第9節(jié) 分式方程與無理方程的解法（解析版）

1、本資料分享自千人教師QQ群323031380 期待你的加入與分享本資料分享自千人教師QQ群323031380 期待你的加入與分享【第9講】 分式方程與無理方程的解法編寫：廖云波 初審：譚光垠 終審：譚光垠 廖云波【基礎(chǔ)知識回顧】知識點(diǎn)1 分式方程分式方程是 HYPERLINK /item/%E6%96%B9%E7%A8%8B/6306 t /item/%E5%88%86%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank 方程中的一種，是指 HYPERLINK /item/%E5%88%86%E6%AF%8D/5421449 t /item/%E5%88%86%E5%BC%8F

2、%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank 分母里含有 HYPERLINK /item/%E6%9C%AA%E7%9F%A5%E6%95%B0/5340037 t /item/%E5%88%86%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank 未知數(shù)或含有未知數(shù)整式的 HYPERLINK /item/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%96%B9%E7%A8%8B/6786262 t /item/%E5%88%86%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank 有理方程知識點(diǎn)2 無理方程根號下含有未知數(shù)的方程，叫做無理方程【合作探究】探

3、究一 分式方程的解法方法一、去分母化分式方程為一元二次方程【例1-1】解方程 【分析】：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程【解析】：原方程可化為： 方程兩邊各項(xiàng)都乘以得，即，整理得：，解得：或檢驗(yàn)：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根所以，原方程的解是歸納總結(jié)：(1) 去分母解分式方程的步驟：把各分式的分母因式分解； 在方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母； 去括號，把所有項(xiàng)都移到左邊，合并同類項(xiàng)； 解一元二次方程； 驗(yàn)根(2) 驗(yàn)根的基本方法是代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)方法二、用換元法化分式方程為一元二次方程【例1-2】解方程 【分析】：本題若直接去分母，會得到一個(gè)四次方程，解方程很困難

4、但注意到方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)，即得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程【解析】：設(shè)，則原方程可化為： 解得或(1)當(dāng)時(shí)，去分母，得；(2)當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)：把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0所以，都是原方程的解歸納總結(jié)：解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，體現(xiàn)了化歸思想【練習(xí)1】解方程 【分析】：注意觀察方程特點(diǎn)，可以看到分式與互為倒數(shù)【解析】：設(shè)，則原方程可化為：(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)：把把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0所以，原方程的解是，探究二 無理方程的解法方法一、平方法解無理方程【例2-1】解方程 【解析】：移項(xiàng)得：，兩邊平方得：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)

5、得：，解得：或檢驗(yàn)：把代入原方程，左邊右邊，所以是增根 把代入原方程，左邊 = 右邊，所以是原方程的根所以，原方程的解是歸納總結(jié)：含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無理方程的一般步驟：移項(xiàng)，使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式，其余各項(xiàng)均移到方程的右邊；兩邊同時(shí)平方，得到一個(gè)整式方程；解整式方程；驗(yàn)根【練習(xí)2-1】解方程 【分析】：直接平方將很困難可以把一個(gè)根式移右邊再平方，這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模式，再用例4的方法解方程 【解析】：原方程可化為： ，兩邊平方得：整理得：，兩邊平方得：，整理得：，解得：或檢驗(yàn)：把代入原方程，左邊=右邊，所以是原方程的根 把代入原方程，左邊右邊，所以是增根所以，原方程

6、的解是方法二、換元法解無理方程【例2-2】解方程 【分析】：本題若直接平方，會得到一個(gè)一元四次方程，難度較大注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：因此，可以設(shè)，這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程處理 【解析】：設(shè)，則 原方程可化為：，即，解得：或(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程無解檢驗(yàn)：把分別代入原方程，都適合所以，原方程的解是歸納總結(jié)：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程，體現(xiàn)了化歸思想【課后作業(yè)】A 組1解下列方程：(1) (2)(3) (4) 2用換元法解方程：3解下列方程：(1) (2) (3) 4解下列方程：(1) (2) 5用換元法解下列方程：(1) (2) B 組1解下列方程：(1) (2) (3) (4) 2用換