山西省太原市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題策略幾何分冊(cè)第1章直角三角形

1、第一編 點(diǎn)擊基本圖形第1章 直角三角形直角三角形是含有內(nèi)角為的特殊三角形，它是一類基本圖形直角三角形的有趣性質(zhì)在處理平面幾何問(wèn)題中常發(fā)揮重要作用性質(zhì)一個(gè)三角形為直角三角形的充要條件是兩條邊長(zhǎng)的平方和等于第三條邊長(zhǎng)的平方（勾股定理及其逆定理）性質(zhì)一個(gè)三角形為直角三角形的充要條件是一邊上的中線長(zhǎng)等于該邊長(zhǎng)的一半推論直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)性質(zhì)為直角三角形，且為直角頂點(diǎn)的充要條件是當(dāng)在邊上的射影為時(shí)，下列五個(gè)等式之一成立（1）（2）（3）（4）（5）事實(shí)上，由，有注意到公用，知而，故即可得（1）的充分性我們又由，即即可證得（4）的充分性其余的證明略推論非等腰為直角三角形，且為直角頂點(diǎn)的充要條件是

2、當(dāng)在邊上的射影為時(shí)，事實(shí)上，由性質(zhì)中的（1）、（2）相除或（4）、（5）相除即證下面，另證充分性由，有 而，即有由此即可證性質(zhì)為直角三角形，且為直角頂點(diǎn)的充要條件是當(dāng)在邊上的射影為點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)的直線（或）交（或）于，在上的射影為時(shí)，（或）證明必要性如圖，過(guò)作交于，則，且，即有，即 又，有 在中，有， 將代入得將代入得充分性由，注意到及，有再注意到性質(zhì)（4）即證對(duì)于的情形也類似上述證明性質(zhì)為直角三角形，且為直角頂點(diǎn)的充要條件是當(dāng)為邊上異于端點(diǎn)的任一點(diǎn)時(shí)，證明必要性如圖，作交的延長(zhǎng)線于，則由將前述式代入上式化簡(jiǎn)即可證充分性令，在與中，應(yīng)用余弦定理得注意到，化簡(jiǎn)得，所以而已知有，從而即證性質(zhì)如圖，在中

3、，為斜邊上的高，分別為和的內(nèi)心，過(guò)，的直線交于，交于；延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于；設(shè)為的內(nèi)心，則（1）（2）（3），且（4）三直線，共點(diǎn)（5），且（6）證明（1）（2）由，知同理（3）由，有又，則，即故，共圓，則于是，即同理在中，有由此即證得（4）由，及在的平分線上，則在的中垂線上，即，又，則同理，故與相交于的垂心，而，故過(guò)此垂心，即三直線，共點(diǎn)（5）聯(lián)結(jié)，易知，分別在，上，且有，即為的垂心，得又，設(shè)交于，有，則故 （6）延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，則，分別在，上由，可知為的中垂線，為的中垂線，有，即故為的外心，于是即性質(zhì)如圖，在中，為直角，于，的內(nèi)心分別為，；圓與圓的另一條外公切線交于，交于，交于；所在直線

4、交于，交于，交于；設(shè)圓，圓，圓的半徑分別為，則（1）（2）（3）（4）（5）當(dāng)?shù)陌胫荛L(zhǎng)分別為，時(shí)，（6），為一垂心組（7）（8）以邊上的中線為直徑的圓必與內(nèi)切圓圓相切（9），（10）（11）設(shè)的內(nèi)心為，則為平行四邊形（12）延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，則、三點(diǎn)共線（13）設(shè)圓切于，圓切于，圓與圓的另一條內(nèi)公切線（不同于）交于，則，及，分別三點(diǎn)共線（14）延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，則（15）證明（1）由知而，故（2）由，知，共圓，從而，故（3）由，知故同理，故由上亦推之，四點(diǎn)共圓（4），（5）由，知，而，從而有，前兩式之和加或減第三式的倍即證得（5）（6）設(shè)的延長(zhǎng)線交于，由，知，從而知同理，即知為的垂心，故，

5、為一垂心組（7）設(shè)為中點(diǎn)，則由（2），則，故（8）由于為的中點(diǎn)，則為的外心設(shè)的中點(diǎn)為，則圓與圓相切（其中為的外接圓半徑），注意到為的中線，則，其中，即，由此即證（9）利用切線長(zhǎng)關(guān)系即可推得前式，后式由內(nèi)切圓半徑與邊長(zhǎng)關(guān)系即可推得（10）由，知從而知，四點(diǎn)共圓，則有又，故（11）顯然，在上由及（6）知，（因）又，從而即有同理，故為平行四邊形（12）因?yàn)槠叫兴倪呅危勺C，則，從而，有，即故，三點(diǎn)共線（13）由，知，四點(diǎn)共圓，則或，即又，則又，則，三點(diǎn)共線同理，三點(diǎn)共線（14）注意到，由，即證（15）證法令，則，由張角定理，有而，于是證法延長(zhǎng)至，使由，知從而，即，亦即故性質(zhì)在中，為斜邊，則（1）的內(nèi)

6、切圓半徑（2）當(dāng)圓與邊上的高、及的外接圓均相切且切于點(diǎn)時(shí)，圓的半徑，且平分事實(shí)上，對(duì)于（2）設(shè)為的中點(diǎn)，為圓的圓心，令，則，由，即知又令，則，由有，即，從而而，即從而，即知平分例（年克羅地亞數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）若通過(guò)同一頂點(diǎn)的高線、角平分線、中線將該角四等分求的三個(gè)內(nèi)角解如圖，不失一般性，設(shè)、分別為過(guò)頂點(diǎn)的高線、角平分線、中線設(shè)，則，在和中應(yīng)用正弦定理，有，從而，即而，故故例（年克羅地亞數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知的邊的中線和高恰好將等分求的三個(gè)內(nèi)角解如圖，設(shè)、分別為邊上的高和中線則由角平分線性質(zhì)，有即，從而于是例（年第屆土耳其國(guó)家數(shù)學(xué)奧林匹克題）已知滿足，的平分線和過(guò)頂點(diǎn)的高線、中線與邊分別交于點(diǎn)、證明的充分必

7、要條件是證明 充分性：若，因?yàn)闉橹芯€，則，即又，故必要性：如圖，若，又，則作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則所以，、四點(diǎn)共圓從而，于是，為四邊形的外接圓的直徑易知與不垂直，又平分，所以，也為外接圓的直徑因?yàn)?，所以為圓心即，故為直角三角形，例 設(shè)、分別表示三角形頂點(diǎn)所對(duì)邊上的中線長(zhǎng)，高線長(zhǎng)，為直角三角形，且為直角頂點(diǎn)的充要條件是下列兩式之一成立（1）（2）證明提示 （1）注意到三角形的中線長(zhǎng)公式（如）及性質(zhì)即證（2）注意到面積關(guān)系及性質(zhì)即證例 為直角三角形，且為直角頂點(diǎn)的充要條件是下述條件成立設(shè)，分別為所對(duì)邊上的中線長(zhǎng)，高線長(zhǎng)及的平分線長(zhǎng)時(shí)，證明 設(shè)、分別是邊上的中線、高線、的平分線中，由角平分線的判定與性質(zhì)

8、知，平分的充要條件是而例 結(jié)論 （其中）例 在中，為直角頂點(diǎn)（1）設(shè)內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，記，則（2）設(shè)被內(nèi)切圓切點(diǎn)分為兩段，則證明 （1）略（2）設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由即例 在中，在上，則的充要條件是證明 設(shè)，則，即的充要條件為，即例 如圖，在中，為上異于，的點(diǎn)，則的充要條件是證明 必要性設(shè)，由余弦定理，得，兩式相加，由于，得整理即得充分性由出發(fā)，得，應(yīng)用余弦定理，得故例 如圖，設(shè)（為直角）的內(nèi)切圓圓與的三邊分別切于，的垂心分別為，則是等腰直角三角形證明 延長(zhǎng)交于，聯(lián)結(jié)，由已知得，分別在，上其余連線如圖所示易知是正方形，所以，且又因?yàn)?，是的垂心，由含角的三角形性質(zhì)，知，所以另一方面，所以即得從而

9、是平行四邊形，所以 又因?yàn)?，所以且因?yàn)槭堑妊拇剐模?，所以同時(shí)因?yàn)椋即怪?，所以由，知，所以是平行四邊形，所以同理結(jié)合是等腰直角三角形知是等腰直角三角形例 設(shè)是斜邊上的高（設(shè)），分別是，的內(nèi)心，的外接圓圓分別交，于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，則，分別是的內(nèi)心與旁心證明 如圖，因，則知的外接圓圓心在上聯(lián)結(jié)，則由，為內(nèi)心，知，所以于是，四點(diǎn)共圓，所以又因?yàn)椋瑒t知點(diǎn)在上，即為與的交點(diǎn)設(shè)與圓的另一交點(diǎn)為，由，可知，分別為，的中點(diǎn)，所以因此，分別為的內(nèi)心與旁心注 （1）由例知為圓與圓的公切線，且可推證為的內(nèi)心（2）此例即為年江西省競(jìng)賽題練習(xí)一1（2003年第29屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克題）已知中，為直角，為邊

10、上一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且證明：2（2003年第17屆北歐數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知正內(nèi)一點(diǎn)，滿足證明：由線段、為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形3（20072008年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克題）設(shè)是的邊的中點(diǎn)，、的外心分別為、，直線、交于點(diǎn)若，求的面積4（2003年泰國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題）在中，是內(nèi)的角平分線上的點(diǎn)，（異于、）是邊上的點(diǎn)，直線，、分別交邊、于點(diǎn)、如果，求5（2004年克羅地亞數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）在中，是直角邊，是斜邊，圓是的外接圓設(shè)圓是與斜邊、高及圓的劣弧相切的圓，圓是與斜邊、高及圓的劣弧相切的圓，又設(shè)，分別是圓、圓的半徑，證明：6（2005年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)培訓(xùn)題）在直角三角形中，它的內(nèi)切圓分別與邊、相切于點(diǎn)、，聯(lián)結(jié)

11、，與內(nèi)切圓相交于另一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、已知，求證：7（數(shù)學(xué)通報(bào)數(shù)學(xué)問(wèn)題1489號(hào)）在中，是斜邊上的高，分別是，的內(nèi)切圓，兩圓的另一條外公切線分別交直線，于，點(diǎn)，求證：（1）；（2）8（中學(xué)數(shù)學(xué)2006（7）數(shù)學(xué)奧林匹克問(wèn)題179）在正方形中，以邊的中點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)半圓，半圓的圓心在邊上，并與邊相切，與半圓外切于點(diǎn)求證：是和的公切線9在中，斜邊于，分別為，的內(nèi)心，過(guò)，的直線交于，交于，交于，交直線于，過(guò)作的外接圓的切線交直線于，的平分線交于，交于，則（1）；（2）10中，于，的內(nèi)切圓半徑為；，的內(nèi)心分別為，的外接圓半徑為，則為直角三角形的充要條件是11中，于，的內(nèi)切圓分別切，于，則為直角三角形的充要條件12為直角三