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a則有單位向量.1aa因此aaa 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共28頁第八頁，共28頁。設(shè) a 為非零向量(xingling) , 則( 為唯一(wi y)實(shí)數(shù))證證: “ ”., 取 且再證數(shù) 的

5、唯一性 .則,0故.即abab設(shè) abba取正號, 反向時取負(fù)號, a , b 同向時則 b 與 a 同向,設(shè)又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共28頁第九頁，共28頁?！?”則,0 時當(dāng)例例1. 設(shè) M 為MBACD解解:ABCD 對角線的交點(diǎn),0時當(dāng)ba,0時當(dāng),aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第9頁/

6、共28頁第十頁，共28頁。xyz由三條互相(h xing)垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間(kngjin)直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點(diǎn) o ,o 坐標(biāo)面 卦限(八個)面xoy面yozzox面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共28頁第十一頁，共28頁。xyzo向徑 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;坐標(biāo)(zubio)面上的點(diǎn) A , B , C點(diǎn)點(diǎn) M特殊(tsh)點(diǎn)的坐標(biāo) :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(

7、yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo)坐標(biāo))原點(diǎn) O(0,0,0) ;rr機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 M第11頁/共28頁第十二頁，共28頁。坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)(zubio)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y機(jī)動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzo第12頁/共28頁第十三頁，共28頁。在空間(kngjin)直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn) M , ),(zyxM則沿三個坐標(biāo)軸方向(fngxing)的分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為此式稱為向量 r

8、 的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ixOA, jyOBkzOC第13頁/共28頁第十四頁，共28頁。設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 則ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 時當(dāng)aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行(pngxng)向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:，為實(shí)數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第14頁/共28頁第十五頁，共28頁。求解(qi ji)以向量為未知元的線性方程組ayx35byx23.211

9、,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得bax32)10, 1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第15頁/共28頁第十六頁，共28頁。在AB直線(zhxin)上求一點(diǎn) M , 使解解: 設(shè)設(shè) M 的坐標(biāo)的坐標(biāo)(zubio)為為, ),(zyx如圖所示ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及實(shí)數(shù)(shsh), 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOBOMOBOA(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共28頁第十七頁

10、，共28頁。得定比分(b fn)點(diǎn)公式:,121xx,121yy121zz,1時當(dāng)點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn)(zhn din) ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共28頁第十八頁，共28頁。1. 向量向量(xingling)的模與兩點(diǎn)間的距離公式的模與兩點(diǎn)間的距離公式222zyx),(zyxr 設(shè)則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理(u dn l)得),(111zyxA因AB得兩點(diǎn)間的距離公式:),(121212zzyyxx2

11、12212212)()()(zzyyxx對兩點(diǎn)與, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共28頁第十九頁，共28頁。)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點(diǎn)(dngdin)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第19頁/共28頁

12、第二十頁，共28頁。)7, 1 ,4(A等距解解: 設(shè)該點(diǎn)為, ),0,0(zM,BMAM因?yàn)?2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點(diǎn)為及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考(sko): (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡(guj)方程?(2) 如何求在空間(kngjin)與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?離的點(diǎn) . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共28頁第二十一頁，共28頁。(1) 設(shè)動點(diǎn)為, )0,(yxM利用(lyng),BMAM得,028814 yx(2) 設(shè)動點(diǎn)為, ),(zyxM利用(lyng),B

13、MAM得014947zyx且0z例例6. 已知兩點(diǎn))5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共28頁第二十二頁，共28頁。oyzx設(shè)有兩非零向量(xingling) ,ba任取空間(kngjin)一點(diǎn) O ,aOA作,bOBOAB稱 =AOB (0 ) 為向量 ba,的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角 , , rr稱為其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. 記作),(ba機(jī)動 目

14、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共28頁第二十三頁，共28頁。oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦(yxin)的性質(zhì):的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos機(jī)動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共28頁第二十四頁，共28頁。)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向(fngxing)余弦和方向(fngxing)角 . 解解:,21,23)20計(jì)算(j sun)向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21M

15、M21MM機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第24頁/共28頁第二十五頁，共28頁。解解: 已知作業(yè)作業(yè)(zuy) P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19角依次(yc)為,43求點(diǎn) A 的坐標(biāo) . ,43則222coscos1cos41因點(diǎn) A 在第一卦限 ,故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 . )3,23,3(向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 ,6AO且OAOAAO第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共28頁第二十六頁，共28頁。解解: 因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 設(shè),853kjim,742kjin求向量(xingling)pnma34在 x 軸上的投影(tuyng)及在 y軸上的分向量.13xa在