2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)8.7　空間幾何中的向量方法

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI8.7空間幾何中的向量方法第八章2022內(nèi)容索引0102必備知識(shí) 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破必備知識(shí) 預(yù)案自診【知識(shí)梳理】 1.直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量(1)直線(xiàn)l上的非零向量e以及與的非零向量叫做直線(xiàn)l的方向向量.(2)如果表示非零向量n的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)平面,那么稱(chēng)向量n垂直于平面,記作.此時(shí)把叫做平面的法向量.(3)確定平面的法向量的方法直接法:觀察是否有垂直于平面的向量,若有,則此向量就是法向量.待定系數(shù)法:取平面內(nèi)的兩條相交向量a,b,設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z),e共線(xiàn) 垂直于 n 向量n

2、 2.線(xiàn)面關(guān)系的判定設(shè)直線(xiàn)l1的方向向量為e1=(a1,b1,c1),直線(xiàn)l2的方向向量為e2=(a2,b2,c2),平面的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面的法向量為n2=(x2,y2,z2).(1)若l1l2,則e1e2.(2)若 l1l2,則e1e2.(3)若l1,則e1n1e1n1=0.(4)若l1,則e1n1e1=kn1.(5)若,則n1n2n1=kn2.(6)若,則n1n2n1n2=0.e2=e1 a2=a1,b2=b1,c2=c1 e1e2=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 a1x1+b1y1+c1z1=0 a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1 x1=kx2,y1=

3、ky2,z1=kz2 x1x2+y1y2+z1z2=0 3.利用空間向量求空間角(1)兩條異面直線(xiàn)所成的角設(shè)異面直線(xiàn)a,b所成的角為,則 ,其中a,b分別是直線(xiàn)a,b的方向向量.(2)直線(xiàn)與平面所成的角如圖所示,設(shè)l為平面的斜線(xiàn),l=A,a為l的方向向量,n為平面的法向量,為l與所成的角,則sin =.|cos| |cos |=|cos | 4.利用空間向量求距離(1)點(diǎn)到平面的距離如圖所示,已知AB為平面的一條斜線(xiàn)段,n為平面的法向量,則B到平面的距離為(2)線(xiàn)面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距進(jìn)行求解.常用結(jié)論常用結(jié)論3.解空間角最值問(wèn)題時(shí)往往會(huì)用到最小角定理 如圖,若OA為平面的一條斜線(xiàn),O為

4、斜足,OB為OA在平面內(nèi)的射影,OC為平面內(nèi)的一條直線(xiàn),其中為OA與OC所成的角,1為OA與OB所成的角,即線(xiàn)面角,2為OB與OC所成的角,那么cos =cos 1cos 2.【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)直線(xiàn)的方向向量是唯一確定的.()(2)平面的單位法向量是唯一確定的.()(3)若兩條直線(xiàn)的方向向量不平行,則這兩條直線(xiàn)不平行.()(4)若空間向量a垂直于平面,則a所在直線(xiàn)與平面垂直.()(5)兩條直線(xiàn)的方向向量的夾角就是這兩條直線(xiàn)所成的角.()2.已知向量m,n分別是直線(xiàn)l和平面的方向向量和法向量,若cos=- ,則l與所成的角為()A.30B.

5、60C.120D.150答案 A 解析 由于cos=- ,所以=120,所以直線(xiàn)l與平面所成的角為30.3.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,則平面AB1D1與平面BDC1的距離為()答案 D解析 顯然A1C平面AB1D1,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則平面AB1D1的一個(gè)法向量為n=(a,-a,a),A(a,0,0),B(a,a,0), =(0,-a,0),因?yàn)槠矫鍭B1D1平面BDC1,所以?xún)善矫娴木嚯x為點(diǎn)B到平面AB1D1的距離,則兩平面間的距離答案 B 5.(2020山東威海校際聯(lián)考)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)A

6、BC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2 ,則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1利用空間向量證明平行、垂直【例1】 (2020四川攀枝花三中模擬)如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC= AB,B1C1= BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求證:(1)A1B1平面AA1C;(2)AB1平面A1C1C.證明(1)因?yàn)槎娼茿1-AB-C是直二面角,四邊形A1ABB1為正方形,所以AA1平面BAC. 思考用向量方法證明平行和垂直有哪些基本方法?解題心得1.用向量證明平行的方法(1)線(xiàn)線(xiàn)平行:證明兩直線(xiàn)的方向向量共線(xiàn).(2

7、)線(xiàn)面平行:證明直線(xiàn)的方向向量與平面的某一法向量垂直;證明直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)某直線(xiàn)的方向向量平行.(3)面面平行:證明兩平面的法向量為共線(xiàn)向量;轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行問(wèn)題.2.用向量證明垂直的方法(1)線(xiàn)線(xiàn)垂直:證明兩直線(xiàn)的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零.(2)線(xiàn)面垂直:證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量共線(xiàn).(3)面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C和側(cè)面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M為AA1的中點(diǎn),N為BC1的中點(diǎn).求證:(1)MN平面A1B1C1;(2)平面MBC1平面BB1C1C.證明 由題意知AA

8、1,AB,AC兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正方形AA1C1C的邊長(zhǎng)為2,則A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).令x1=2,則平面MBC1的一個(gè)法向量為n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n2=(0,1,1).因?yàn)閚1n2=20+11+(-1)1=0,所以n1n2,所以平面MBC1平面BB1C1C.考點(diǎn)2利用空間向量求空間角(多考向探究)考向1求異面直線(xiàn)所成的角【例2】 (1)(2017全國(guó)2,理10)已知直三棱柱ABC-A1

9、B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線(xiàn)AB1與BC1所成角的余弦值為()(2)在三棱錐P-ABC中,ABC和PBC均為等邊三角形,且二面角P-BC-A的大小為120,則異面直線(xiàn)PB和AC所成角的余弦值為()答案 (1)C(2)A解析 (1)(方法1)如圖,取AB,BB1,B1C1的中點(diǎn)M,N,P,連接MN,NP,PM,可知AB1與BC1所成的角等于MN與NP所成的角.(2)(方法1)如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接OP,OA,因?yàn)锳BC和PBC均為等邊三角形,所以AOBC,POBC,所以BC平面PAO,即平面PAO平面ABC.且POA就是其二面角P-BC-A的平面角,即P

10、OA=120,建立空間(方法2)如圖所示,取BC的中點(diǎn)O,連接OP,OA,因?yàn)锳BC和PBC是全等的等邊三角形,所以AOBC,POBC,所以POA就是二面角的平面角,解題心得利用向量法求異面直線(xiàn)所成的角時(shí),是通過(guò)兩條直線(xiàn)的方向向量的夾角來(lái)求解,而兩異面直線(xiàn)所成角的范圍是 ,兩向量的夾角的范圍是0,所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系,應(yīng)有cos =|cos |.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2020湖北七校聯(lián)考)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分別是CC1,AD的中點(diǎn),那么異面直線(xiàn)OE和FD1所成的角的余弦值等于()答案 B 考向2求直線(xiàn)與平面所成的角【例3】 如圖,四棱錐P

11、-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).則直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值為.思考如何利用向量法求直線(xiàn)與平面所成的角?解題心得利用向量法求線(xiàn)面角的方法(1)分別求出斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影直線(xiàn)的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角);(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求,即求出斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角,取其余角就是斜線(xiàn)和平面所成的角.答案 A 解析 如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),C1(0,3,1),D

12、1(0,0,1),E(1,1,0),C(0,3,0),所以考向3求二面角的大小【例4】 (2020山東平陰一中月考)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線(xiàn)段PA平面ABCD,若AB=PA,則平面ABP與平面CDP所成的二面角為()A.30B.45C.60D.90答案 B 思考如何利用向量法求二面角?解題心得利用空間向量求二面角的方法(1)分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小;(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求,即設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2,則二面角的大小等于(或-).應(yīng)注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2

13、020遼寧丹東二中模擬)二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),直線(xiàn)AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 .則該二面角的大小為()A.150B.45C.60D.120答案C 考點(diǎn)3求空間距離【例5】 已知三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為.解析如圖所示,三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,以P為原點(diǎn),PA為x軸 ,PB為y軸,PC為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,PA=1,PB=2,PC=3,P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),解題心得

14、利用空間向量求距離的基本方法:(1)兩點(diǎn)間的距離設(shè)點(diǎn)A(x1,y1,z1),點(diǎn)B(x2,y2,z2),(2)點(diǎn)到平面的距離如圖所示,已知AB為平面的一條斜線(xiàn)段,n為平面的法向量,則B到平面的距離為對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中點(diǎn),則點(diǎn)A1到平面MBD的距離是()答案A解析 以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),B(a,a,0),M(a,0, ),A1(a,0,a).要點(diǎn)歸納小結(jié)1.用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題有兩種基本思路:一種是用向量表示幾何量,利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷.另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量,共分三步:(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量(或坐標(biāo))表示問(wèn)題中所涉及的點(diǎn)、線(xiàn)、面,把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;(2)通過(guò)向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系;(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái)解釋相關(guān)問(wèn)題.要點(diǎn)歸納小結(jié)2.向量法通過(guò)空間坐標(biāo)系把空間圖形的性質(zhì)代數(shù)化,避免了尋找平面角和垂線(xiàn)段等諸多麻煩,使空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系的判定和計(jì)算程序化、簡(jiǎn)單化.主要是建系、設(shè)點(diǎn)、計(jì)算向量的坐標(biāo)、利用數(shù)量積的夾角公式計(jì)算.3.利用平面的法向量求二面角的大小時(shí),當(dāng)求出