概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：14-4 限維概率分布

1、 三.有限維概率分布 馬爾可夫鏈X(t),t= t0, t0, t0, 在初始時(shí)刻t0的概率分布：稱(chēng)為初始分布.初始分布與轉(zhuǎn)移概率完全地確定了馬爾可夫鏈的任何有限維分布. Pj(t0) = PjX(t0)=j, j=0,1,2, 定理：設(shè)齊次馬爾可夫鏈 X(n),n= 0, 1, 2, 的狀態(tài)空間 S= 0, 1, 2, , i, 則對(duì)任意 n 個(gè)非負(fù)整數(shù)k1 k2 kn和S內(nèi)的任意n個(gè)狀態(tài)j1, j2, , jn ,有證由概率的乘法公式和馬爾可夫性由全概率公式,上式等號(hào)右端第一因式化為證畢于是得到例6在本節(jié)例5中,設(shè)初始時(shí)輸入0和1的概率分別為1/3和2/3,求第2、3、6步都傳輸出1的概率

2、.解由題設(shè)知故馬爾可夫鏈在任何時(shí)刻 tn 的一維概率分布又稱(chēng)為絕對(duì)概率,或稱(chēng)為瞬時(shí)概率.由全概率公式得如果馬爾可夫鏈具有齊次性,那么上式化為由上式遞推得到式中t0是初始時(shí)刻.寫(xiě)成向量形式得n步轉(zhuǎn)移概率矩陣 上式表明:齊次馬爾可夫鏈在時(shí)刻tn的瞬時(shí)概率完全地由初始分布和 n步轉(zhuǎn)移概率所確定. 例7本節(jié)例2中,設(shè)質(zhì)點(diǎn)在初始時(shí)刻 t0恰處在狀態(tài)2, 試求在t2時(shí)刻,質(zhì)點(diǎn)處在各個(gè)狀態(tài)的概率.即：已知：=(0,0,1,0,0)故：=(0,0,1,0,0)或者(解2)四.平穩(wěn)分布如果一維分布 pj (tn)與 tn無(wú)關(guān),即：此時(shí)：對(duì)于齊次馬爾可夫鏈即：定義4 對(duì)于齊次馬爾可夫鏈X(t),t= t0, t1

3、, t2, ,如果存在概率分布 pj ,j=0,1,2, 滿(mǎn)足則稱(chēng)pj ,j=0,1,2, 為平穩(wěn)分布,于是有稱(chēng)X(t)具有平穩(wěn)性,是平穩(wěn)齊次馬爾可夫鏈.即：另外有： 此時(shí)：定理 如果齊次馬爾可夫鏈X(t),t= t0, t1, t2, ,的初始分布 是一個(gè)平穩(wěn)分布,則 設(shè)齊次馬爾可夫鏈 X(n),n= 0, 1, 2, 的轉(zhuǎn)移概率矩陣為例8 且初始概率分布為(1)求(2)求(3)求平穩(wěn)分布解(1)(2)(3)平穩(wěn)分布(P1,P2,P3)滿(mǎn)足即：解之得故平穩(wěn)分布為帶一個(gè)反射壁的一維隨機(jī)游動(dòng),以 X(tn) =j表示在時(shí)刻 tn粒子處于j狀態(tài),狀態(tài)空間S=0,1,2, ,j,轉(zhuǎn)移概率求平穩(wěn)分布 例9 解根據(jù)題設(shè)條件，知轉(zhuǎn)移概率矩陣平穩(wěn)分布應(yīng)滿(mǎn)足轉(zhuǎn)移概率即應(yīng)滿(mǎn)足由(1)得(4),由(2)得得到(5