數(shù)字信號(hào)處理(第三版)課后答案及學(xué)習(xí)指導(dǎo)第二章-課件

1、第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)與重要公式2.2FT和ZT的逆變換2.3分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻率特性2.4例題2.5習(xí)題與上機(jī)題解答2.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)與重要公式數(shù)字信號(hào)處理中有三個(gè)重要的數(shù)學(xué)變換工具， 即傅里葉變換（FT）、 Z變換（ZT）和離散傅里葉變換（DFT）。 利用它們可以將信號(hào)和系統(tǒng)在時(shí)域空間和頻域空間相互轉(zhuǎn)換， 這大大方便了對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)的分析和處理。 三種變換互有聯(lián)系， 但又不同。 表征一個(gè)信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性是用傅里葉變換。 Z變換是傅里葉變換的一種推廣， 單位圓上的Z變換就是傅里葉變換。在z域進(jìn)行分析問(wèn)題會(huì)感到既靈活又方便。 離散傅里葉變換是離散化的傅里葉變換， 因此用

2、計(jì)算機(jī)分析和處理信號(hào)時(shí)， 全用離散傅里葉變換進(jìn)行。 離散傅里葉變換具有快速算法FFT， 使離散傅里葉變換在應(yīng)用中更加方便與廣泛。 但是離散傅里葉變換不同于傅里葉變換和Z變換， 它將信號(hào)的時(shí)域和頻域， 都進(jìn)行了離散化， 這是它的優(yōu)點(diǎn)。 但更有它自己的特點(diǎn)， 只有掌握了這些特點(diǎn)， 才能合理正確地使用DFT。 本章只學(xué)習(xí)前兩種變換， 離散傅里葉變換及其FFT將在下一章學(xué)習(xí)。2.1.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)（1） 傅里葉變換的正變換和逆變換定義， 以及存在條件。 （2）傅里葉變換的性質(zhì)和定理： 傅里葉變換的周期性、 移位與頻移性質(zhì)、 時(shí)域卷積定理、 巴塞伐爾定理、 頻域卷積定理、 頻域微分性質(zhì)、 實(shí)序列和一般序列的

3、傅里葉變換的共軛對(duì)稱(chēng)性。 （3）周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及周期序列的傅里葉變換表示式 。（4）Z變換的正變換和逆變換定義， 以及收斂域與序列特性之間的關(guān)系。（5） Z變換的定理和性質(zhì)： 移位、 反轉(zhuǎn)、 z域微分、 共軛序列的Z變換、 時(shí)域卷積定理、 初值定理、 終值定理、 巴塞伐爾定理。 （6） 系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)的求解。 （7） 用極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。 （8） 零狀態(tài)響應(yīng)、 零輸入響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解。 （9） 用零極點(diǎn)分布定性分析并畫(huà)出系統(tǒng)的幅頻特性。 2.1.2重要公式（1）這兩式分別是傅里葉變換的正變換和逆變換的公式。 注意正變換存在的條件是序列服從絕對(duì)可和的條件，

4、 即（2） 這兩式是周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì)， 可用以表現(xiàn)周期序列的頻譜特性。 （3） 該式用以求周期序列的傅里葉變換。 如果周期序列的周期是N， 則其頻譜由N條譜線(xiàn)組成， 注意畫(huà)圖時(shí)要用帶箭頭的線(xiàn)段表示。（4） 若y(n)=x(n)*h(n), 則這是時(shí)域卷積定理。（5） 若y(n)=x(n)h(n), 則這是頻域卷積定理或者稱(chēng)復(fù)卷積定理。 （6） 式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共軛對(duì)稱(chēng)序列和共軛反對(duì)稱(chēng)序列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。 （7） 這兩式分別是序列Z變換的正變換定義和它的逆Z變換定義。 （8） 前兩式均稱(chēng)為巴塞伐爾定理， 第一式是用序列的傅里葉

5、變換表示， 第二式是用序列的Z變換表示。 如果令x(n)=y(n)， 可用第二式推導(dǎo)出第一式。（9） 若x(n)=a|n|, 則x(n)=a|n|是數(shù)字信號(hào)處理中很典型的雙邊序列， 一些測(cè)試題都是用它演變出來(lái)的。 2.2FT和ZT的逆變換（1） FT的逆變換為 用留數(shù)定理求其逆變換， 或者將z=ej代入X(ej)中， 得到X(z)函數(shù)， 再用求逆Z變換的方法求原序列。 注意收斂域要取能包含單位圓的收斂域， 或者說(shuō)封閉曲線(xiàn)c可取單位圓。 例如， 已知序列x(n)的傅里葉變換為求其反變換x(n)。 將z=ej代入X(ej)中， 得到因極點(diǎn)z=a， 取收斂域?yàn)閨z|a|， 由X(z)很容易得到x(n

6、)=anu(n)。 （2） ZT的逆變換為求Z變換可以用部分分式法和圍線(xiàn)積分法求解。 用圍線(xiàn)積分法求逆Z變換有兩個(gè)關(guān)鍵。 一個(gè)關(guān)鍵是知道收斂域以及收斂域和序列特性之間的關(guān)系， 可以總結(jié)成幾句話(huà)： 收斂域包含點(diǎn)， 序列是因果序列； 收斂域在某圓以?xún)?nèi)， 是左序列； 收斂域在某圓以外， 是右序列； 收斂域在整個(gè)z面， 是有限長(zhǎng)序列； 以上、 、 均未考慮0與兩點(diǎn)， 這兩點(diǎn)可以結(jié)合問(wèn)題具體考慮。另一個(gè)關(guān)鍵是會(huì)求極點(diǎn)留數(shù)。 2.3分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻率特性求信號(hào)與系統(tǒng)的頻域特性要用傅里葉變換。 但分析頻率特性使用Z變換卻更方便。 我們已經(jīng)知道系統(tǒng)函數(shù)的極、 零點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)的頻率特性， 因此可以用分

7、析極、 零點(diǎn)分布的方法分析系統(tǒng)的頻率特性， 包括定性地畫(huà)幅頻特性， 估計(jì)峰值頻率或者谷值頻率， 判定濾波器是高通、 低通等濾波特性， 以及設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的濾波器（內(nèi)容在教材第5章）等。根據(jù)零、 極點(diǎn)分布可定性畫(huà)幅頻特性。 當(dāng)頻率由0到2變化時(shí)， 觀(guān)察零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度和極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度的變化， 在極點(diǎn)附近會(huì)形成峰。 極點(diǎn)愈靠進(jìn)單位圓， 峰值愈高； 零點(diǎn)附近形成谷， 零點(diǎn)愈靠進(jìn)單位圓， 谷值愈低， 零點(diǎn)在單位圓上則形成幅頻特性的零點(diǎn)。 當(dāng)然， 峰值頻率就在最靠近單位圓的極點(diǎn)附近， 谷值頻率就在最靠近單位圓的零點(diǎn)附近。 濾波器是高通還是低通等濾波特性， 也可以通過(guò)分析極、 零點(diǎn)分布確定， 不必等畫(huà)出幅度特性再確定

8、。 一般在最靠近單位圓的極點(diǎn)附近是濾波器的通帶； 阻帶在最靠近單位圓的零點(diǎn)附近， 如果沒(méi)有零點(diǎn)， 則離極點(diǎn)最遠(yuǎn)的地方是阻帶。 參見(jiàn)下節(jié)例2.4.1。 2.4例題例2.4.1已知IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)試判斷濾波器的類(lèi)型（低通、 高通、 帶通、 帶阻）。 （某校碩士研究生入學(xué)考試題中的一個(gè)簡(jiǎn)單的填空題）解： 將系統(tǒng)函數(shù)寫(xiě)成下式:系統(tǒng)的零點(diǎn)為z=0， 極點(diǎn)為z=0.9， 零點(diǎn)在z平面的原點(diǎn)， 不影響頻率特性， 而惟一的極點(diǎn)在實(shí)軸的0.9處， 因此濾波器的通帶中心在=0處。 毫無(wú)疑問(wèn)， 這是一個(gè)低通濾波器。 例2.4.2假設(shè)x(n)=xr(n)+jxi(n)， xr(n)和xj(n)為實(shí)序列， X

9、(z)=ZTx(n)在單位圓的下半部分為零。 已知求X（ej）=FTx(n)。解： Xe(ej)=FTxr(n)因?yàn)閄(ej)=02所以X(e-j)=X(ej(2-)=00當(dāng)0時(shí)， ， 故當(dāng)2時(shí)， X(ej)=0， 故02因此ReX(ej)=X(ej)ImX(ej)=0例2.4.3已知0nNN+1n2Nn0, 2Nn求x(n)的Z變換。 解： 題中x(n)是一個(gè)三角序列， 可以看做兩個(gè)相同的矩形序列的卷積。 設(shè)y(n)=RN(n)*RN(n), 則 n00nN1Nn2N12Nn將y(n)和x(n)進(jìn)行比較， 得到y(tǒng)(n1)=x(n)。 因此 Y（z）z1=X(z)Y(z)=ZTRN(n)ZTR

10、N(n)故例2.4.4時(shí)域離散線(xiàn)性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 （1） 要求系統(tǒng)穩(wěn)定， 確定a和b的取值域。 （2） 要求系統(tǒng)因果穩(wěn)定， 重復(fù)（1）。 解： （1） H(z)的極點(diǎn)為a、 b， 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是收斂域包含單位圓， 即單位圓上不能有極點(diǎn)。 因此， 只要滿(mǎn)足|a|1, |b|1即可使系統(tǒng)穩(wěn)定， 或者說(shuō)a和b的取值域?yàn)槌龁挝粓A以的整個(gè)z平面。（2） 系統(tǒng)因果穩(wěn)定的條件是所有極點(diǎn)全在單位圓內(nèi)， 所以a和b的取值域?yàn)?|a|1, 0|b|1例2.4.5, f1=10 Hz， f2=25 Hz， 用理想采樣頻率Fs=40 Hz對(duì)其進(jìn)行采樣得到。 （1） 寫(xiě)出的表達(dá)式;（2） 對(duì)進(jìn)行頻譜分

11、析， 寫(xiě)出其傅里葉變換表達(dá)式， 并畫(huà)出其幅度譜；（3）如要用理想低通濾波器將cos(2f1t)濾出來(lái)， 理想濾波器的截止頻率應(yīng)該取多少？解：（2） 按照采樣定理, 的頻譜是x(t)頻譜的周期延拓， 延拓周期為Fs=40 Hz，x(t)的頻譜為畫(huà)出幅度譜如圖2.4.1所示。圖2.4.1（3） 觀(guān)察圖2.4.1， 要把cos(2f1t)濾出來(lái)， 理想低通濾波器的截止頻率fc應(yīng)選在10 Hz和20 Hz之間，可選fc15 Hz。 如果直接對(duì)模擬信號(hào)x(t)=cos(2f1t)+cos(2f2t)進(jìn)行濾波， 模擬理想低通濾波器的截止頻率選在10 Hz和25 Hz之間， 可以把10 Hz的信號(hào)濾出來(lái)，

12、但采樣信號(hào)由于把模擬頻譜按照采樣頻率周期性地延拓， 使頻譜發(fā)生變化，因此對(duì)理想低通濾波器的截止頻率要求不同。 例2.4.6對(duì)x(t)=cos(2t)+cos(5t)進(jìn)行理想采樣， 采樣間隔T=0.25 s， 得到， 再讓通過(guò)理想低通濾波器G(j)， G(j)用下式表示:(1) 寫(xiě)出的表達(dá)式;(2) 求出理想低通濾波器的輸出信號(hào)y(t)。解：(1)（2） 為了求理想低通濾波器的輸出， 要分析的頻譜。 中的兩個(gè)余弦信號(hào)頻譜分別為在0.5和1.25的位置， 并且以2為周期進(jìn)行周期性延拓， 畫(huà)出采樣信號(hào)的頻譜示意圖如圖2.4.2（a）所示， 圖2.4.2（b）是理想低通濾波器的幅頻特性。 顯然， 理想

13、低通濾波器的輸出信號(hào)有兩個(gè)， 一個(gè)的數(shù)字頻率為0.5， 另一個(gè)的數(shù)字頻率為0.75， 相應(yīng)的模擬頻率為2和3， 這樣理想低通濾波器的輸出為y(t)=0.25cos(2t)+cos(3t)圖2.4.22.5習(xí)題與上機(jī)題解答1 設(shè)X(ej)和Y(ej)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換， 試求下面序列的傅里葉變換： (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n)(9)解：（1） 令n=nn0, 即n=n+n0， 則（2）（3） 令n=n， 則（4） FTx(n)*y(n)=X(

14、ej)Y(ej) 下面證明上式成立： 令k=nm, 則（5） 或者 （6） 因?yàn)閷?duì)該式兩邊求導(dǎo)， 得到因此（7） 令n=2n， 則或者（8） 利用（5）題結(jié)果， 令x(n)=y(n), 則（9）令n=n/2， 則2 已知求X(ej)的傅里葉反變換x(n)。 解： 3. 線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實(shí)序列， 試證明輸入x(n)=A cos(0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為解： 假設(shè)輸入信號(hào)x(n)=ej0n，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)， 則系統(tǒng)輸出為上式說(shuō)明當(dāng)輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)序列時(shí)， 輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列， 且頻率相同， 但幅度

15、和相位取決于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)。 利用該性質(zhì)解此題：上式中|H(ej)|是的偶函數(shù)， 相位函數(shù)是的奇函數(shù)， |H(ej)|=|H(e-j)|， ()=(), 故4設(shè)將x(n)以4為周期進(jìn)行周期延拓， 形成周期序列， 畫(huà)出x(n)和的波形， 求出的離散傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。解： 畫(huà)出x(n)和的波形如題4解圖所示。 題4解圖或者 5. 設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列運(yùn)算或工作：題5圖(1)(2)(3)(4) 確定并畫(huà)出傅里葉變換實(shí)部ReX(ej)的時(shí)間序列xa(n)；(5)(6)解(1)(2)(3)（4） 因?yàn)楦道锶~變換的實(shí)部對(duì)應(yīng)序列的共軛對(duì)稱(chēng)部

16、分， 即按照上式畫(huà)出xe(n)的波形如題5解圖所示。題5解圖(5)(6) 因?yàn)橐虼? 試求如下序列的傅里葉變換：(1) x1(n)=(n3)(2)(3) x3(n)=anu(n)0a1(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解(1)(2)(3)(4)或者: 7 設(shè)： （1） x(n)是實(shí)偶函數(shù)， （2） x(n)是實(shí)奇函數(shù)， 分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下， 其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。 解：令(1) 因?yàn)閤(n)是實(shí)偶函數(shù)， 對(duì)上式兩邊取共軛， 得到因此 X(ej)=X*（ej）上式說(shuō)明x(n)是實(shí)序列， X(ej)具有共軛對(duì)稱(chēng)性質(zhì)。 由于x(n)是偶函數(shù)， x(n) sin是奇函數(shù)， 那么因

17、此該式說(shuō)明X(ej)是實(shí)函數(shù)， 且是的偶函數(shù)。 總結(jié)以上, x(n)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)， 對(duì)應(yīng)的傅里葉變換X(ej)是實(shí)函數(shù)， 是的偶函數(shù)。 （2） x(n)是實(shí)奇函數(shù)。 上面已推出， 由于x(n)是實(shí)序列， X(ej)具有共軛對(duì)稱(chēng)性質(zhì)， 即 X(ej)=X*(ej)由于x(n)是奇函數(shù)， 上式中x(n) cos是奇函數(shù)， 那么因此 這說(shuō)明X(ej)是純虛數(shù)， 且是的奇函數(shù)。 8 設(shè)x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對(duì)稱(chēng)序列xe(n)和共軛反對(duì)稱(chēng)序列xo(n)， 并分別用圖表示。 解：xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。 題8解圖9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分別求出其偶

18、函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。解：因?yàn)閤e(n)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X(ej)的實(shí)部， xo(n)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X(ej)的虛部乘以j， 因此10 若序列h(n)是實(shí)因果序列， 其傅里葉變換的實(shí)部如下式： HR(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解：11 若序列h(n)是實(shí)因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解： 12 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n), 0a1， 輸入序列為x(n)=(n)+2(n2)完成下面各題： (1) 求出系統(tǒng)輸出序列y(n)； (2) 分別求出x

19、(n)、 h(n)和y(n)的傅里葉變換。 解(1)(2)13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣， 得到采樣信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)x(n)， 試完成下面各題： （1） 寫(xiě)出的傅里葉變換表示式Xa(j)； （2） 寫(xiě)出和x(n)的表達(dá)式； （3） 分別求出的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。 解： 上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在， 引入奇異函數(shù)函數(shù)， 它的傅里葉變換可以表示成： （2） （3）式中式中0=0T=0.5 rad上式推導(dǎo)過(guò)程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)函數(shù)才能寫(xiě)出它的傅里

20、葉變換表示式。 14 求出以下序列的Z變換及收斂域:(1) 2nu(n)(2) 2nu(n1)(3) 2nu(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10)解(1)(2)(3)(4) ZT(n)=10|z|(5) ZT(n1)=z10|z|(6)15 求以下序列的Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫(huà)出極零點(diǎn)分布圖。 (1) x(n)=RN(n)N=4(2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=0.25 rad(3)式中， N=4。解(1)由z41=0， 得零點(diǎn)為由z3(z1)=0， 得極點(diǎn)為 z1, 2=0, 1零極點(diǎn)圖和收斂域

21、如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點(diǎn)相互對(duì)消。題15解圖(2) 零點(diǎn)為極點(diǎn)為極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(b)所示。(3)令y(n)=R4(n), 則x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y(z)2因?yàn)橐虼藰O點(diǎn)為z1=0, z2=1零點(diǎn)為在z=1處的極零點(diǎn)相互對(duì)消， 收斂域?yàn)?|z|， 極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(c)所示。16 已知求出對(duì)應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達(dá)式。 解： X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)： z1=0.5, z2=2， 因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序

22、列。 （1）收斂域|z|0.5： 令n0時(shí)， 因?yàn)閏內(nèi)無(wú)極點(diǎn)，x(n)=0;n1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0 ， 但z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)有z1=0.5, z2=2， 那么(2)收斂域0.5|z|2:n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 0 ， 但 0 是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1)最后得到（3）收斂域|z|2: n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 2，n0時(shí)， 由收斂域判斷， 這是一個(gè)因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但

23、0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無(wú)極點(diǎn)， 所以x(n)=0。 最后得到17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分別求： (1) x(n)的Z變換；(2) nx(n)的Z變換；(3) anu(n)的Z變換。解： (1)(2)(3)18 已知分別求： （1） 收斂域0.5|z|2對(duì)應(yīng)的原序列x(n)。 解：（1） 收斂域0.5|z|2:n0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(

24、n1)=2|n|n2:n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2，n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， 可是c外沒(méi)有極點(diǎn)， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反變換：(1)(2)解： (1)(2)20 設(shè)確定性序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)用下式表示： 試用x(n)的Z變換X(z)和x(n)的傅里葉變換X(ej)分別表示自相關(guān)函數(shù)的Z變換Rxx(z)和傅里葉變換Rxx(ej)。解： 解法一令m=n+m, 則解法二因?yàn)閤(n)是實(shí)序列， X(ej)=X*(ej)， 因此21 用Z變換法解下列差分方程：

25、 (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)=1， y(n)=0n1(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 當(dāng)n3時(shí)。解： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0n1n0時(shí)， n0時(shí)， y(n)=0最后得到 y(n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n)(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n), y(1)=1, y(n)=0 n1n0時(shí)， n0時(shí)， y(n)=0最后得到 y(n)=0.4

26、5(0.9)n+0.5u(n)(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 當(dāng)n2時(shí)Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=1n0時(shí)， y(n)=4.365 0.3n+6.375 0.5nn0時(shí), y(n)=0最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n)22 設(shè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為（1） 在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)， 即|H(ej)|=常數(shù)；（2） 參數(shù) a 如何取值， 才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？畫(huà)出其極零點(diǎn)分布及收斂域。 解：(1

27、)極點(diǎn)為a, 零點(diǎn)為a1。 設(shè)a=0.6， 極零點(diǎn)分布圖如題22解圖(a)所示。 我們知道|H(ej)|等于極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度除以零點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度， 按照題22解圖(a)， 得到因?yàn)榻枪茫?，且AOBAOC， 故，即故H(z)是一個(gè)全通網(wǎng)絡(luò)。 或者按照余弦定理證明:題22解圖（2） 只有選擇|a|1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。 設(shè)a=0.6， 極零點(diǎn)分布圖及收斂域如題22解圖(b)所示。 23 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1） 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 并畫(huà)出極零點(diǎn)分布圖；（2） 限定系統(tǒng)是因果的， 寫(xiě)出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)；（3

28、） 限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的， 寫(xiě)出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)將上式進(jìn)行Z變換， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1因此零點(diǎn)為z=0。 令z2z1=0， 求出極點(diǎn)： 極零點(diǎn)分布圖如題23解圖所示。 題23解圖(2) 由于限定系統(tǒng)是因果的， 收斂域需選包含點(diǎn)在內(nèi)的收斂域， 即。 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以用兩種方法， 一種是令輸入等于單位脈沖序列， 通過(guò)解差分方程， 其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)； 另一種方法是求H(z)的逆Z變換。 我們采用第二種方法。 式中，令n0時(shí)， h(n)=ResF

29、(z), z1+ResF(z), z2因?yàn)閔(n)是因果序列, n0時(shí)， h(n)=0， 故(3) 由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域， 即|z2|z|z1|, n0時(shí)， c內(nèi)只有極點(diǎn)z2， 只需求z2點(diǎn)的留數(shù)， n0時(shí)， c內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn)： z2和z=0， 因?yàn)閦=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即z1, 那么最后得到24 已知線(xiàn)性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1） 求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位脈沖響應(yīng)h(n)； （2） 寫(xiě)出網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)的表達(dá)式， 并定性畫(huà)出其幅頻特性

30、曲線(xiàn)； （3） 設(shè)輸入x(n)=ej0n， 求輸出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1令n1時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.9，n=0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.9 ， 0，最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n)（2） 極點(diǎn)為z1=0.9, 零點(diǎn)為z2=0.9。 極零點(diǎn)圖如題24解圖(a)所示。 按照極零點(diǎn)圖定性畫(huà)出的幅度特性如題24解圖(b)所示。 （3）題24解圖25 已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n) 0a1, 0b1（1） 試用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n

31、)； （2） 試用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)。 解： （1） 用卷積法求y(n)。n0時(shí)， n0時(shí)，y(n)=0最后得到（2） 用ZT法求y(n)。 ，令n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a、 b, 因此因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng), 所以n0時(shí)， y(n)=0。 最后得到26 線(xiàn)性因果系統(tǒng)用下面差分方程描述： y(n)2ry(n1) cos+r2y(n2)=x(n)式中， x(n)=anu(n), 0a1, 0rmax(r, |a|)， 且n0時(shí)， y(n)=0， 故c包含三個(gè)極點(diǎn)， 即a、 z1、 z2。27 如果x1(n)和x2(n)是兩個(gè)不同的因果穩(wěn)定實(shí)序列， 求證： 式中， X1(ej)和X2(ej)分別

32、表示x1(n)和x2(n)的傅里葉變換。 解： FTx1(n)*x2(n)=X1(ej)X2(ej)進(jìn)行IFT， 得到令n=0, 則由于x1(n)和x2(n)是實(shí)穩(wěn)定因果序列， 因此(1)(2)(3)由（1）、（2）、（3）式， 得到28 若序列h(n)是因果序列， 其傅里葉變換的實(shí)部如下式： 求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解： 求上式的Z的反變換， 得到序列h(n)的共軛對(duì)稱(chēng)序列he(n)為因?yàn)閔(n)是因果序列， he(n)必定是雙邊序列， 收斂域?。?a|z|a1。n1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a，n=0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)： a、 0，因?yàn)閔e(n)=he(n)， 所以29 若序列h(

33、n)是因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。解：令z=ej, 有jHI(ej)對(duì)應(yīng)h(n)的共軛反對(duì)稱(chēng)序列ho(n)， 因此jHI(z)的反變換就是ho(n), 因?yàn)閔(n)是因果序列， ho(n)是雙邊序列， 收斂域取: a|z|a1。n1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a,n=0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a、 0， 因?yàn)閔I(n)=h(n), 所以30*. 假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)如下式：試用MATLAB語(yǔ)言判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解： 調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計(jì)算該系統(tǒng)。 系統(tǒng)響應(yīng)的程序ex230.m如下： %程序ex230.m%調(diào)用roots函數(shù)求極點(diǎn)， 并判斷系

34、統(tǒng)的穩(wěn)定性A=3， 3.98， 1.17， 2.3418， 1.5147； %H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù)p=roots(A) %求H(z)的極點(diǎn)pm=abs(p)； %求H(z)的極點(diǎn)的模if max(pm)1 disp(系統(tǒng)因果穩(wěn)定)， else， disp(系統(tǒng)不因果穩(wěn)定)， end程序運(yùn)行結(jié)果如下： 極點(diǎn)： 0.7486 0.69960.7129i0.6996+0.7129i0.6760由極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)因果穩(wěn)定。31*. 假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)如下式：(1) 畫(huà)出極、 零點(diǎn)分布圖， 并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；(2) 用輸入單位階躍序列u(n)檢查系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解： （1） 求解程序ex231.m如下：

35、%程序ex231.m%判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性A=2， 2.98， 0.17， 2.3418， 1.5147； %H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù)B=0， 0， 1， 5， -50； %H(z)的分子多項(xiàng)式系數(shù)用極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定subplot(2， 1， 1)； zplane(B， A)； %繪制H(z)的零極點(diǎn)圖p=roots(A)； %求H(z)的極點(diǎn)pm=abs(p)； %求H(z)的極點(diǎn)的模if max(pm)1 disp(系統(tǒng)因果穩(wěn)定)， else， disp(系統(tǒng)不因果穩(wěn)定)， end%畫(huà)出u(n)的系統(tǒng)輸出波形進(jìn)行判斷un=ones(1， 700)； sn=filter(B， A， un

36、)； n=0： length(sn)1； subplot(2， 1， 2)； plot(n， sn)xlabel(n)； ylabel(s(n)程序運(yùn)行結(jié)果如下： 系統(tǒng)因果穩(wěn)定。 系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖如題31*解圖所示。題31*解圖（2） 系統(tǒng)對(duì)于單位階躍序列的響應(yīng)如題31*解圖所示， 因?yàn)樗呌诜€(wěn)態(tài)值， 因此系統(tǒng)穩(wěn)定。 32*. 下面四個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)具有一樣的極點(diǎn)分布： 試用MATLAB語(yǔ)言研究零點(diǎn)分布對(duì)于單位脈沖響應(yīng)的影響。 要求： （1） 分別畫(huà)出各系統(tǒng)的零、 極點(diǎn)分布圖；（2） 分別求出各系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)， 并畫(huà)出其波形；（3） 分析零點(diǎn)分布對(duì)于單位脈沖響應(yīng)的影響。 解： 求解程序?yàn)閑x232.m， 程序如下：%程序ex232.mA=1， 1.6， 0.9425； %H(z)的分母多