中國(guó)古代數(shù)學(xué)的具體成就

1、中國(guó)古代數(shù)學(xué)的具體成就一、圓周率魏晉時(shí)，劉徽曾用使正多邊形的邊數(shù)逐漸增加去逼近圓周的方法（即“割圓術(shù)”），求得n的近似值3.1416。漢朝時(shí)，張衡得出n的平方除以16等于5/8，即n等於10的開(kāi)方（約為3.162）。雖然這個(gè)值不太準(zhǔn)確，但它簡(jiǎn)單易理解，所以也在亞洲風(fēng)行了一陣。王蕃（229-267）發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)圓周率值，這就是3.156，但沒(méi)有人知道他是如何求出來(lái)的。公元5世紀(jì)，祖沖之和他的兒子以正24576邊形，求出圓周率約為355/113，和真正的值相比，誤差小於八億分之一。這個(gè)紀(jì)錄在一千年后才給打破。二、割圓術(shù)所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)去無(wú)限逼近圓周并以此求取圓周率的方法。這

2、個(gè)方法，是劉徽在批判總結(jié)了數(shù)學(xué)史上各種舊的計(jì)算方法之后，經(jīng)過(guò)深思熟慮才創(chuàng)造出來(lái)的一種嶄新的方法。中國(guó)古代從先秦時(shí)期開(kāi)始，一直是取“周三徑一”（即圓周周長(zhǎng)與直徑的比率為三比一）的數(shù)值來(lái)進(jìn)行有關(guān)圓的計(jì)算。但用這個(gè)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果，往往誤差很大。正如劉徽所說(shuō)，用“周三徑一”計(jì)算出來(lái)的圓周長(zhǎng)，實(shí)際上不是圓的周長(zhǎng)而是圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)，其數(shù)值要比實(shí)際的圓周長(zhǎng)小得多。東漢的張衡不滿(mǎn)足于這個(gè)結(jié)果，他從研究圓與它的外切正方形的關(guān)系著手得到圓周率。這個(gè)數(shù)值比“周三徑一”要好些，但劉徽認(rèn)為其計(jì)算出來(lái)的圓周長(zhǎng)必然要大于實(shí)際的圓周長(zhǎng)，也不精確。劉徽以極限思想為指導(dǎo)，提出用“割圓術(shù)”來(lái)求圓周率，既大膽創(chuàng)新，又嚴(yán)密論

3、證，從而為圓周率的計(jì)算指出了一條科學(xué)的道路。劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.14和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值。這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確的數(shù)據(jù)。劉徽把“割圓術(shù)”推廣到有關(guān)圓形計(jì)算的各個(gè)方面，從而使?jié)h代以來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)展大大向前推進(jìn)了一步。以后到了南北朝時(shí)期，祖沖之在劉徽的這一基礎(chǔ)上繼續(xù)努力，終于使圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)以后的第七位。在西方，這個(gè)成績(jī)是由法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)于1593年取得的,比祖沖之要晚了一千一百多年。祖沖之還求得了圓周率的兩個(gè)分?jǐn)?shù)值，一個(gè)是“約率”，另一個(gè)是“密率”.，其中這個(gè)值，在西方是由德國(guó)的奧托和荷蘭的安東尼茲在16世紀(jì)末才

4、得到的，都比祖沖之晚了一千一百年。公元263年，中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注中提出“割圓”之說(shuō)，他從圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始，每次把邊數(shù)加倍，直至圓內(nèi)接正96邊形，算得圓周率為3.14或157/50，后人稱(chēng)之為徽率。書(shū)中還記載了圓周率更精確的值3927/1250（等于3.1416）。劉徽斷言“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”。其思想與古希臘窮竭法不謀而合。割圓術(shù)在圓周率計(jì)算史上曾長(zhǎng)期使用。1610年德國(guó)數(shù)學(xué)家柯倫用2A62邊形將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后35位。1630年格林貝爾格利用改進(jìn)的方法計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后39位，成為割圓術(shù)計(jì)算圓周率的最好結(jié)果。分析方法發(fā)明后逐漸取代了

5、割圓術(shù)，但割圓術(shù)作為計(jì)算圓周率最早的科學(xué)方法一直為人們所稱(chēng)道。三、十進(jìn)位值制記數(shù)法這是我國(guó)古代勞動(dòng)人民一項(xiàng)非常出色的創(chuàng)造。十進(jìn)，就是以十為基數(shù)，逢十進(jìn)一位位值這個(gè)數(shù)學(xué)概念的要點(diǎn)，在于使同一數(shù)字符號(hào)因其位置不同而具有不同的數(shù)值。例如同樣是2，在十位就是20，在百位就是200；又如4676這個(gè)數(shù)，同一個(gè)6在右數(shù)第一位表示的是個(gè)位的6，在右數(shù)第三位則表示600。我國(guó)自有文字記載開(kāi)始，記數(shù)法就遵循十進(jìn)制了。商代的甲骨文和西周的鐘鼎文，都是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬(wàn)等字的合文來(lái)記10萬(wàn)以?xún)?nèi)的自然數(shù)。這種記數(shù)法已含有明顯的位值制意義，只要把千、百、十和又的字樣取消，便和位值制記數(shù)

6、法基本一樣了。十進(jìn)位值制記數(shù)法給計(jì)算帶來(lái)了很大的便利，對(duì)我國(guó)古代計(jì)算技術(shù)的高度發(fā)展產(chǎn)生了重大影響。它比世界上其他一些文明發(fā)生較早的地區(qū)，如古巴比倫、古埃及和古希臘所用的計(jì)算方法要優(yōu)越得多。印度則一直到公元6世紀(jì)還用特殊的記號(hào)表示二十、三十、四十,等十的倍數(shù)，7世紀(jì)時(shí)才有采用十進(jìn)位值制記數(shù)法的明顯證據(jù)。十進(jìn)位值制記數(shù)法，是我們祖先對(duì)人類(lèi)文明的一項(xiàng)不可磨滅的貢獻(xiàn)。馬克思稱(chēng)贊它是“最妙的發(fā)明之一”。英國(guó)著名科技史專(zhuān)家李約瑟博士評(píng)價(jià)說(shuō)：“如果沒(méi)有這種十進(jìn)位制，就幾乎不可能出現(xiàn)我們現(xiàn)在這個(gè)統(tǒng)一化的世界了?！彼摹⑺憬?jīng)十書(shū)在中國(guó)古代算書(shū)中，周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、孫子算經(jīng)、五曹算經(jīng)、夏侯陽(yáng)算經(jīng)、孫丘建算經(jīng)、海島

7、算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)、綴術(shù)、緝古算機(jī)等10部算書(shū)，被稱(chēng)為“算經(jīng)十書(shū)”。其中闡明“蓋天說(shuō)”的周髀算經(jīng)，被人們認(rèn)為是流傳下來(lái)的中國(guó)最古老的既談天體又談數(shù)學(xué)的天文歷算著作。它大約產(chǎn)生于公元前2世紀(jì)，但它所包含的史料，卻有比這更早的。其中提到的大禹治水時(shí)所應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，成為現(xiàn)存文獻(xiàn)中提到最早使用勾股定理的例子。五、勾股定理?yè)?jù)周髀算經(jīng)記載：“故折矩以為句廣三，股四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤(pán)，得三、四、五。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也?！边@段話(huà)的意思是：將矩的兩直角邊加以折算成一定的比例，短直角邊長(zhǎng)（句）3，長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)（股）4，弦就等于5，得成3、4、5（如右圖）

8、。句（即勾）、股平方之和為25，這稱(chēng)為積矩。大禹所用的治天下（指治水）的方法，就是從這些數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展出來(lái)的。在世界數(shù)學(xué)史上，一般把勾股定理歸功于公元前5世紀(jì)左右發(fā)現(xiàn)它的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，因?yàn)樗岢隽硕ɡ淼囊话阈问降臄⑹龊妥C明，我國(guó)則稍晚。但實(shí)際上，商高關(guān)于勾股定理的認(rèn)識(shí)，要比畢達(dá)哥拉斯早得多。周髀算經(jīng)成書(shū)于公元前2世紀(jì)左右，所記載的周公與商高問(wèn)答的事是在公元前11世紀(jì)左右。這個(gè)事實(shí)證明我國(guó)古代數(shù)學(xué)家獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用了勾股定理的一般情形，要比外國(guó)早得多。六、（測(cè)高、深、遠(yuǎn)的方法）測(cè)量太陽(yáng)高度陳子是周代的天文算學(xué)家，榮方是當(dāng)時(shí)天文算學(xué)家的愛(ài)好者。在陳子教給榮方的各種數(shù)據(jù)計(jì)算的具體方法中，我們

9、可以發(fā)現(xiàn)在二千六七百年前，我國(guó)對(duì)勾股定理的應(yīng)用已達(dá)到十分熟練的程度。陳子測(cè)量太陽(yáng)高度的方法可敘述為：當(dāng)夏至太陽(yáng)直射北回歸線時(shí)，在北方立一8尺高的標(biāo)竿，觀其影長(zhǎng)為6尺。然后，測(cè)量者向難移動(dòng)標(biāo)竿，每移動(dòng)1000里，標(biāo)竿的影長(zhǎng)就減少1寸。據(jù)此可設(shè)想，當(dāng)標(biāo)竿的日影減少六尺，則標(biāo)竿就向南移動(dòng)了60000里，而此時(shí)標(biāo)竿恰在太陽(yáng)的正下方。據(jù)勾股定理和相似形原理可算得：測(cè)量者與太陽(yáng)的距離為10萬(wàn)里。據(jù)記載，古希臘第一個(gè)自然哲學(xué)家泰勒斯也曾利用日影測(cè)出金字塔的高。他的方法是由一根立竿的影長(zhǎng)和同時(shí)測(cè)得的金字塔的影長(zhǎng)算出了金字塔的高度。泰勒斯被稱(chēng)為西方的“測(cè)量之祖”。泰勒斯的這一工作與陳子的工作大致在相同的時(shí)期，然

10、而陳子的方法要比泰勒斯的方法水平高得多，泰勒斯只利用到相似三角形的知識(shí)，而陳子除了能利用相似三角形的性質(zhì)外，還能熟練地運(yùn)用勾股定理。七、祖沖之、祖暅父子他們著重進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理，在前人劉徽九章算術(shù)注的基礎(chǔ)上前進(jìn)了一步。根據(jù)史料記載，其著作綴術(shù)（已失傳）取得如下成就：圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位，得到3.1415926n3.1415927，并求得n的約率為22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以?xún)?nèi)的最佳值；歐洲直到16世紀(jì)德國(guó)人鄂圖（Otto）和荷蘭人安托尼茲（Anthonisz）才得出同樣結(jié)果。祖暅在劉徽工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球體體積公式，并提出二立體等高處截面積相等則二

11、體體積相等（“冪勢(shì)既同則積不容異”）定理；歐洲17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理。祖氏父子同時(shí)在天文學(xué)上也有一定貢獻(xiàn)。八、等間距二次內(nèi)插公式。隋唐時(shí)期的主要成就在于建立中國(guó)數(shù)學(xué)教育制度，這大概主要與國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)10部數(shù)學(xué)著作。所以當(dāng)時(shí)600年，隋代劉焯在制訂唐代僧一行在其大衍歷館及科舉制度有關(guān)。在當(dāng)時(shí)的算學(xué)館算經(jīng)十書(shū)成為專(zhuān)用教材對(duì)學(xué)生講授。算經(jīng)書(shū)收集了周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、海島算經(jīng)等的數(shù)學(xué)教育制度對(duì)繼承古代數(shù)學(xué)經(jīng)典是有積極意義的。公元皇極歷時(shí)，在世界上最早提出了等間距二次內(nèi)插公式；中將其發(fā)展為不等間距二次內(nèi)插公式。九、秦九韶的高次方程數(shù)值解法秦九韶是南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家。1247年，他在數(shù)書(shū)九章中將“增乘開(kāi)方法”加以推廣，論述了高次方程的數(shù)值解法，并且例舉20多個(gè)取材于實(shí)踐的高次方程的解法（最高為十次方程）。16世紀(jì)意大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶還對(duì)一次同余式理論進(jìn)行過(guò)研究。十、楊輝三角和剁積術(shù)公元1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在詳解九章算法中用“垛積術(shù)”求出幾類(lèi)高階等差級(jí)數(shù)之和。公元1274年他在乘除通變本