Chapter1 函數(shù)、極限與連續(xù)

1、引引 言言一、一、什么是高等數(shù)學(xué)什么是高等數(shù)學(xué) ?初等數(shù)學(xué)初等數(shù)學(xué) 研究對(duì)象為研究對(duì)象為常量常量,以靜止觀點(diǎn)研究問題以靜止觀點(diǎn)研究問題.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 研究對(duì)象為研究對(duì)象為變量變量,運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)進(jìn)入了數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)入了數(shù)學(xué).1. 分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ): 函數(shù)函數(shù) , 極限極限, 連續(xù)連續(xù)(上冊(cè)第一章上冊(cè)第一章） 2. 微積分學(xué)微積分學(xué): 一元微積分一元微積分(上冊(cè)第二、三章上冊(cè)第二、三章)4.無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)(下冊(cè)下冊(cè))3.向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何(下冊(cè)下冊(cè))二、二、 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 多元微積分多元微積分(下冊(cè)下冊(cè)) 任務(wù)任務(wù): :通過一年的學(xué)習(xí)通過一年的學(xué)習(xí), ,要牢固掌握要

2、牢固掌握基本概念、基基本概念、基本理論、基本計(jì)算方法本理論、基本計(jì)算方法; ;能熟練地用所學(xué)的方法去解決能熟練地用所學(xué)的方法去解決一些一些實(shí)際問題實(shí)際問題. .高等數(shù)學(xué)的高等數(shù)學(xué)的核心是微積分核心是微積分. . 上頁 下頁第一章分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對(duì)象研究對(duì)象 研究方法研究方法 研究橋梁研究橋梁函數(shù)、極限與連續(xù) 上頁 下頁 第一章 1.1.2 常量與變量常量與變量 1.1.3 函數(shù)的概念函數(shù)的概念 1.1.1 集合集合第1.1節(jié)函 數(shù) 1.1.4 函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì) 1.1.5 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)1.1.6 初等函數(shù)初等函數(shù) 上頁 下頁

3、一般以大寫的拉丁字母一般以大寫的拉丁字母A,B,C,M,X,等表示集合，等表示集合， 以小寫的拉丁字母以小寫的拉丁字母a,b,c,m,x,等表示集合的元素等表示集合的元素. a是集合是集合A的元素，讀作的元素，讀作a 屬于集合屬于集合 A，記作，記作 元素元素a不屬于集合不屬于集合A ，記作，記作1.1.1 集合集合一、集合的概念及運(yùn)算一、集合的概念及運(yùn)算.aA常用的數(shù)集及記號(hào)：常用的數(shù)集及記號(hào)：全體實(shí)數(shù)的集合全體實(shí)數(shù)的集合R= - xx 上頁 下頁.aAxOy平面上全體點(diǎn)組成的集合平面上全體點(diǎn)組成的集合: ( , ),2R x yxy 自然數(shù)集自然數(shù)集:,2, 1, 0Nn整數(shù)集合整數(shù)集合:

4、, 3, 2, 1,0,1,2,3,Z 有理數(shù)集有理數(shù)集: 正整數(shù)集正整數(shù)集:1,2,3,+Z 上頁 下頁qpQ p 與與 q 互質(zhì)互質(zhì)0,pZ qZ q,RyRxyxRR,),( (直積直積) )2. 集合之間的關(guān)系及運(yùn)算集合之間的關(guān)系及運(yùn)算若BA,AB 且則稱則稱 A 與與 B 相等相等,.BA 記作記作記作記作A是是 B 的的子集子集 , 或稱或稱 B 包含包含 A , .BA 上頁 下頁 子集子集 UUC AA交集交集 xBAAxBx且且差集差集 ABxAxBx且且余集或補(bǔ)集余集或補(bǔ)集(UC AUAU其中AABBBABA并集并集 xBAAxBx或或?yàn)槿癁槿┻\(yùn)算運(yùn)算 規(guī)律規(guī)律（交換

5、律，結(jié)合律，分配（交換律，結(jié)合律，分配律，對(duì)偶律）律，對(duì)偶律）開區(qū)間開區(qū)間閉區(qū)間閉區(qū)間二、區(qū)間與鄰域二、區(qū)間與鄰域 ),xba ,(xbabxa無限區(qū)間無限區(qū)間 ),xaxa ,(xb bx ),(x)(abox 上頁 下頁 ),(xbaaxbaxb ,xbaaxb半開區(qū)間半開區(qū)間 Rxoxab 有限區(qū)間有限區(qū)間 oxaoxb區(qū)間長(zhǎng)度區(qū)間長(zhǎng)度 兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離( (線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度) )例例1 用區(qū)間表示下列點(diǎn)集用區(qū)間表示下列點(diǎn)集.1(1)22,(2)0cos1,(3)12xxxx 上頁 下頁 ),(Uxa點(diǎn)點(diǎn)a 的的 鄰域鄰域其中其中 a 稱為鄰域中心稱為鄰域中心 , 稱為鄰

6、域半徑稱為鄰域半徑 .去心去心 鄰域鄰域左左 鄰域鄰域 :, ),(aa右右 鄰域鄰域 :. ),(aa)(aaa 上頁 下頁0 xa2. 鄰域鄰域 ( ,)ax xax axa1.1.2 常量與變量常量與變量常量常用常量常用a,b,c,等表示等表示,變量常用變量常用x, y, z , s, t, u, v,表示表示.1.1.3 函數(shù)的概念函數(shù)的概念1. 函數(shù)的定義函數(shù)的定義定義定義1. 設(shè)設(shè) x 和和 y 是兩個(gè)變量，數(shù)集是兩個(gè)變量，數(shù)集,RDD中每取定一個(gè)值時(shí)，中每取定一個(gè)值時(shí)，y 按照某種對(duì)應(yīng)法則按照某種對(duì)應(yīng)法則 f 總總有唯有唯一確定的值一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱與之對(duì)應(yīng)，則稱 y 是是

7、 x 的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作如果當(dāng)如果當(dāng)x在在 上頁 下頁定義域定義域Dxxfy, )(稱為值域稱為值域. ( , )( ),Gx y yf x xDxy) ,(baDabxy自變量自變量因變量因變量( ),Yy yf x xD稱為稱為函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形.若對(duì)于每一個(gè)若對(duì)于每一個(gè),xD與之對(duì)應(yīng)的與之對(duì)應(yīng)的y 值是唯一的，這值是唯一的，這種種函數(shù)稱為函數(shù)稱為單值單值函數(shù)函數(shù).之對(duì)應(yīng)，則稱為之對(duì)應(yīng)，則稱為多值多值函數(shù)函數(shù). 如果對(duì)應(yīng)于一個(gè)如果對(duì)應(yīng)于一個(gè)x值可以有兩個(gè)或兩個(gè)以上的值可以有兩個(gè)或兩個(gè)以上的y 值與值與 上頁 下頁如如：由方程：由方程 可確定可確定 y 是是x 的一個(gè)的一個(gè) 多值函多

8、值函稱為這個(gè)多值函稱為這個(gè)多值函數(shù)的數(shù)的兩個(gè)單值分支兩個(gè)單值分支.數(shù)數(shù).oxyRPQ 上頁 下頁222xyR2222yRxyRx 與 對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則 定義域定義域使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量集合集合.（定義域的兩種情況定義域的兩種情況）2 函數(shù)概念的兩要素函數(shù)概念的兩要素例例2 判斷下列各組中的函數(shù)是否為同一函數(shù)判斷下列各組中的函數(shù)是否為同一函數(shù). 上頁 下頁2221 lg2lg2 1cos(3)(4) ( )( )(5)1xxxxxxxf xf yx2（）與，（ ） 與sin與與與 求由解析式表示的函數(shù)的定義域時(shí)求由解析式表示的函數(shù)的定義域時(shí),常有以

9、下四常有以下四種情況種情況:(1) 分式中分母不能為零分式中分母不能為零;(2)偶次方根號(hào)下的表達(dá)式大于或等于零偶次方根號(hào)下的表達(dá)式大于或等于零;(3)幾類特殊函數(shù)特殊對(duì)待幾類特殊函數(shù)特殊對(duì)待,如對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于零如對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于零, (4)分段函數(shù)的定義域?yàn)楦鞫紊隙x域之并分段函數(shù)的定義域?yàn)楦鞫紊隙x域之并.例例3 求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域,并用區(qū)間表示并用區(qū)間表示. 22x11 y =(2)y =3-x +arctanx -3x +2x（） 上頁 下頁反正弦后面的表達(dá)式的絕對(duì)值小于或等于反正弦后面的表達(dá)式的絕對(duì)值小于或等于1, 如如, 絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)xyoxy xx

10、f)(0,xx0,xx定義域定義域 RD值域值域),0)(Df三三、函數(shù)表示方法函數(shù)表示方法 表格法表格法 圖示法圖示法 解析法解析法在定義域的不同部分在定義域的不同部分(互不相交互不相交)用不同的數(shù)學(xué)式子表用不同的數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)稱為示的函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù). 上頁 下頁例例4. 已知函數(shù)已知函數(shù) 1,110,2)(xxxxxfy求求 )(21f及及, )(1tf解解:21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2t時(shí)0t函數(shù)無定義函數(shù)無定義并寫出定義域及值域并寫出定義域及值域 . 定義域定義域 0,D 值值 域域 ( ) (0,)f D (再介紹幾個(gè)函數(shù)的例子再介紹幾個(gè)函數(shù)的例子) 上頁 下頁符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)xysg