高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性作業(yè)及答案1-4

1、 PAGE 15高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè) 1：第 1 章 函 數(shù)第 2 章 極限與連續(xù)（一） 單項(xiàng)選擇題下列各函數(shù)對中，（C）中的兩個(gè)函數(shù)相等A. f (x) ( x )2 ， g (x) xB. f (x) x2， g (x) xx 2 1C. f (x) ln x3 ， g(x) 3ln xD.f (x) x 1， g(x) x 1設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?(,) ，則函數(shù) f (x) f (x) 的圖形關(guān)于（C）對稱A. 坐標(biāo)原點(diǎn)B.C. y 軸D.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）x 軸y xy ln(1 x 2 )B. y x cos xa x a xC. y 2D.y ln(1 x)下列

2、函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C）A. y x 1B. y x 1 ,x 02y xy 1 ,x 0下列極限存計(jì)算不正確的是（D）x2lim 1x x 2 2lim ln(1 x) 0 x0lim sin x 0D. lim x sin 1 0 xxxx當(dāng) x 0 時(shí)，變量（C）是無窮小量sin x1x1xx sinD. ln(x 2)x若函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x 滿足（A），則 f (x) 在點(diǎn) x 連續(xù)。00A. lim f (x) f (xx x00)B. f (x) 在點(diǎn) x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義C. lim f (x) f (x )D. lim f (x) lim f (x)x x00（二

3、）填空題x x0 x x0 x 2 9函數(shù) f (x) ln(1 x)x 3的定義域是3,已知函數(shù) f (x 1) x 2 x ，則 f (x) x2-x11 lim(1 ) x e 2 x2x1若函數(shù) f (x) (1 x) x x k ,x 1 ,x 0,x 0 ，在 x 0 處連續(xù)，則 k ex 0函數(shù) y 的間斷點(diǎn)是 x 0 sin x ,x 0若 lim f (x) A ，則當(dāng) x xx x00（三）計(jì)算題設(shè)函數(shù)求： f (2) , f (0) , f (1) 時(shí)， f (x) A 稱為 x x 時(shí)的無窮小量。 0e x ,x 0f (x) x ,x 0解： f 2 2 ， f 0

4、0 ， f 1 e1 e2x 1求函數(shù) y lg 的定義域x2x 1 2x 1 0 x1DAROhE解： y lg 有意義，要求解得x 或x 0 xx 02x 0 x | x 0或x 1 則定義域?yàn)?在半徑為 R 的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)解：BC設(shè)梯形 ABCD 即為題中要求的梯形，設(shè)高為 h，即 OE=h，下底CD2R直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得OA2 OE2R2 h2AE 則上底 2AE 2 R2 h2R2 h2R2 h2h 故 S 2 2R 2lim sin 3xx0求sin 2x h R s

5、in3 x 3xsin3 xlim sin3 x lim3x lim3x 31 3 3 解： x0 sin 2xx0 sin 2x sin 2x2 122x0求 limx1x 2 1 sin(x 1) 2x 2x2xlimx2 1 lim (x 1)(x 1) limx 1 11 2解：x1sin( x 1)x1sin( x 1)x1sin( x 1)1x 1求lim tan 3xx0 x解：lim tan 3x lim sin3 x 1 lim sin3 x 1 3 1 1 3 31 x 2 1x0 xx0 xcos3 xlimx03xcos3 x1求1 x2 1x0limsin x( 1

6、x2 1)sin x lim ( 1 x2 1)( 1 x2 1) limx2解：x0sin xx0( 1 x2 1)sin xx0 x 1 limx0 (x1 x21)sin x x0 0 11 1x 3求lim() x x111x1(1)x(1) x 1x 1xxxxe1解： lim( ) lim(3 ) lim3 lim e 4x x 3x 1x (1)xx1 xe3xx(1 x )3 33 求lim x 2 6x 8x4 x 2 5x 4x2 6x 8x 4x 2x 24 22解： lim lim lim x4 x2 5x 4x4 x 4x 1x4 x 14 13設(shè)函數(shù)討論 f (x)

7、 的連續(xù)性。(x 2)2 ,x 1f (x) x , 1 x 1x 1 ,x 1解：分別對分段點(diǎn) x 1,x 1 處討論連續(xù)性（1）lim f x lim x 1x1lim fx1xx1limx1x 1 11 0所以 lim f x lim f x ，即 f x在 x 1 處不連續(xù)x1x1（2）lim f x lim x 22 1 22 1x1lim fx1 xx1 lim x 1x1f 1 1所以 lim f x lim f x f 1即 f x在 x 1 處連續(xù)x1x1由（1）（2）得 f x在除點(diǎn) x 1 外均連續(xù)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè) 2 答案：（一）單項(xiàng)選擇題第 3 章 導(dǎo)數(shù)與微分設(shè) f

8、(0) 0且極限limf (x)存在，則lim f (x) （C）x0 xx0 xA. f (0)B. f (0)C. f ( x)D. 0 cvx設(shè) f (x) 在 x 可導(dǎo)，則lim0h0f (x0 2h) f (x )02h （D）A. 2 f (x )B. f (x )00C. 2 f (x )D. f (x )00f (1 x) f (1)設(shè) f (x) e x ，則 limx0 x11 （A）A. eB. 2eC.2 eD. 4 e設(shè) f (x) x(x 1)(x 2)(x 99) ，則 f (0) （D）A. 99B. 99C. 99!D. 99!下列結(jié)論中正確的是（C）A. 若

9、 f (x) 在點(diǎn) x 有極限，則在點(diǎn) x 可導(dǎo) B. 若 f (x) 在點(diǎn) x 連續(xù)，則在點(diǎn) x 可導(dǎo)0000C. 若 f (x) 在點(diǎn) x 可導(dǎo)，則在點(diǎn) x 有極限 D. 若 f (x) 在點(diǎn) x 有極限，則在點(diǎn) x 連續(xù)0000（二）填空題x 2 sin 1 ,x 0設(shè)函數(shù)f (x) 0 ,xx 0，則 f (0) 0d f (ln x)2 ln x5設(shè) f (e x ) e2 x 5e x ，則d x。 xx曲線 f (x) 1在(1, 2) 處的切線斜率是 k 。x12曲線 f (x) sin x 在( 2 , 1) 處的切線方程是 y 1。設(shè) y x 2 x ，則 y 2x 2 x

10、 (1 ln x)設(shè) y x ln x ，則y 1x 。（三）計(jì)算題求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y ： y (x3)e xx 3xx 3331解: y xex xex (x 2 3)ex x 2 ex2 y cot x x 2 ln x解：y cot x x 2 ln x x 2 ln x csc2 x x 2x ln x y x 2ln xx 2解： y ln x x 2 ln 2 xln x 2x ln x xln 2 xcos x 2x y x3 解： y cos x 2xx3 cos x 2x x3 x3 2 x(sin x 2x ln 2) 3(cos x 2x )x4ln x x 2 y s

11、in x1sin x( 2x) (ln x x 2 ) cos x解： y ln x x 2sin x ln x x 2sin xx y x 4 sin x ln xsin 2 xsin 2 xy x 4 sin x ln x sin xln x 4x3 sin x cos x ln x解：xsin x x 2 y 3x 解： y sin x x23x sin x x2 3x 3x 2 3x (cos x 2x) (sin x x2 )3x ln 3 32 x y e x tan x ln x解： y ex tan x extan xln xex1 ex tan x cos2 xx求下列函數(shù)的

12、導(dǎo)數(shù) y ： y e x 1 11解： y e x e xx 2 e x2 x2 y lncos x解： y 1 sin x sin x tan xcos xcos y x x x 7 71解： y x 8 x 88 y sin 2 x解： y 2 sin xsin x 2 sin x cos x 2 sin 2x y sin x2解：y cos x2 2x 2x cos xy cose x2ye sinx2解：ex2 2xex2 sin ex2？ y sin n x cos nx解：y sin n x cos nx sin n xcos nx n sin n1 x cos x cos nx

13、n sin n x sin(nx)y 5sin x解： y 5sin x ln 5 cos x ln 5cos x5sin xy ecos xy ecos x sin x sin xecos x解：在下列方程中， y y( x) 是由方程確定的函數(shù)，求 y ： y cos x e2 yy s i nx解： ycos x y sin x 2e2 y yy c o sx 2e2 y y cos y ln xy sin y.yln x cos y. 1y c o sy解：2x sin y x 2yxx(1 s i ny l nx)解：2x cos y.y 2 sin y 2 yx x 2 yy(2x

14、 cos y x 2 ) 2 yx 2sin yy 2xy 2 y s i nyy 2y 2y 22xy 2 c o sy x 2 y x ln yy y 1y y解：yy 1 ln x e y y 2解：1 e yy 2 yyy x1x(2 y e y ) y 2 1 e x sin yex s i ny解： 2 yy ex cos y.y sin y.exy 2 y ex c o sy e y e x y 3x解： e y y ex 3y 2 yy ee y y 5x 2 y 3y 2解： y 5x ln 5 y2 y ln 2y 5x l n5 1 2 y l n2求下列函數(shù)的微分d y

15、 ：（注： dy ydx ） y cot x csc xy csc2 x csc x cot xdy ( 1cos x )dx解：ln xcos 2 xsin 2 x y sin x解： y 1 sin x ln x cos x xdy 1 sin x ln x cos xxdx y sin 2 xsin 2 xsin 2 x解： y 2sin x cos xdy 2sin x cos xdx y tan e x解： y sec2 ex exdy sec2 ex3 ex dx ex3 sec2 ex dx2求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：y y 1 x 1xy 1 1 x 3 1 x 3解：22 y 3

16、x2224解： y 3x ln 3y ln 3 3x ln 3 ln2 3 3x y ln x 解 ： y 1xy 1x 2 y x sin x解：y sin x x cos xy cos x cos x x sin x 2 cos x x sin x（四）證明題設(shè) f (x) 是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證 f ( x) 是偶函數(shù) 證：因?yàn)?f(x)是奇函數(shù) 所以 f (x) f (x)兩邊導(dǎo)數(shù)得： f (x)(1) f (x) f (x) f (x)所以 f ( x) 是偶函數(shù)。高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè) 3 答案：（一）單項(xiàng)選擇題f (x)第 4 章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (a , b)f ( ) f (b) f

17、 (a)若函數(shù)滿足條件（D），則存在，使得b aA. 在(a , b) 內(nèi)連續(xù)B. 在(a , b) 內(nèi)可導(dǎo)C. 在(a , b) 內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D. 在a , b內(nèi)連續(xù)，在(a , b) 內(nèi)可導(dǎo)函數(shù) f (x) x 2 4x 1 的單調(diào)增加區(qū)間是（D ）A. ( , 2)B. (1, 1)C. (2 , )D. (2 , )函數(shù) y x 2 4x 5 在區(qū)間(6 , 6) 內(nèi)滿足（A ）A. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升B. 單調(diào)下降C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降D. 單調(diào)上升函數(shù) f (x) 滿足 f (x) 0 的點(diǎn)，一定是 f (x) 的（C ）A. 間斷點(diǎn)B. 極值點(diǎn)C. 駐點(diǎn)D. 拐點(diǎn)設(shè) f (

18、x) 在(a , b) 內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)， x (a , b) ，若 f (x) 滿足（ C ），則 f (x) 在 x 取到極小值00A. f (x ) 0 , f (x ) 0B. f (x ) 0 , f (x ) 00000C. f (x ) 0 , f (x ) 0D. f (x ) 0 , f (x ) 00000設(shè) f (x) 在(a , b) 內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且 f (x) 0 , f (x) 0 ，則 f (x) 在此區(qū)間內(nèi)是（ A ）A. 單調(diào)減少且是凸的B. 單調(diào)減少且是凹的C. 單調(diào)增加且是凸的D. 單調(diào)增加且是凹的（二）填空題設(shè) f (x) 在(a , b) 內(nèi)

19、可導(dǎo)， x (a , b) ，且當(dāng)x x 時(shí) f (x) 0 ，當(dāng)x x 時(shí) f (x) 0 ，則x 是 f (x) 的0000極小值點(diǎn)若函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x 可導(dǎo)，且 x 是 f (x) 的極值點(diǎn)，則 f (x ) 0000函數(shù) y ln(1 x 2 ) 的單調(diào)減少區(qū)間是(,0) 函數(shù) f (x) e x2的單調(diào)增加區(qū)間是(0,)若函數(shù) f (x) 在a , b 內(nèi)恒有 f (x) 0 ，則 f (x) 在a , b 上的最大值是 f (a) 函數(shù) f (x) 2 5x 3x3 的拐點(diǎn)是0,2（三）計(jì)算題求函數(shù) y (x 1) (x 5)2 的單調(diào)區(qū)間和極值解：令 y x 52 (x

20、1) 2 (x 5) 3(x 5)(x 1)X(,1)1(1,5)5(5,) 駐點(diǎn)x 1, x 5y+00+y上升極大值32下降極小值 0上升列表：極大值： f (1) 32極小值： f (5) 0 xyy（0,1）+10（1,3）上升極大值 2下降求函數(shù) y x2 2x 3 在區(qū)間0 , 3 內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值 解：令： y 2x 2 0 x 1(駐點(diǎn)） ，列表：y x2 2x 3 x 12 2f (0) 3f (3) 6f (1) 2 極值點(diǎn)：f 1 2 最大值f (3) 6 最小值f (1) 2求曲線 y 2 2x 上的點(diǎn)，使其到點(diǎn) A(2 , 0) 的距離最短解： 設(shè)p(x

21、, y)是y 2 2x上的點(diǎn)，d 為 p 到 A 點(diǎn)的距離，則：(x 2)2 y 2d 令d (x 2)2 2x2(x 2) 22 (x 2)2 2xx 1(x 2)2 2x2 0 x 1 y y 2 2x上點(diǎn)(1,2)或1，-2 到點(diǎn)A(2,0)的距離最短。圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為 L ，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？ 解：設(shè)園柱體半徑為 R，高為 h，則體積V R 2 h (L2 h2 )h令： V h(2h) L2 h2 L2 3h2 0 L 3h3h L323R L當(dāng)h 3 , R 3L時(shí)其體積最大。23一體積為 V 的圓柱體，問底半徑與高各為多少時(shí)表面積最

22、??？解：設(shè)園柱體半徑為 R，高為 h，則體積V R 2hS表面積 2Rh 2R2 2 VR 2R2令： S 2VR 2 4R 0 V R3 R h V3 234V2V3 234V答：當(dāng) R h 時(shí)表面積最大。欲做一個(gè)底為正方形，容積為 62.5 立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最??？ 解：設(shè)底長為 x，高為 h。則：62.5 x 2 h h 62.5x 2250側(cè)面積為： S x 2 4xh x 2 x250令 S 2x 0 x 2 x3 125 x 5答：當(dāng)?shù)走B長為 5 米，高為 2.5 米時(shí)用料最省。（四）證明題當(dāng) x 0 時(shí)，證明不等式 x ln(1 x)證：在區(qū)間1,1 x上對函數(shù)

23、f x ln x應(yīng)用拉格朗日定理，有l(wèi)n1 x ln1 1 x1 1 x,故 1 1其中，于是由上式可得x ln(1 x)當(dāng) x 0 時(shí)，證明不等式e x x 1 證： 設(shè)f (x) ex (x 1)f (x) ex 1 0(當(dāng)x 0時(shí)）當(dāng)x 0時(shí), f (x)單調(diào)上升且f (0) 0 f (x) 0,即ex (x 1)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè) 4 答案：（一）單項(xiàng)選擇題f (x)第 5 章 不定積分第 6 章 定積分及其應(yīng)用1f (x) 若的一個(gè)原函數(shù)是，則x（D）ln x1x 212xD. x 3下列等式成立的是（D）A f (x)dx f (x)B. df (x) f (x) C.d f (

24、x)dx f (x)ddx f (x)dx f (x)若 f (x) cos x ，則 f (x)dx （B）A. sin x cB. cos x c sin x cD. cos x cd dx x 2 f (x 3 )dx （B）f (x3 )B. x 2 f (x3 )11C. 3 f (x)D.f (x3 )3x1若 f (x)dx F (x) c ，則f ( x )dx （B）A. F ( x ) cB. 2F ( x ) cxC. F (2 x ) cD.1 F ( x ) c下列無窮限積分收斂的是（D） 1A. 1dxB. x0ex dx1 dx1xdx11x 2（二）填空題函數(shù) f (x) 的不定積分是 f (x)dx 。若函數(shù) F (x) 與G(x) 是同一函數(shù)的原函數(shù)，則 F (x) 與G(x) 之間有關(guān)系式 F (x) G(x) c(常數(shù)）。 d e x2dx e x2。 (tan x)dx tan x c