1079高等代數(shù)專(zhuān)題研究-國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2020年1月至2020年7月期末考試試題及答案（202001-202007共2套）

1、試卷代號(hào)：1079 座位號(hào)口口國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2 01 9年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試高等代數(shù)專(zhuān)題研究試題（半開(kāi)卷） r2020年1月一、單項(xiàng)選擇題本題共20分，每小題4分）1設(shè)，f(x)在有理數(shù)域Q內(nèi)不可約，則( ) Af(x)在實(shí)數(shù)域內(nèi)一定不可約 B. f(x)在復(fù)數(shù)域內(nèi)一定可約 Cf(x)在實(shí)數(shù)域內(nèi)一定可約 D以上說(shuō)法都不正確2若向量組1，r，與1，s均線性無(wú)關(guān)，則向量組1，r，1，s ( ) A一定線性無(wú)關(guān) B一定線性相關(guān) C不一定線性無(wú)關(guān) D以上說(shuō)法都不對(duì)3矩陣A與B相似的充分必要條件是( ) A.A與B的特征多項(xiàng)式相等 BA與B的行列式相等 CA與B的秩相等 D. 存在可逆矩陣丁，使T-1A

2、T=B4實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是( ) A實(shí)數(shù) B零或純虛數(shù) C非零實(shí)數(shù) D模為1的復(fù)數(shù)5線性空間V上的雙線性函數(shù)f(，)在不同基下的度量矩陣( ) A相似 B相合 C正交相似 D. 相等二、填空題（本題共20分每小題4分）6當(dāng)a= ，b=_時(shí)，x2+1l x3+ax+b.7全體正實(shí)數(shù)的集合R+對(duì)于下面定義的加法與標(biāo)量乘法：ab=ab，k a= ak構(gòu)成R上的線性空間，則R+的零向量力_8線性變換A的屬于不同特征值的特征向量一定是_ 的9第二類(lèi)正交矩陣的行列式的值等于_10若A為正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則A的主對(duì)角線上的元素全為_(kāi)三、計(jì)算題（本題共45分，每小題15分）11求多項(xiàng)式，f(x)=x4 -5

3、x3+11x2-16x+12的有理根12求A=122212221的特征值和特征向量13.已知1=(1，1，0)，2=(1，0，1)，3=(l1，0，0)是歐氏空間R3的一組基，請(qǐng)用施密特正交化方法求R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.四、證明題（本題15分）14設(shè)A，B都是n階正定對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：A+B也是正定對(duì)稱(chēng)矩陣試卷代號(hào)：1079國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2 0 1 9年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試高等代數(shù)專(zhuān)題研究試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（半開(kāi)卷）（供參考） 2020年1月一、單項(xiàng)選擇題（本題共20分，每小題4分） 1D 2C 3D 4A 5B二、填空題（本題共20分，每小題4分） 6=1，b=0 7. 1 8線性無(wú)關(guān) 9-1

4、10正三、計(jì)算題（本題共45分，每小題lo分） 11解：因?yàn)閍4=1，a0=12，所以方程可能的有理根是1，2，3，4，6，12. （3分） 因?yàn)閒(1)0,f (-2)0，(3)0，f(4)0，f(6)0，f(12)0，故1，-2，3，4，6，12都不是根 (8分) 而f(2)=0，故2是f(x)的根 （12分） 用綜合除法驗(yàn)證，2是f(x)的二重根 （15分） 12解：A的特征多項(xiàng)式 A=E-A=-1-2-2-2-1-2-2-2-1=+12(-5) 所以A的特征值是-1，-1和5 （7分） 當(dāng)=-1時(shí)，解齊次線性方程組(-E-A)X=0，得基礎(chǔ)解系 110-1，201-1 因此，屬于-1的

5、全部特征向量為k11+k22，k1，k2是不全為零的全部數(shù)對(duì)（11分） 當(dāng)=5時(shí)，解齊次線性方程組(5E-A)X=0，得基礎(chǔ)解系南3111 因此，屬于5的全部特征向量為k3，k0. （15分） 13解：用施密特正交化方法可得1=a1=（1，1，0） (3分)1=a1-a2，11，11=1，0，1-12 1，1，0=（12，-12，1）（6分） 3=a3-a3，11，11-（a3，2）（2，2）2 =1，0，0-121，1，0-13（12，-12，1） =(13，-13，-13) （9分） 單位化可得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為 1=（22，22，0） (11分) 2=（66，-66，63） (13分) 3

6、=（33，-33，-33） (15分)四、證明題(本題15分) 14設(shè)A，B都是n階正定對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：A+B也是正定對(duì)稱(chēng)矩陣 證明：(A+B)T=AT+BT=A+B，故A+B是對(duì)稱(chēng)矩陣 （5分） 對(duì)任一n維列向量X0，都有XTA+BX=XTAX+XTBX0，因此，A+B是正定對(duì)稱(chēng)矩陣 （15分）試卷代號(hào)：1079座位號(hào)國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2 0 2 0年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試高等代數(shù)專(zhuān)題研究 試題 2020年7月一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共20分）1下列法則是整數(shù)集Z上的代數(shù)運(yùn)算的是( ) A。b=+b B。b=b2 C。b=2 D。b=13 2若向量組1，2，t與，1以均線性無(wú)關(guān)，則向量組1+1，

7、t+t。( ) A一定線性無(wú)關(guān) B一定線性相關(guān) C可能線性相關(guān)，也可能線性無(wú)關(guān) D以上說(shuō)法都不對(duì)3設(shè)咒階方陣A可對(duì)角化，則下列結(jié)論正確的是( ) AA有n個(gè)不同的特征值 BA是可逆矩陣 CA有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 DA是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣4設(shè)是n維歐氏空間V上的線性變換，在基1，2，n。下的矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣A，則( ) A為可逆變換 B當(dāng)1，2，n為標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí)，為對(duì)稱(chēng)變換 C為正交變換 D為對(duì)稱(chēng)變換5線性空間V上的雙線性函數(shù)f(，)在不同基下的度量矩陣( ) A相似 B相等 C正交相似 D相合二、填空題（每小題4分，共20分） 6有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式的次數(shù)是_次的 7在有限維線性空間中，任意兩個(gè)

8、基所含向量酌個(gè)數(shù)是_的 8 設(shè)A，B都是n階方陣，如果存在n階可逆矩陣T，使T-1AT=B，則稱(chēng)A與B_ 9若歐幾里得空間V上的線性變換A保持向量長(zhǎng)度不變，則A是_變換 10設(shè)A是n階實(shí)矩陣，當(dāng)A是_矩陣時(shí)，ATA是正定矩陣.三、計(jì)算題（每小題15分，共45分）11已知1，2，3是3維線性空間V的一組基，向量組1，2，3滿(mǎn)足1+3=1+2+3，1+2=2+3，2+3=1+3求由基1，2，3到基1，2，3的過(guò)渡矩陣12設(shè)R3的線性變換定義如下：x1，x2，x3=（2x1-x2，x2-x3，x2+x3），求在基1=1，0，0，2=0，1，0，3=（0，0，1）下的矩陣13用正交線性替換化實(shí)二次型x

9、12+2x22+3x32-4x1x2-4x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形.四、證明題（共15分）14設(shè)fx，g(x)是數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式，且fx，gx=1證明：fx，fx+gx=1試卷代號(hào)：1079國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2 0 2 0年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試高等代數(shù)專(zhuān)題研究 試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（供參考） 2020年7月一、單項(xiàng)選擇題（本題共20分，每小題4分） 1.A 2.C 3.C 4.B 5.D二、填空題（本題共20分，每小題4分） 6.任意 7.相等 8.相似 9.正交 10.可逆三、計(jì)算題（本題共45分，每小題15分）11.解：1，2，3=1，2，3001100121212，T=0011001212120所以1

10、，2，3是一組基. (5分)因?yàn)?，2，3=1，2，3001100121212， (10分)故1，2，3=1，2，3010-1-12100，即基 1，2，3到基1，2，3的過(guò)渡矩陣為 010-1-12100 (15分)12.解：1=(2,0,0)=21, 2=-1,1,1=-1+2+3, 3=0,-1,1=-2+3, （10分）因此在基1=1，0，0，2=(0，l，0)，3=(0，0，1)下的矩陣為 A=2-1001-1011 （15分） 13.解：二次型的系數(shù)矩陣A=1-20-22-20-23 （1分）A的特征多項(xiàng)式E-Al=(+1)(-2)（-5），由此得，A的特征值為-1，2，5（3分）解相應(yīng)的齊次線性方程組，得單位正交的基礎(chǔ)解系為1=232313， 2=-231323，3=13-2323 (8分)令T=232313-23132313-2323為正交矩陣，則正交線性替換為 x1x2x3=232313-23132313-2323y1y2y3 所得標(biāo)準(zhǔn)形為一y12+2y22+5y32， （15分）四、證明題（本題1