《點集拓撲學(xué)學(xué)習(xí)心得》

1、點集拓撲學(xué)學(xué)習(xí)心得點集拓撲學(xué)是由分析、幾何、和代數(shù)等許多學(xué)科的一些基本概念 和問題抽象而成的一個數(shù)學(xué)分支，是理工科相關(guān)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課。 它的許多概念、理論、方法廣泛的應(yīng)用與泛函分析、微分幾何和微分 方程等領(lǐng)域中。通過這門課程的學(xué)習(xí)可以加強我們對學(xué)習(xí)了的數(shù)學(xué)分 析、實變函數(shù)、常微分方程等課程的理解。因此我們有必要努力學(xué)好 這一門課程。在學(xué)習(xí)中我有幾點深刻的體會。第一、這門課程確實很抽象。它不同于我們學(xué)習(xí)的其他數(shù)學(xué)課程， 如數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、常微分方程、實變函數(shù)等，點擊拓撲幾乎沒 有計算的內(nèi)容，邏輯性強。在學(xué)習(xí)概念后就是一連串的定理、推論， 例子也比較少，且多為證明。所以學(xué)習(xí)起來就比較枯燥。一

2、開始學(xué)習(xí) 的掉以輕心讓我后悔不已。第二、抽象的概念也是有它形成的基礎(chǔ)。點集拓撲學(xué)是一門建立 在集合論的基礎(chǔ)上的一門學(xué)科，因此第一章的集合論初步是學(xué)習(xí)的預(yù) 備知識。尤其是映射的像和原像的性質(zhì)，這些性質(zhì)對刻畫拓撲空間中 映射的連續(xù)性有重要作用。而第二章是全書的理論基礎(chǔ)，尤其重要。 并且概念和概念之間也是相互聯(lián)系的。比如度量給出以后，度量空間 的相應(yīng)概念由此產(chǎn)生。開集、鄰域的概念形成后，導(dǎo)集、閉集、閉包、內(nèi)部、邊界及其性質(zhì)大都是借助它們來說明的。因此學(xué)習(xí)的時候 每一個概念都要弄懂。第三、點集拓撲學(xué)中涉及到很多我們已經(jīng)在其他學(xué)科中學(xué)習(xí)到的 知識，因此我們要注意對比分析。序列的極限、函數(shù)的連續(xù)性是數(shù)學(xué)

3、分析的基礎(chǔ)，其中涉及兩個實數(shù)的距離。數(shù)學(xué)分析中絕大多數(shù)問題都 離不開距離。而點集拓撲學(xué)中建立了以距離為出發(fā)點的距離空間。數(shù) 學(xué)分析中我們熟知的歐式空間和歐式空間之間的連續(xù)函數(shù)的概念，經(jīng) 由度量空間和度量空間的連續(xù)映射，抽象到拓撲空間和拓撲空間之間 的連續(xù)映射。數(shù)學(xué)分析中數(shù)列涉及斂散性、連續(xù)性、以及極限存在的 條件等，而點集拓撲學(xué)中序列也涉及到這些內(nèi)容，但是它們之間存在 著異同之處。在拓撲空間中一般不能用點列的收斂來刻畫聚點，進而 拓撲空間之間的連續(xù)映射不能用極限來刻畫。作為初學(xué)者，我們應(yīng)該 尤其注意這些概念上本質(zhì)性的問題。另外，在學(xué)習(xí)過程中也有些疑問。這學(xué)期我們正在學(xué)習(xí)實變函數(shù) 論，其中涉及到

4、許多和點集拓撲學(xué)相似的結(jié)論，以至于我有些混淆。 實變函數(shù)論老師說在點集拓撲學(xué)中成立的有些結(jié)論在實變函數(shù)論中 一定成立，但是在實變函數(shù)論中成立的結(jié)論在點集拓撲學(xué)中不一定成 立，我不知道這具體是為什么。感覺這兩門課程都比較難，還需要花 大量時間去學(xué)習(xí)。我們在這一學(xué)期其實只學(xué)習(xí)到這門課程的的一部分內(nèi)容，我有種 接觸了這門課程但是完全學(xué)得不透徹的感覺。平時的例子很少，也不 清楚這門課程的具體應(yīng)用。大三下期，同學(xué)們要不是準備考研，要不就是準備師范技能，因此對這門課程的重視度不高。因此，如果 可以調(diào)整課程的開設(shè)時間也許學(xué)習(xí)效果會好一些。第二篇：拓撲學(xué)心得拓撲學(xué)心得體會姓名：賈文琳學(xué)號：xx02024016

5、班級xx級數(shù)師一班摘要。拓撲學(xué)是一門抽象的學(xué)科，是一門研究幾何圖形在連續(xù)變 形下保持不變的性質(zhì)的學(xué)科，也是一門在現(xiàn)代數(shù)學(xué)、自然科學(xué)以及社 會科學(xué)等眾多領(lǐng)域中應(yīng)用極為廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科。它源于對周圍世界的 直觀觀察。它是幾何學(xué)的一個分支，但又與通常的歐式幾何是不同的 幾何學(xué)分支，通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之 間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)，而拓撲學(xué)對于研究對象的長短、 大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都沒有關(guān)系。因此，它以一 種獨特的視角去將世界數(shù)學(xué)化。關(guān)鍵詞：幾何學(xué)分支數(shù)學(xué)化抽象初識拓撲學(xué)，是在數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的時候，當時是老師介紹歐拉在 1736年解決的哥尼斯堡的七橋問題：哥

6、尼斯堡的普雷格爾河上建有 七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時經(jīng)常在這上 邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來 的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人 在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。1736年，有人帶著這個 問題找到了當時的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種 獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和 河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那 么這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經(jīng)過進一 步的分析，歐拉得出結(jié)論 不可能每座橋都走一遍，最后回到原來 的位置。并且給出

7、了所有能夠一筆畫出來的圖形所應(yīng)具有的條件。而 后的“四色問題”等拓撲學(xué)經(jīng)典問題都向我們展現(xiàn)了拓撲學(xué)的廣泛應(yīng) 用以及它獨特的思考方式。為我們用學(xué)好數(shù)學(xué)以及更深刻的理解數(shù)學(xué) 提供了一種思路。下面我將談?wù)勎以诒緦W(xué)期對本書前三章的學(xué)習(xí)心得體會。首先，在集合論與邏輯一章中，我們利用高中所學(xué)知識就可 以很容易的理解集合與函數(shù)的相關(guān)概念，比如集合中的每一個事物都 叫做“元素”，也可以叫做“成員”、“點”，集合根據(jù)元素個數(shù)可以分 為有限集合和無限集合。同樣，我們又學(xué)習(xí)了集合與元素、集合與集 合之間的表示以及集合間的運算等。而這其中我們首次接觸到集合的 族的概念，即以集合作為元素的集合我們稱之為“族”。同時也給

8、出 了有限集和無限集的定義，這與我們在近世代數(shù)中所學(xué)的定義是 不一樣的，但它也給我們新的思考方式。開集的概念直接傳承于開區(qū)間，但卻是抽取了開區(qū)間這個概念的 本質(zhì)內(nèi)容所形成的。開集最終是一個適合范圍很廣的概念，也在某些 性質(zhì)上與開區(qū)間概念有所不同。設(shè)某非空集合x，它的幕集為2八x。 若某集族t是該幕集的子集，同時還滿足下述三個公理：1）、t中的 任何元素（元素是集合）之并還是屬于t； 2）、t中的任何有限個元 素之交還是屬于t； 3）、x本身以及空集是t的元素。上述三個公理稱 作“開集公理”。所以一個拓撲指的就是滿足開集公理的一個開集族。 一個集合的幕集的任意一個子集，只要其中的元素（集合）滿足

9、開集 公理，那么這個子集就是這個集合的一個拓撲。由此可見，一個集合 的拓撲可以有很多個，配上不同的拓撲，就形成了這個集合的不同的 結(jié)構(gòu)。一個開集族決定了集合中元素與元素之間的“連續(xù)性”屬性， 元素與元素之間的連續(xù)性決定了這個集合的幾何結(jié)構(gòu)。比如在這個拓 撲下，元素1和元素2是連續(xù)的，或者稱為是相鄰的；而在另一個拓 撲下，這倆元素完全可以是分隔開的，不連續(xù)的。其次，在拓撲空間與連續(xù)函數(shù)一章中，給出了拓撲空間的定 義：設(shè)x是一個集合，t是x的一子集族，如果t滿足：（1）0，x t， （2）有限交封閉，（3）任意并封閉。則稱t為x的一拓撲空間。以 及拓撲的基的滿足：（1）對于每一個x x，至少存在一

10、個包含x的基 元素b，（2）如果bl，b2 b，x bl b2的交，那么存在b3 b， 使得x b3 bl b2。而我認為，集合的閉包與內(nèi)部的定義性質(zhì)以及 相互的關(guān)系也是本章節(jié)的重點。艮拓撲空間x的一個子集a的內(nèi)部 定義為包含于a的所有開集的并，而a的閉包定義為包含著a的所有 閉集的交。而在學(xué)習(xí)連續(xù)函數(shù)這一小節(jié)時，我們除了聯(lián)系數(shù)學(xué)分析中所學(xué)知 識去學(xué)習(xí)本節(jié)的相應(yīng)知識點，還要理解到，（1）對應(yīng)法則、定義域空 間拓撲，至于空間拓撲共同決定該函數(shù)的連續(xù)性；（2）連續(xù)函數(shù)的本 質(zhì)是開集的原像是開集，基的原像是開集，子基的原像是開集；（3） 拓撲的性質(zhì)是同胚把開集映射成開集，兩拓撲空間同胚、開集一樣，

11、從而拓撲性質(zhì)一樣。在學(xué)習(xí)箱拓撲和積拓撲的定義之后，對兩者進行比較可以發(fā)現(xiàn)對 于有限積xa，兩種拓撲是一樣的，而一般來說箱拓撲更細于積拓撲。在度量拓撲的學(xué)習(xí)中，我印象最深的是老師給我們拓展的四種空 間，即拓撲空間、度量空間、賦范空間、內(nèi)積空間的定義，并給出一 致拓撲細于積拓撲，又粗于箱拓撲的定理，為我們理解這些拓撲，把 握其中的區(qū)別也給出了很多很好的例子解釋。而連通性與緊致性一章中，我學(xué)習(xí)了連通性與緊致性的定義， 即設(shè)x是一個拓撲空間，所謂的x的一個分割，是指x的一對無交的 非空開集u和V，它們的并等于X，而如果x的分割不存在，則稱空 間x是連通的。而連通性的定義其實在數(shù)學(xué)分析中也有提到，這對我

12、 加深對其定義的理解起到了很好的效果，使我不易畏懼對該定義的學(xué) 習(xí)。而我在學(xué)習(xí)中也發(fā)現(xiàn)證明x是連通空間，常常采用了反證法來進 行。連通性也可以定義為：空間x是連通的當且僅當x中既開又閉的 子集只有空集和x本身。對于連通性，有四個性質(zhì)值得我們仔細學(xué)習(xí)， 即：含一個公共點的x的連通子空間族的并是連通的；設(shè)a是x的一 個連通子空間，若a b a，則b也是連通的；連通空間在連續(xù)映射 下的像是連通的；有限多個連通空間的笛積是連通的。而緊致性的定 義為：若x的任何一個開覆蓋a，包含著一個覆蓋x的有限自族，則 稱空間x是緊致的。而緊致空間中最核心的一點是任意開覆蓋有有限 子覆蓋。以上是我對本書學(xué)習(xí)中學(xué)的較明

13、白的一些知識的理解和認識。在 學(xué)習(xí)本書中，我也有一點體會：第一，這門課程真的十分抽象，它完全不同于我們所學(xué)的其他數(shù) 學(xué)課程，如數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、復(fù)變函數(shù)、常微分方程 等，而且本書基本都是證明題，要求了較高的邏輯推理能力和抽象思 維能力。而且知識間的聯(lián)系是十分緊密的，如集合知識是拓撲學(xué)的基 礎(chǔ)，也是預(yù)備知識，而連續(xù)函數(shù)一章則是本書的重點。因此，如果其 中一個知識點不清楚，那么在學(xué)習(xí)其后的知識就顯得十分吃力。第二，本門課程與我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的其他學(xué)科有很大的聯(lián)系，如連 通性、極限存在的條件、斂散性我們在數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)接觸，集合、 函數(shù)、連續(xù)性等也是我們在高中就學(xué)習(xí)過基本的定義，笛積的定義也

14、 在近世代數(shù)中學(xué)習(xí)到。因此，作為初學(xué)者，我們應(yīng)該注意這些概念上 本質(zhì)性的問題與其他學(xué)科的聯(lián)系，這樣才能避免與其他學(xué)科的定義混 淆。第三，由于度量的觀念在我們學(xué)生的腦海中根深蒂固，因此在學(xué) 習(xí)本門課時，九五不感到這門學(xué)科簡直是一個不可思議的自在之物， 而此時，腦海中的度量觀念不但不能成為幫助我們進行思維的一種工 具，相反，卻成為我們理解和運用拓撲學(xué)的原理及思想方法的主要障 礙。因此，我們應(yīng)該避開以度量的觀念去思考拓撲學(xué)問題，這樣才能 正確理解到拓撲學(xué)這門學(xué)科。連續(xù)性與離散性這對矛盾在自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象中普遍存在著， 數(shù)學(xué)也可以粗略地分為連續(xù)性的與離散性的兩大門類。拓撲學(xué)對于連 續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有

15、根本意義的，對于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推進 作用。例如，拓撲學(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)工作者的常識。拓 撲學(xué)的重要性，體現(xiàn)在它與其他數(shù)學(xué)分支、其他學(xué)科的相互作用。拓 撲學(xué)在泛函分析、實分析、群論、微分幾何、微分方程其他許多數(shù)學(xué) 分支中都有廣泛的應(yīng)用。因此學(xué)好拓撲學(xué)會給我們提供更多研究數(shù)學(xué) 的方向。參考文獻：1拓撲學(xué)（原書第2版）美jamesr,munkres著，熊金成呂杰 譚楓譯2關(guān)于點集拓撲學(xué)以及它的作用，楊旭，松遼學(xué)刊自然 科學(xué)版xx年第一期3方嘉琳點集拓撲學(xué)，遼寧出版社古思 想方法第四冊，科學(xué)出版社5xiexiebang百度百科“拓撲學(xué)”第三篇：學(xué)習(xí)拓撲學(xué)的心得體會學(xué)習(xí)拓撲學(xué)的心得體會

16、摘要。拓撲學(xué)是一門綜合性比較強的數(shù)學(xué)學(xué)科，是我們大學(xué)生學(xué) 習(xí)必不可少的學(xué)科。我們之前學(xué)習(xí)了的物理學(xué)、高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、 初等幾何等多門學(xué)科都有關(guān)聯(lián)，是我們之前學(xué)習(xí)的延伸，接觸了比之 前更高深的問題，同時加深了與其他學(xué)科的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)集合相關(guān)概 念時，引發(fā)了我對于現(xiàn)實生活中的一些思考，進一步感受到了數(shù)學(xué)的 嚴謹性。在學(xué)習(xí)拓撲中的基，由此想到了之前在初等數(shù)論中學(xué)習(xí)的鴿 巢原理。在學(xué)習(xí)連續(xù)函數(shù)的不同定義時，與之前學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)分析中的 相關(guān)類容作出了比較，并進一步理解了函數(shù)的連續(xù)性。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)科；延伸；聯(lián)系；嚴謹性一、什么是拓撲學(xué)。我們所謂的拓撲學(xué)，是在數(shù)學(xué)學(xué)科當中比較抽象的一門學(xué)科。它 的英文名

17、是topology，直譯是地質(zhì)學(xué)，也就是和研究地形、地貌相類 似的有關(guān)的學(xué)科。我國早期有人曾經(jīng)把它翻譯成為“形勢幾何學(xué)”、 “連續(xù)幾何學(xué)”、“一對一的連續(xù)變換群下的幾何學(xué)”，但是，這幾種 譯名無論對于老師還是學(xué)生來說都不大好理解，于是在1956年最終 用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)名詞把它確定為拓撲學(xué)，這是按音譯過來的。拓撲學(xué)是數(shù)學(xué)當中一個重要的、基礎(chǔ)性的學(xué)科分支。它最初是幾 何學(xué)的一個分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)， 現(xiàn)在已成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)分支。然而，這種幾何學(xué)又 和通常的平面幾何、立體幾何又有所不同。通常的平面幾何或立體幾 何所研究的對象是點、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度

18、量性質(zhì)， 而拓撲學(xué)對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量 關(guān)系都無關(guān)。舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形 搬到另一個圖形上，如果它們能夠完全重合，那么這兩個圖形叫做全 等圖形。但是，在拓撲學(xué)里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或 者形狀都發(fā)生變化。在拓撲學(xué)里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的 大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問 題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個 數(shù)，這些就是拓撲學(xué)思考問題的出發(fā)點。而在我們大學(xué)中主要主要學(xué)習(xí)兩部分，一部分是一般拓撲學(xué)，另 一部分是代數(shù)拓撲學(xué)。一般拓撲學(xué)分為了八章，分別是：集合論與邏

19、輯、拓撲空間與連續(xù)函數(shù)、連通性與緊致性、可數(shù)性公理與分離公理、 tychonoff定理、度量化定理與仿緊致性、完備度量空間與函數(shù)空間、 baire空間和維數(shù)論。代數(shù)拓撲學(xué)分為了六章，分別是：基本群、平 面分割定理、seifert-vanken定理、曲面分類、復(fù)疊空間分類、在群論 中的應(yīng)用。二、學(xué)習(xí)拓撲學(xué)的意義拓撲學(xué)本身是一門饒有興味的學(xué)科，很多本科大學(xué)把它作為了大 學(xué)生學(xué)習(xí)的必修課程，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，提高解 決問題和分析問題的能力，為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中進一步掌握和奠定近 世數(shù)學(xué)的一些知識基礎(chǔ)。因此，它是大學(xué)生學(xué)習(xí)不可缺少的一門專業(yè)。拓撲學(xué)是一門綜合性的學(xué)科，它的作用非常廣泛，廣

20、泛運用于微 分幾何學(xué)、分析學(xué)、抽象代數(shù)、物理、經(jīng)濟學(xué)、哲學(xué)等其他多門學(xué)科 有著不可分開的關(guān)系，對他們都有著極大地推動作用。在微分幾何中， h.m.莫爾斯在20世紀20年代為了研究流體問題，利用拓撲學(xué)的相關(guān) 思想把流體上的光滑函數(shù)的臨界點指數(shù)與流體本身的貝蒂數(shù)聯(lián)系在 一起，使之發(fā)展成了大范圍的變分法。隨后，莫爾斯、陳省身等在這 上面的成就，對微分幾何和拓撲都有著十分重要的意義。在分析學(xué)中， 微分拓撲學(xué)的進步，在很大程度上促進了分析學(xué)向流形上的分析學(xué)的 發(fā)展。后來在托姆的影響下，將微分映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論和奇點理 論發(fā)展成了當中重要的分支學(xué)科。后來，著名的阿蒂亞-辛格指標定 理把算子的解析指標與流

21、體結(jié)合起來，很好的將分析學(xué)與拓撲學(xué)結(jié)合 在一起了。同時，對現(xiàn)代泛函分析和復(fù)變函數(shù)的多個方面都有著重要 的意義。在抽象代數(shù)中，拓撲學(xué)很好地促進了抽象代數(shù)的發(fā)展，在代 數(shù)數(shù)論以及代數(shù)群的基礎(chǔ)上都有巨大的進步。后來形成的范疇論又深 入了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、代數(shù)幾何等，還有托普斯的的觀念拓廣了經(jīng)典的拓撲 空間觀念。在經(jīng)濟學(xué)中，很多地方都有著重要的作用，如均衡的存在 性、性質(zhì)、計算等根本問題。同時，在系統(tǒng)理論、對策論、規(guī)劃論、 網(wǎng)絡(luò)論中也都有著十分重要的作用。學(xué)習(xí)拓撲學(xué)，不僅僅讓學(xué)生體會到拓撲學(xué)與其他學(xué)科緊密聯(lián)系， 還可用來解決很多實際問題，如：扭結(jié)問題、維數(shù)概念、向量場問題、 不動點問題。此外，還能讓學(xué)生了解當

22、中的研究方法，拓寬了學(xué)生的 思維，讓學(xué)生在看問題以及解決問題的時候，能從多方面思考問題， 并將其他學(xué)科緊緊聯(lián)系在一起。三、學(xué)習(xí)拓撲學(xué)中某一內(nèi)容的感想學(xué)習(xí)拓撲學(xué)之前，我們認定由一些對象構(gòu)成的集合這個概念是直 觀自明的。而我們在學(xué)習(xí)第一章集合論與邏輯中，我們不僅知道 了什么是集合，而且還介紹了集合論的思想，并建立了基本術(shù)語和記 號，還知道了拓撲學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系，集合可以既開又閉，而一扇門不 能既開又閉。通過這些，就很好的吸引了我們的興趣，引發(fā)了我們很 多的思考。對于集合，我們通常用字母a，b.表示集合，用小寫字母 a，b，表示屬于集合的成員或元素。集合有時簡稱為集，元素有時 簡稱為元或點。如果成員a

23、屬于集合a，就記作a a。如果a不屬于 a，就記作a a。若集合a與b是同一個集合的兩個符號，也就是說 a與b含有完全相同的元素，記為a=b。反之，則記為a b。若a的 每一個元素都是b的元素，就說a是b的子集，記作a b。之后學(xué) 習(xí)了集合的“并”與“或”的含義，即給定兩個集合a和b，由a中 所有元素及b中所有元素可以組成一個集合，這個集合就稱為a與b 的并或并集，記作a b。也就是說a b=xx a或x b。在日常生活中，“或”這個詞是含糊的，有時“p 或q”這句話意味著“p或q，或者既p又q”，有時又意味著“p或q， 但不是既p又q，很多時候都要通過文章的上下文才能知道究竟指 的是哪一種。

24、而在數(shù)學(xué)當中，是不容許這種含糊的，無論何時都只承 認它的一種含義，否則就要引起混亂。因此，數(shù)學(xué)家們在這種情況下， 若要表示“p或q，但不是既p又q，就必須明確的加上短語“但不 是既p又q”。照這樣下去，定義a b的式子就很清楚了，它表明a b 是由所有屬于a，或者屬于b，或者既屬于a又屬于b的元素x組成 的集合。通過集合這個簡單概念的學(xué)習(xí)，讓我明白了數(shù)學(xué)的嚴謹性。 很多東西在日常生活中是含糊的，但是在數(shù)學(xué)當中是非常嚴謹?shù)?。學(xué) 習(xí)了拓撲學(xué)，讓我們的思維變得嚴謹了，做事考慮得更周到，通過它 的學(xué)習(xí)還是受益匪淺的。在第二章的學(xué)習(xí)當中，學(xué)習(xí)了拓撲空間與連續(xù)函數(shù)的相關(guān)知識。 這個當中，讓我明白了拓撲當中

25、的基必須滿足兩個條件：（1）對于每 一個x x，至少存在一個包含x的基元素b；（2）若x屬于兩個基元 素bl和b2的交，則存在包含于x的一個基元素b3,使得b3 bl b2。 通過這個知識的學(xué)習(xí)，讓我明白了用平面上的兩個圓形域所組成的族 也滿足基的定義當中的兩個條件。同時，平面上所有矩形域組成的族， 其中矩形的邊平行于兩個坐標軸，這樣的圖形就滿足基的基本定義， 由于任何兩個基元素的交就是一個基元素。在這當中，我們抽象出了 集合的基，知道了集合中元素的基與鴿巢原理的關(guān)系，這樣和我們之 前所學(xué)習(xí)的初等數(shù)論又很好的聯(lián)系起來了。在初等數(shù)論中，我們知道 鴿巢原理就是：如果k+1個或更多的物體放入k個盒子

26、，那么至少有 一個盒子含2個或更多的物體。推廣之后就是：（1）當盒子僅有n個， 而物體的數(shù)目大于m X n時，則必有一個盒子有m+1個物體或者大于 m+1個；(2)若m個物體放入n個盒子中，那么至少有一個盒子包 含了至少m/n 個物體。在本章的后半部分，學(xué)習(xí)了函數(shù)的連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)的概念是許 許多多數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，尤其是數(shù)學(xué)分析，基本上都是先講直線上的 連續(xù)函數(shù)，然后提到平面和空間上的連續(xù)函數(shù)。這一章的學(xué)習(xí)，是前 面我們在數(shù)學(xué)分析中所給出的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的直接推廣。之前，我 們在數(shù)學(xué)分析當中定義的連續(xù)函數(shù)，是通過極限來定義的，即函數(shù)中 定義域內(nèi)任意一點的左右極限存在，且左極限等于右極限為連續(xù)函

27、數(shù) 的定義。而在拓撲學(xué)中，則是通過拓撲空間來定義的，設(shè)x和y是兩 個拓撲空間，函數(shù)f： x y稱為連續(xù)的，如果對于y中的每一個開子 集v，f-1 (v)是x中的一個開子集。在此條件下，與f連續(xù)有三個等 價的命題，即：(1)對于x的任意一個子集a，有f (a的閉包)包含 于f (a)的閉包；(2)對于y的任意一個閉集b，f-1 (b)是x中的 一個閉集；(3)對于每一個x x和f (x)的每一個鄰域v，存在x的 一個鄰域u使得f (u) V。僅僅從這些簡單的定義來看，拓撲學(xué)在定義數(shù)學(xué)概念中更加嚴 密，更深一步，是我們之前學(xué)習(xí)知識很好的延伸。通過大量的學(xué)習(xí)， 讓我們認識到了學(xué)習(xí)拓撲學(xué)的好處，它是我

28、們大學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的。 雖然在學(xué)習(xí)的過程中感覺很艱難困苦，但是整個的收獲還是不錯的。 總的來說，讓我們的思維得到了很大的鍛煉，提高了我們思維的高度。參考文獻：楊旭.關(guān)于點集拓撲學(xué)以及它的作用.松遼學(xué)刊自然科學(xué)版 xx年第一期，xx-11-082.jamesr.munkres.拓撲學(xué)原書第2版.機械 工業(yè)出版社，xx-11第1版第5次印刷3.鄧一凡.拓撲學(xué)的產(chǎn)生與發(fā) 展.xx-12-034.xp84.拓撲學(xué).xx-09-135.亞當斯、沈以淡.拓撲學(xué) 基礎(chǔ)及應(yīng)用.機械工業(yè)出版社.xx年04月第四篇：點集拓撲學(xué)習(xí)體會點集拓撲學(xué)習(xí)體會拓撲學(xué)是把那些很樸素但又很基本的圖形的集和直觀性質(zhì)，進行 數(shù)學(xué)化的

29、結(jié)果。在漫長的歷史過程中，人們用很多種數(shù)學(xué)方法來表達 這種幾何圖形的直觀性質(zhì)，直到康托提出了集合論之后，以集合論為 基礎(chǔ)，配之以映射概念，拓撲學(xué)有了根本性的發(fā)展。從歐拉的七橋問 題，地圖著色問題，jordan曲線定理：平面上簡單閉曲線將平面分成 兩部分。高斯研究扭結(jié)和二重積分的聯(lián)系等是當時研究的一些孤立問 題，而后成為拓撲學(xué)的有關(guān)問題。再到黎曼發(fā)現(xiàn)了多值函數(shù)解析函數(shù) 可轉(zhuǎn)化為閉曲面上的單值函數(shù)，并得出閉曲面的拓撲分類。拓撲學(xué)都 有著很深刻的發(fā)展。拓撲學(xué)是幾何學(xué)的分支，且是與歐氏幾何不同的分支。研究對象 是一般的幾何圖形（拓撲空間），即研究幾何圖形的拓撲性質(zhì)，而且 對應(yīng)的歐氏幾何圖形在正交變換下

30、的不變性和不變量。拓撲學(xué)研究更 一般的圖形在彈性變形下的不變性和不變量，在而在近代拓撲學(xué)發(fā)展 為幾個重要的分支：點集拓撲；代數(shù)拓撲；微分拓撲；幾何拓撲。當 然我們所學(xué)的是點集拓撲學(xué)。何為點集拓撲。既是數(shù)學(xué)的拓撲學(xué)的一 個分支，它研究拓撲空間以及定義在其上的數(shù)學(xué)構(gòu)造的基本性質(zhì)（這 些是在學(xué)習(xí)點集拓撲的第一次課的內(nèi)容）。這些內(nèi)容充分的給我們這些學(xué)生一個整體結(jié)構(gòu)，讓我們對于拓撲 學(xué)產(chǎn)生深刻的印象和興趣，因此我們雖然還未深入拓撲學(xué)就已經(jīng)被它 的、吸引住了。然后，對于拓撲學(xué)的更深入學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)其中里面有很 多內(nèi)容在以前的學(xué)習(xí)都已經(jīng)學(xué)習(xí)過，里面的很多定義定理在以前學(xué)習(xí) 的課程中都有，雖然敘述方式不一樣，但其

31、中內(nèi)容是一致的，而且有 些內(nèi)容會在學(xué)習(xí)實變函數(shù)中有著具體的應(yīng)用和闡述證明。這充分 的說明點集拓撲在對于高等數(shù)學(xué)的融入和鑲嵌有著很深的影響。點集拓撲學(xué)不同于數(shù)學(xué)專業(yè)的其他課程，如數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、 微分方程等課程，幾乎沒有計算之類的內(nèi)容，邏輯性強，內(nèi)容抽象； 而且基本概念是比較多的，對于學(xué)習(xí)者是比較困難的，在教材里，介 紹了一些概念之后，接著是一連串的定理及冗長的證明，例子少，教 材中出現(xiàn)的例子也比較抽象。不過老師在課上把基本概念和以前學(xué)過 的基本概念和實例相聯(lián)系區(qū)別。在教學(xué)中滲透一些具體的實例，這樣 激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生對基本概念方法和原理的理解，使 得基本的概念不顯得空洞，有聲有

32、色。點集拓撲學(xué)的概念、理論和方法已經(jīng)廣泛地滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)、自 然科學(xué)以及社會科學(xué)的許多領(lǐng)域，并且有了日益重要的應(yīng)用，因此學(xué) 習(xí)點集拓撲學(xué)的基本知識，不僅是為了學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)提供必要的基礎(chǔ) 知識，而且能從較高觀點去觀察、分析數(shù)學(xué)各科的內(nèi)容，加深對這些 內(nèi)容的認識和理解。由于拓撲的一些基本概念對于初學(xué)者來說是比較 抽象的，因此有必要結(jié)合線性空間及數(shù)學(xué)分析的一些原理進行區(qū)別與 聯(lián)系，從而起到事半功倍的效果。另外把，點集拓撲學(xué)實用性更明顯 的一些，微積分，方程，圖論等等聯(lián)系起來的話，學(xué)習(xí)者感到更踏實 一些。還有數(shù)學(xué)這種東西數(shù)學(xué)這種東西也是分流派，用不同的方法來學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)，所形成的“氣場”也是完全不同的，如果你被動的陷入無盡 的題海中，而且工作之后，畢業(yè)不了幾年，大部分的數(shù)學(xué)知識都會遺 忘，并且會被你定義為一無是處，毫無用途?？傊?，雖然點集拓撲學(xué)作為本科階段的一門專業(yè)課程，由于它的 高度抽象性，學(xué)習(xí)起來比較困難，但還是應(yīng)該努力學(xué)習(xí)第五篇：設(shè)備點檢學(xué)習(xí)心得設(shè)備點檢學(xué)習(xí)心