共線向量與共面向量及向量的分解

1、復(fù)習(xí)3 3 向量的數(shù)量乘法向量的數(shù)量乘法n定義（大小，方向）定義（大小，方向）n運(yùn)算規(guī)律（結(jié)合律、分配律）運(yùn)算規(guī)律（結(jié)合律、分配律）n向量的線性運(yùn)算方法與代數(shù)多項(xiàng)式的線性運(yùn)算方向量的線性運(yùn)算方法與代數(shù)多項(xiàng)式的線性運(yùn)算方法相同法相同n定比分點(diǎn)公式及推廣定比分點(diǎn)公式及推廣n應(yīng)用應(yīng)用4.1共線向量與共面向量1）必要性：取相應(yīng)的系數(shù)2）充分性：向量數(shù)乘的定義3）唯一性：同一法4 共線向量與共面向量共線向量與共面向量 ,.babaa b 定理1.4.1 向量 與非零向量 共線的充要條件是其中系數(shù) 被唯一確定證證充分性由向量的數(shù)乘定義可得。必要性,ba設(shè)(0),baa取ba當(dāng)與同向時(shí)取正值,ba當(dāng)與反向時(shí)

2、取負(fù)值,.ba即有ba 此時(shí)與同向.aa且.baba的唯一性.,ba設(shè)還存在使得 ，兩式相減，得()0,a00,.a，即注：分類考慮，結(jié)合定理1.4.1 0abab 定理1.4.2 向量 與 共線的充要條件是:存在不全為零的實(shí)數(shù) , 使得, ca bcaba b c 定理1.4.3 向量 與兩個(gè)不共線的向量共面的充要條件是:其中系數(shù) , 被 , ,唯一確定.:11.4.1, a b 分析)與定理的條件進(jìn)行比較,知道向量都是非零向量.0,00ca cb cabc ca b 2)必要性 考慮向量 的特殊性)顯然可得結(jié)論)與 (或 )共線,由定理1.4.1可得)與 ,都不共線,因?yàn)楣裁?利用向量加法

3、定義可得(作平行四邊形)3)充分性 分和兩種情況討論4)唯一性 同一法結(jié)合定理1.4.2注：與定理1.4.2的證明進(jìn)行比較, 0a b cabc 定理1.4.4 三個(gè)向量,共面的充要條件是:存在不全為零的實(shí)數(shù) ,使得1., ,5-3-20, ,A B COOAOB OCOAOBOCA B C 例 設(shè)三點(diǎn)關(guān)于 的位置向量,滿足,試證:三點(diǎn)共線.:, ,0A B CABBCABBC 分析三點(diǎn)共線2.,ABCDAC BDM NAB CD MN 例 設(shè)四面體中 對(duì)棱的中點(diǎn)分別為試證三個(gè)向量共面.DACBNM:, 0AB CD MNABCDMN 分析三個(gè)向量共面4.2 向量的分解121211221212

4、112212,nnnnnnnnna aaaaaa aaaa aaaaaaaa aa 定義1.4.1 由向量與數(shù)量所組成的向量稱為向量的線性組合. 當(dāng)向量 是向量的線性組合,即時(shí),我們稱 可以分解成向量的線性組12,naa aa 合,或稱向量 可以用向量線性表示., aba bcabcab 定理1.4.3 若給定兩個(gè)不共線的向量 與則與共面的任一向量 總可以分解成向量與 的線性組合,a ba ba b 當(dāng)在一平面上選定一對(duì)不共線的向量,將平面上任何向量關(guān)于進(jìn)行分解時(shí),我們稱為平面上向量的一對(duì)基本向量,簡(jiǎn)稱為基., , , +, , ,a b cda b cdabca b c d 定理1.4.5

5、設(shè)三個(gè)向量不共面 則對(duì)于空間任何向量 總可以分解成的線性組合,即其中系數(shù)被, 唯一確定,a b ca b ca b c 當(dāng)在空間選定三個(gè)不共面的向量,對(duì)空間的任何向量關(guān)于,進(jìn)行分解時(shí),我們稱,為空間向量的一組基本向量,簡(jiǎn)稱為基.由學(xué)生對(duì)照定理1.4.3的證明自行完成。3.,3,ABCOAa OBb OMMBOAON AMBNPAMBN OPab 例 如圖 設(shè)中與相交于點(diǎn) ,試將向量,分解成基本向量 與 的線性組合.abOABPMN.,ODOA OB OCODABCMOAa OBb OCcOMa b c 例4如圖已知是以為相鄰三棱的平行六面體的對(duì)角線與平面()交于點(diǎn)設(shè),試將向量分解成基本向量 ,

6、 ,的線性組合 并指出它的幾何意義.OACBMDcab小結(jié)4.1共線向量與共面向量1.1.共線共線2.2.共面共面0 ,.ba abaa b 與 ()共線( 被唯一確定)22 00abab與 共線(), ca bcaba b c 與不共線的向量共面( , 被 , ,唯一確定).222, 00a b cabc ,共面()練習(xí)P23 1，2作業(yè)P24 3，4 ， 5提示：5，類似例2的處理 例5 證明四面體對(duì)邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，且互相平分.DABCEFP1e1e2e31231231231123,.,.ABCDAB CDE FEFPP PP P PABe ACeADeAPe e e 證 設(shè)四面體一組對(duì)邊的中點(diǎn)的連線為它的中點(diǎn)為其余兩組對(duì)邊中點(diǎn)分別為下只需證三點(diǎn)重合就可以了取不共面的三向量先求用 ，線性表示的關(guān)系式),(211AFAEAP 連接連接AF，因?yàn)椋驗(yàn)锳P1是是AEF AEF 的中線，所以有的中線，所以有 又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳F是是ACD ACD 的中線，所以又有的中線，所以又有),(21)(2132eeADACAF ,21211eABAE 而而),(41)(