信號(hào)的基函數(shù)表示法

1、X1.3 信號(hào)的基函數(shù)表示法 信號(hào)的表示方法信號(hào)的表示方法1、抽象符號(hào)：、抽象符號(hào)：f(t)、x(t)2、圖形表示：、圖形表示：3、解析表達(dá)式：、解析表達(dá)式：f1(t)=Asint，f2(t)=u(t)4、統(tǒng)一的形式：用一組、統(tǒng)一的形式：用一組基本的時(shí)間函數(shù)基本的時(shí)間函數(shù)的線性組合的線性組合基函數(shù)基函數(shù)nnntatf)()( 需要解決的問(wèn)題：需要解決的問(wèn)題：(1)選擇最佳基函數(shù)集選擇最佳基函數(shù)集n(t)(2)確定相應(yīng)的系數(shù)確定相應(yīng)的系數(shù)an函數(shù)之間具有函數(shù)之間具有正交性正交性、系數(shù)具有、系數(shù)具有終結(jié)性終結(jié)性( )f t0-1212X2VVe eVVcV 2121誤差矢量誤差矢量 )cos(21

2、1212VVVVc 2221222121221112)cos()cos(VVVVVVVVVVVVVVc 系數(shù)系數(shù)021 VV兩矢量正交兩矢量正交怎樣分解，能得到最小的誤差分量？怎樣分解，能得到最小的誤差分量？0 12 c即即方式不是惟一的：方式不是惟一的：表示，表示，用用21VV1211eVVcV 一矢量的正交分解eVVc 212222eVVc 1.4 正交函數(shù)1V2V21Vc1eV2eV22VceV212VcX正交分解空間空間中任一矢量可分解為中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。三方向矢量。 平面中任一矢量可分解為平面中任一矢量可分解為x,y二方向矢量。二方向矢量。一個(gè)三維空間矢量一個(gè)三

3、維空間矢量 ，必須用三個(gè)正交，必須用三個(gè)正交的矢量來(lái)表示，如果用二維矢量表示就會(huì)出現(xiàn)誤差：的矢量來(lái)表示，如果用二維矢量表示就會(huì)出現(xiàn)誤差：hzj yi xV 0 , hzVj yi xVeX二正交函數(shù) 表示，即表示，即用用內(nèi)，信號(hào)內(nèi)，信號(hào)在區(qū)間在區(qū)間tftfttt2121 )()(2121tfctf 誤差誤差 21d)(1)(22121222ttettfctftttf求得求得必需使必需使最小的最小的為求使為求使, 0dd , 122122 cc tftftftfttfttftfctttt(),(),(d)(d)()(22212221122121 稱稱為為正正交交函函數(shù)數(shù)，滿滿足足則則，若若)()

4、,(02112tftfc 0d)()(2121 ttftftt系數(shù)系數(shù)X三正交函數(shù)集任意信號(hào)任意信號(hào)f(t)可表示為可表示為n維正交函數(shù)之和：維正交函數(shù)之和： nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(原函數(shù)原函數(shù)近似函數(shù)近似函數(shù) )(),()(),( d)()(d)(d)()(2121212 tgtgtgtfKttgtfttgttgtfcrrrrttrttrttrr 相相互互正正交交：tgtgtgr21, jiKjittgtgittji, 0d)()(21r =0,1,2,.n基底函數(shù)基底函數(shù) 正交函數(shù)集正交函數(shù)集tgtgtgr21,信號(hào)的基函數(shù)表示

5、方法信號(hào)的基函數(shù)表示方法X理解rttrttrttrrKttgtfttgttgtfc 212121d)()(d)(d)()(2正交函數(shù)集規(guī)定：正交函數(shù)集規(guī)定： 所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交。所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交。 不能因一個(gè)函數(shù)集中某幾個(gè)函數(shù)相互正交就說(shuō)該不能因一個(gè)函數(shù)集中某幾個(gè)函數(shù)相互正交就說(shuō)該函數(shù)集是正交函數(shù)。函數(shù)集是正交函數(shù)。 是相互獨(dú)立的，互不影響，計(jì)算時(shí)先抽取是相互獨(dú)立的，互不影響，計(jì)算時(shí)先抽取哪一個(gè)都可以，非正交函數(shù)就無(wú)此特性。哪一個(gè)都可以，非正交函數(shù)就無(wú)此特性。 nccc,21此公式是個(gè)通式，適合于任何正交函數(shù)集。此公式是個(gè)通式，適合于任何正交函數(shù)集。X兩周期信號(hào)在兩周期信號(hào)在同一周期內(nèi)同一周

6、期內(nèi)(同區(qū)間內(nèi)同區(qū)間內(nèi))正交的條件是正交的條件是c12=0，即：，即： 總結(jié) 0d)()(21 Tttftf 兩個(gè)信號(hào)不正交，就有相關(guān)關(guān)系，必能分解出另一兩個(gè)信號(hào)不正交，就有相關(guān)關(guān)系，必能分解出另一信號(hào)。信號(hào)。對(duì)一般信號(hào)在給定區(qū)間正交，而在其他區(qū)間不一定對(duì)一般信號(hào)在給定區(qū)間正交，而在其他區(qū)間不一定滿滿足正交。足正交。正交矢量之間相互不包含分量正交矢量之間相互不包含分量X四.復(fù)變函數(shù)的正交特性jitgtgttgtgjittji 0)(),(d)()(21*iiittiiKtgtgttgtg )(),(d)()(21* 求求系系數(shù)數(shù)表表示示用用),(),2 , 1 , 0( ,)(tfnrtgr

7、的共軛的共軛為為)()(,d)()(d)()(2121tgtgttgtgttgtfcrrttrrttrr 則此復(fù)變函數(shù)集為則此復(fù)變函數(shù)集為正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 0d)()(d)()(21211221 ttttttftfttftf 滿足關(guān)系滿足關(guān)系內(nèi)，復(fù)變函數(shù)集內(nèi)，復(fù)變函數(shù)集若在區(qū)間若在區(qū)間nrtgttr, 2 , 1,21 內(nèi)內(nèi)相相互互正正交交的的條條件件是是兩兩復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間21,ttX五、完備正交函數(shù)集五、完備正交函數(shù)集交函數(shù)集，則稱函數(shù)集為完備正時(shí)，滿足當(dāng)1)()(rrrtgCtfn常用的完備正交函數(shù)集：常用的完備正交函數(shù)集：1、三角函數(shù)集、三角函數(shù)集,sin,2sin,

8、sin,cos,2cos,cos, 1111111tntttntt2、復(fù)指數(shù)函數(shù)集、復(fù)指數(shù)函數(shù)集, 111111122tjntjtjtjntjtjeeeeeeX序言 為了便于研究信號(hào)的傳輸和處理問(wèn)題，往往將為了便于研究信號(hào)的傳輸和處理問(wèn)題，往往將信號(hào)分解為一些簡(jiǎn)單信號(hào)分解為一些簡(jiǎn)單( (基本基本) )的信號(hào)之和，分解角度的信號(hào)之和，分解角度不同，可以分解為不同的分量不同，可以分解為不同的分量 直流分量與交流分量直流分量與交流分量 偶分量與奇分量偶分量與奇分量 脈沖分量脈沖分量 實(shí)部分量與虛部分量實(shí)部分量與虛部分量 正交函數(shù)分量正交函數(shù)分量 利用分形理論描述信號(hào)利用分形理論描述信號(hào)X一直流分量與

9、交流分量)()()(DAtftftf 平均值。平均值。：信號(hào)的直流分量，即：信號(hào)的直流分量，即tfD TttttfTtf00d)(1)(D信號(hào)的平均功率信號(hào)的平均功率 = = 信號(hào)的直流功率信號(hào)的直流功率 + + 交流功率交流功率)(tfEEOttt)(Atf)(DtfOO ttfTtfttftfTttfTPTttTttTttd)(1)(d)()(1d)(10000002A2D2AD2 X二偶分量與奇分量對(duì)任何對(duì)任何實(shí)實(shí)信號(hào)而言：信號(hào)而言：信號(hào)的平均功率信號(hào)的平均功率 = = 偶分量功率偶分量功率 + + 奇分量功率奇分量功率 odd :oeven :e: )(: )()()()(ooeeoe

10、oetftftftftftftftftf 奇分量奇分量偶分量偶分量 )()(21)(etftftf )()(21)(otftftf X tf t fO三脈沖分量, t當(dāng)當(dāng) , f脈高：脈高：, 脈寬：脈寬：1 1矩形窄脈沖序列矩形窄脈沖序列此窄脈沖可表示為此窄脈沖可表示為 )()( tutuf)()( tutu存在區(qū)間：存在區(qū)間：X出現(xiàn)在不同時(shí)刻的，出現(xiàn)在不同時(shí)刻的，不同強(qiáng)度的沖激函不同強(qiáng)度的沖激函數(shù)的和。數(shù)的和。疊加疊加可表示為許多窄脈沖的可表示為許多窄脈沖的到到從從)(,tf ）tutuf()()( ）tutuftf()()()( d)()()( tftf所以所以0 令令 tttututu

11、d)(d()(lim0） ,dX2 2連續(xù)階躍信號(hào)之和連續(xù)階躍信號(hào)之和 01111d)(d)(d)()0()(tttuttftuftf 將信號(hào)分解為沖激信號(hào)疊加的方法應(yīng)用很廣，將信號(hào)分解為沖激信號(hào)疊加的方法應(yīng)用很廣，后面的卷積積分中將用到，可利用卷積積分求系統(tǒng)后面的卷積積分中將用到，可利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。的零狀態(tài)響應(yīng)。 tf1t t1t 0f 11ttf 1tfOX四實(shí)部分量與虛部分量瞬時(shí)值為瞬時(shí)值為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的信號(hào)可分解為實(shí)虛部?jī)刹糠种?。的信?hào)可分解為實(shí)虛部?jī)刹糠种汀＜醇磳?shí)際中產(chǎn)生的信號(hào)為實(shí)信號(hào)，可以借助于復(fù)信號(hào)來(lái)實(shí)際中產(chǎn)生的信號(hào)為實(shí)信號(hào)，可以借助于復(fù)信號(hào)來(lái)研究實(shí)信號(hào)。研究實(shí)信

12、號(hào)。共軛復(fù)函數(shù)共軛復(fù)函數(shù))(j)()(irtftftf )(j)()(ir*tftftf )()(21)(*rtftftf )()(21)(j*itftftf X五正交函數(shù)分量 如果用正交函數(shù)集來(lái)表示一個(gè)信號(hào)，那么，組成如果用正交函數(shù)集來(lái)表示一個(gè)信號(hào)，那么，組成信號(hào)的各分量就是相互正交的。把信號(hào)分解為正交函信號(hào)的各分量就是相互正交的。把信號(hào)分解為正交函數(shù)分量的研究方法在信號(hào)與系統(tǒng)理論中占有重要地位，數(shù)分量的研究方法在信號(hào)與系統(tǒng)理論中占有重要地位，這將是本課程討論的主要課題。這將是本課程討論的主要課題。 我們將在第三章中開(kāi)始學(xué)習(xí)。我們將在第三章中開(kāi)始學(xué)習(xí)。 X六利用分形（fractal）理論描述信號(hào)分形幾何理論簡(jiǎn)稱分形理論或分?jǐn)?shù)維理論；分形幾何理論簡(jiǎn)稱分形理論或分?jǐn)?shù)維理論；創(chuàng)始人為創(chuàng)始人為B.B.Mandelbrot;分形是分形是“其部分與整體有形似性的體系其部分與整體有形似性的體系”；在信號(hào)傳輸與處理領(lǐng)域應(yīng)用分形技術(shù)的實(shí)例表現(xiàn)在在信號(hào)傳輸與處理領(lǐng)域應(yīng)用分形技術(shù)的實(shí)例表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：圖像數(shù)據(jù)壓縮、語(yǔ)音合成、地震信以下幾個(gè)方面：圖像數(shù)據(jù)壓縮、語(yǔ)音合成、地震信號(hào)或石油探井信號(hào)分析、聲納或雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)、通號(hào)或石油探井信號(hào)