2022年五級奧數(shù)-立體圖形問題

1、課程五 立體圖形問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.長方體、正方體表面積的計(jì)算 2.長方體、正方體的切割問題 3.長方體、正方體的體積4.不規(guī)則物體的體積重 點(diǎn)計(jì)算長方體和正方體的表面積應(yīng)注意的問題（1）找出必備條件（長、寬、高或棱長），如題中沒有直接給出，則先求出必備條件，再求表面積（有蓋還是無蓋）。（2）統(tǒng)一計(jì)量單位，單位不統(tǒng)一的，一般要通過化、聚，使單位統(tǒng)一后再計(jì)算。（3）求所需用的面積材料時(shí)，一般用“ 進(jìn)一法“ 取近似值。（4）用同樣多的立體拼圖，由于拼法不同，重疊的次數(shù)不同，表面積就會發(fā)生變化，每重疊一次，就減少兩個(gè)面；每切一刀，就增加兩個(gè)面?？?結(jié)1.長方體和正方體的體積概念及其計(jì)算公式（1）長方體體

2、積長 寬 高 V 長方體 abc （2） 正方體體積棱長 棱長 棱長 V 正方體 a3 2.求不規(guī)則物體的體積 水中物體的體積容器的底面積 水上升或下降的高度。水上升或下降的高度水中物體的體積 容器的底面積 容器的底面積水中物體的體積 水上升或下降的高度例 1 有一個(gè)長 15 厘米， 寬 10 厘米， 高 8 厘米的長方體， 現(xiàn)在要在這個(gè)長方體中挖去一個(gè)棱長為 5 厘米的小正方體，那么剩下部分的表面積是多少？第 1 頁 共 6 頁（ 1）（2）（ 3）分析與解法根據(jù)長方體的特征我們可以知道，挖去小正方體的位置有 3 種情況，可能是在面上，如圖（1），可能在頂點(diǎn)上，如圖（ 2），可能在棱上，如圖

3、（3）。在面上時(shí)，可以用長方體的表面積小正方體 4 個(gè)面的面積 ;在角上時(shí)，正好等于長方體的表面積；在棱上時(shí)，要用長方體的表面積 解：原長方體表面積為 : +小正方體 2 個(gè)面的面積。（15 10+15 8+10 8） 2=700（平方厘米）在角上時(shí)，剩下部分的表面積是 700（平方厘米） ；在面上時(shí)，剩下部分的表面積是：700+5 5 4=800（平方厘米）在棱上時(shí)，剩下部分的表面積是：7005 5 2750（平方厘米）所以剩下部分的表面積是 700 平方厘米，或 800 平方厘米，或 750 平方厘米。說明： 本題也是要考慮可能出現(xiàn)的各種情況，要做到不重不漏。例 2 如圖棱長是2 分米的正

4、方體， 沿與 AB 棱垂直的方向切3 刀，沿與 BC 棱垂直的方向切4 刀，沿與 BF 棱垂直的方向切 5 刀，共得到大小長方體120 個(gè)。問這 120 個(gè)長方體的表面積之和是多少平方分米。A D B C E H 分析與解法F G 在這道題中， 120 個(gè)長方體表面積的總和是由原來正方體的表面積與所有切面的面積兩部分組成。每切一刀，就增加 2 個(gè)邊長是 2 分米的正方形，共切 12 刀，增加了 24 個(gè)邊長是 2 分米的正方形。解：2 2 62 2 （ 345） 2 2496 120（平方分米）答：這 120 個(gè)長方體的表面積是 120 平方分米。說明： 此題并沒有要求是平均切，所以只能考慮在

5、原來基礎(chǔ)上增加了多少。例 3 有一根長 3.5 米的方木，把它截成3 段，表面積增加了144 平方厘米，這根方木的體積是多少立方分米？分析與解法第 2 頁 共 6 頁把方木截成三段要截2 次，每截一次要增加2 個(gè)面，截 2 次增加 4 個(gè)面， 4 個(gè)面的面積為144 平方厘米， 144436（平方厘米） ，根據(jù)體積公式就能求出方木的體積。解：144 436（平方厘米）36 35012600（立方厘米）12.6（立方分米）答：這根方木的體積是 12.6 立方分米。說明： 切 n 刀分出（ n+1）段，增加 2n 個(gè)面。例 4 一個(gè)長方體的表面積是67.92 平方分米， 底面積是 19 平方分米，

6、 底面周長是17.6 分米， 這個(gè)長方體的體積是多少？分析與解法表面積減去兩個(gè)底面積，差就是長方體的側(cè)面積，側(cè)面積除以底面周長是長方體的高。根據(jù)公式 “ 底面積 高”求出長方體的體積。（67.92-19 2） 17.6 29.92 17.6 1.7（分米）19 1.732.3（立方分米）例 5 一個(gè)長方體正塊，長5 分米，寬 3 分米，高 4 分米，在它的六個(gè)面上都漆滿油漆然后鋸成棱長都是1 分米的正方體木塊，鋸成的小正方體木塊中，幾個(gè)三面有紅色？兩個(gè)面、一個(gè)面有紅色的各有幾個(gè)？有沒有六個(gè)面都沒有紅色的？如果有，有幾個(gè)？分析與解法切開后三個(gè)面是紅色的 8 個(gè)頂點(diǎn)處； 兩個(gè)面是紅色的在每條棱的中

7、間（兩頭各去掉 1 個(gè)）；一面是紅色的在每個(gè)面的中間 （上下和左右都各去掉 1 個(gè)）。六個(gè)面都沒有紅色的，在原來的長方體的正中，也就是把原來長方體涂色的面都去掉剩下的長方體。解：切開后三面有紅色的有 8 個(gè)；兩個(gè)面有紅色的有 （52）+（32）（ 42） 424（個(gè)）一個(gè)面有紅色的有 （ 52） （ 32）（ 52） （ 4 2）（ 32） （ 42） 222（個(gè)）六個(gè)面都沒有紅色的有（5-2） （ 3-2） （ 4-2）=6（個(gè)）說明： 平時(shí)要多動手，多培養(yǎng)自己的動手能力和空間想象能力。例 6 在長為 16 厘米， 寬為 15 厘米的長方體水箱中有 10 厘米深的水。 現(xiàn)在往水箱里放一塊石頭

8、完全沉入水中，這時(shí)水面上升了 4 厘米。如果把石頭取出來又放入一個(gè)鐵球（球浸沒在水中，且水沒有溢出），這時(shí)水深 17 厘米，正好是水箱的高度。求水箱的容積和鐵球、石頭的體積。分析與解法第 3 頁 共 6 頁水上升 4 厘米的體積就是石頭的體積。17107（厘米），這 7 厘米高的水的體積就是鐵球的體積，由這些已知條件，再根據(jù)長方體的體積公式就能分別求出它們的體積。解： 16 15 4960（立方厘米）16 15 （ 1710） 1680（立方厘米）16 15 174080（立方厘米）答：水箱的容積是 4080 立方厘米，鐵球的體積是 1680 立方厘米，石頭的體積是 960 立方厘米。說明：

9、仔細(xì)讀題，注意“ 上升了”，“ 水深” 等詞語，很容易解題。例 7 一個(gè)棱長都是整數(shù)的長方體的表面積是110 平方厘米，已知它的6 個(gè)面中有 2 個(gè)相對面是正方形，它的體積是多少？分析與解法根據(jù)題意得知，這個(gè)長方體6 個(gè)面中有兩個(gè)面是正方形，假設(shè)它的長、寬相等。假設(shè)長和寬用字母a 表示，高用 h 表示，根據(jù)等量關(guān)系式就能找到答案。解：設(shè)長方體的長和寬都是a 厘米，高是h 厘米。由題意可知：2a2+4ah=110 即 a（a+2h）=55=5 11 因?yàn)?a 和 h 都是整數(shù)，所以 a 5，a2h11 所以 a=5,h=3 長方體的體積是 5 5 375（立方厘米）答：長方體的體積是 75 立方

10、厘米。說明 : 當(dāng)題目出現(xiàn)未知數(shù)時(shí)，列方程解方程是比較簡便的方法。例 8 小明在桌面上擺了一些大小一樣的正方體木塊，擺完后從正面看如圖（1），從側(cè)面看如圖（2），那么他最多用了多少塊木塊？最少用了多少塊木塊？（1）（2）分析與解法（1）最多用了 25 塊正方體，第一層放3 412 塊，第二層放3 39 塊，第三層的4 角各放一塊共4 塊，總共用了 129425 塊。（2）在（ 1）的基礎(chǔ)上不影響視圖（1）、（2）的情況下逐步減少正方體，最少用9 塊。我們用圖來說明第 4 頁 共 6 頁3 1 2 3 3 0 0 0 2 1 2 2 0 0 2 0 3 1 2 3 0 1 0 3 小正方體最多

11、25 塊 最少 9 塊在一個(gè) 4 3 的方格長方形中， 每個(gè)小方格中標(biāo)有的數(shù)字表示在這個(gè)小方格中摞起的小正方體的個(gè)數(shù)。左圖顯示最多用 25 塊小正方體；右圖顯示最少用 9 塊小正方體。練 習(xí)1. 圖（ 1）是用棱長 1 厘米的立方體搭成的一個(gè)空間圖形，問其體積是多少？表面積是多少？2. 從一個(gè)長方體上截下一個(gè)體積是 32 立方厘米的長方體后，剩下的部分正好是棱長為 4 厘米的正方體，問原來這個(gè)長方體的表面積是多少平方厘米？3. 下面圖中哪些可以拼成正方體（）C D A B 4. 一根鐵絲圍成的長方體，長15 分米，寬8 分米，高7 分米，如果還用這根鐵絲改圍成一個(gè)正方體，那么這個(gè)正方體的棱長是多少分米？5. 用棱長是 1 厘米的立方塊拼成如圖的立體圖形，從正面看和從右面看得到的是什么樣的圖形？第 5 頁 共 6 頁6. 一個(gè)長方體的水箱，從里面量長 8 分米，寬 6 分米，先倒入 102 升水，再放入一