電子科技大學(xué)大學(xué)物理?xiàng)詈甏嘿|(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

1、力學(xué)(l xu) 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)授課(shuk)教師 楊宏春共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)內(nèi)容(nirng)結(jié)構(gòu)力學(xué)(l xu)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)物理(wl)參量2.1 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)的定量參量2.1.1 作用力力的相互作用是由力的傳播子來(lái)實(shí)現(xiàn)的(1) 力的本質(zhì)(2) 四種基本作用力(3) 生活中常見(jiàn)力及其受力分析方法 (p43，略)共八十頁(yè)2.1.2 慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)物理(wl)參量(1) 萬(wàn)有引力(wn yu ynl)定律萬(wàn)有引力 一切物體都具有相互吸引的作用力引力常量：G=6.6710-11 Nm2/kg2引力質(zhì)量 ：m1、m2 表征了兩個(gè)物體產(chǎn)生與感受引力的量度(2

2、) 慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量萬(wàn)有引力實(shí)驗(yàn)測(cè)試Nm2/kg2共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)物理參量地球表面同一地點(diǎn)重力(zhngl)加速度 g0 實(shí)驗(yàn)測(cè)試M：地球質(zhì)量，mA 物體引力質(zhì)量，mI 物體慣性質(zhì)量，R 地球的半徑1971 實(shí)驗(yàn)：同一地點(diǎn) g0 測(cè)試誤差不超過(guò)10-11 g0 ，為常數(shù)，于是對(duì)任意兩質(zhì)量應(yīng)用方有引力定律取 G=6.6710-11，則 =1，或 mA=mI共八十頁(yè)2.2 力對(duì)物體的瞬時(shí)(shn sh)動(dòng)力學(xué)效應(yīng)牛頓三定律質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)牛頓(ni dn)三定律2.2.1 牛頓三定律(1) 牛頓第一定律物體將保持其相對(duì)靜止或勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直到外力迫使它改變這種狀態(tài) 慣性：物體保持其相對(duì)

3、靜止或勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的內(nèi)稟屬性 慣性狀態(tài)：物體保持相對(duì)靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài) 慣性系：滿(mǎn)足牛頓第一定律的參考系 慣性是保持物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)原因，力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)原因(2) 牛頓第二定律或共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)牛頓三定律 牛頓第二定律(dngl)的瞬時(shí)性、矢量性、獨(dú)立性 給出了慣性質(zhì)量與力的量度方法 牛頓第二定律定量給出了力、慣性質(zhì)量、加速度間的關(guān)系 瞬時(shí)性、矢量性、獨(dú)立性慣性質(zhì)量與力的度量方法給定標(biāo)準(zhǔn)力與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量給定標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)加速度共八十頁(yè)(3) 牛頓(ni dn)第三定律質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)牛頓三定律 作用力和反作用力分別作用于不同物體上，各自產(chǎn)生效應(yīng) 作用力和反作用力性質(zhì)

4、相同，大小相等，方向相反，在同一直線上 作用力與反作用力同時(shí)存在，同時(shí)消失(4) 牛頓三定律間的關(guān)系 牛頓第一定律提出慣性、慣性系概念 牛頓第二定律給出慣性量度及F、m、a之間的定量關(guān)系 牛頓第三定律指出受力分析的原則 三大定律共同構(gòu)成牛頓力學(xué)體系的基礎(chǔ)共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)牛頓(ni dn)三定律2.2.2 牛頓三定律(dngl)的應(yīng)用(1) 牛頓定律應(yīng)用的主要類(lèi)型 已知受力求物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 已知物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求物體受力 已知物體部分運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和部分力求解未知力和運(yùn)動(dòng)狀態(tài) (2) 牛頓定律應(yīng)用的解題步驟 確定研究對(duì)象，分析物體受力 建立坐標(biāo)系，列動(dòng)力學(xué)方程 解算及討論(3) 牛頓定律的應(yīng)用舉例共八十頁(yè)

5、質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)牛頓三定律例2.2.1 光滑水平面上固定一豎直圓筒，半徑為 R，一物體緊靠?jī)?nèi)壁在水平 面上運(yùn)動(dòng)。設(shè)摩擦系數(shù)為，在 t=0 時(shí)，物體的速度為v0求：任意(rny)時(shí)刻物體的速率和運(yùn)動(dòng)的路程解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，選擇自然坐標(biāo)系(1) 任意時(shí)刻物體的速率，列動(dòng)力學(xué)方程 聯(lián)立求解方程 (2) 物體運(yùn)動(dòng)的路程 共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)牛頓三定律例2.2.2：顆粒質(zhì)量(zhling)為 m，受水的浮力為B，受水的阻力：f= -kv，k為常數(shù)求：顆粒由靜止下降過(guò)程中的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律及顆粒的極限速度 解：顆粒下降過(guò)程中速度隨時(shí)間的變化規(guī)律 建立圖示坐標(biāo)系，設(shè) t=0 時(shí)，

6、顆粒速度 v0=0 于是 解之得 當(dāng)時(shí)間增大時(shí)，顆粒速度達(dá)到穩(wěn)定， vT為極限速度共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)牛頓(ni dn)三定律例2.2.3 ：如圖，已知環(huán)套在與豎直(sh zh)軸成 的桿上，其質(zhì)量為 m， 桿繞豎直軸 以 的速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，環(huán)距離軸心距離為 l求：(1) 當(dāng)環(huán)與桿相對(duì)靜止時(shí)，桿對(duì)環(huán)的靜摩擦力(2) 若環(huán)與桿的靜摩擦系數(shù)為s ，欲保持環(huán)靜止，桿的 應(yīng)在什么范圍？ 解：建立圖示坐標(biāo)系，受力分析，設(shè) f 向上，當(dāng)桿與環(huán)保持相對(duì)靜止時(shí) 解此聯(lián)立方程組 (2) 欲保持環(huán)靜止，須滿(mǎn)足 共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)牛頓(ni dn)三定律討論A 當(dāng) f0，下滑趨勢(shì)(qsh)，存在最小角速度 min當(dāng) 即

7、 時(shí)，不存在 min B 當(dāng) f0火箭單位時(shí)間噴出燃?xì)獾馁|(zhì)量等于箭體質(zhì)量的減少 火箭箭體的運(yùn)動(dòng)方程 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)火箭飛行問(wèn)題共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)火箭飛行問(wèn)題(3) 火箭的速度(sd)公式 如果只記重力而忽略空氣阻力，這時(shí)，F(xiàn)=-Mg設(shè) t=0 時(shí) v=0，M=M0，任意時(shí)刻 t，箭體的速度為 v，質(zhì)量為 M火箭箭體在任意時(shí)刻 t 的速度為 如果不考慮地球的重力，箭體的速度公式為 采用多級(jí)火箭 ，火箭最終的末速度為 共八十頁(yè)2.4力對(duì)物體的空間(kngjin)效應(yīng)能量守恒定律 2.4.1功與功率(gngl)(1) 功和功率 功：力和力方向下位移的乘積，稱(chēng)為力對(duì)物體所作的功記微分形式積分

8、形式 理解：A 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)功與功率B 功是標(biāo)量，有正負(fù)之分C 功是相對(duì)量D 功是過(guò)程量，不是狀態(tài)量共八十頁(yè)E 功的獨(dú)立性原理(yunl)功率 力在單位(dnwi)時(shí)間所作的功(2) 幾種常見(jiàn)保守力的作功 例2.4.1：重力沿任意路徑所作的功 解： 定義重力勢(shì)能 則 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)功與功率共八十頁(yè)例2.4.2：彈力(tnl)作功 解 定義彈性勢(shì)能 例2.4.3：萬(wàn)有引力(wn yu ynl)作功 解 定義引力勢(shì)能 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)功與功率共八十頁(yè)例2.4.4：研究質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部(nib)內(nèi)力做功的特點(diǎn) 解：如圖，i、j 質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t 的位矢分別為 ri 和 rj，相對(duì)位置矢量為 rij； 經(jīng) t 的發(fā)生(f

9、shng)微位移 dri 和 drj；內(nèi)力 fij 和 fji 所做元功之和為 因 討論：內(nèi)力做功的特點(diǎn)內(nèi)力做功的代數(shù)和不為零 內(nèi)力做功的多少與參考系的選擇無(wú)關(guān) 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)功與功率共八十頁(yè)2.4.2 單質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能(shnng)與勢(shì)能(shnng)定理 保守力：力對(duì)物體所作的功與中間過(guò)程(guchng)無(wú)關(guān)，稱(chēng)之為保守力非保守力：做功與中間過(guò)程有關(guān)的力稱(chēng)為非保守力 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)勢(shì)能定理保守力：滿(mǎn)足條件或矢量微分算符 共八十頁(yè)勢(shì)能：由于(yuy)物體的某種相對(duì)位置而具有的能量，稱(chēng)為勢(shì)能 只有在保守力場(chǎng)中，才可以引入勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能存在于質(zhì)點(diǎn)系的兩個(gè)或多個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間 勢(shì)能只有相對(duì)意義，而勢(shì)能差具有絕對(duì)意義勢(shì)

10、能定理：保守力所做的功，等于質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能增量的負(fù)值 保守力與勢(shì)能間的關(guān)系質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)勢(shì)能(shnng)定理共八十頁(yè)例2.4.5 輕質(zhì)彈簧(tnhung)下端懸掛質(zhì)量為 m 的物體，彈簧由原長(zhǎng)o點(diǎn)伸長(zhǎng) x0 到A點(diǎn)求：以 A 點(diǎn)為原點(diǎn)，彈簧伸長(zhǎng)任意長(zhǎng)度時(shí)物體系的勢(shì)能 解：設(shè)將物體(wt)從 A 點(diǎn)拉長(zhǎng)至 B 點(diǎn)，彈簧的伸長(zhǎng)量為 x1 因 B點(diǎn)的重力勢(shì)能 (以A為參考點(diǎn))物體系的總勢(shì)能 結(jié)論：系統(tǒng)總勢(shì)能等于以 A 為原點(diǎn)且沒(méi)有懸掛重物時(shí)彈簧的勢(shì)能 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)勢(shì)能定理共八十頁(yè)2.4.3 單質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的動(dòng)能與動(dòng)能定理 動(dòng)能：由于物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，稱(chēng)為動(dòng)能 說(shuō)明：動(dòng)能(dngnng)與參考系的選擇

11、有關(guān)，且恒為正 單質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：合外力對(duì)單質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量 微分形式 積分形式 推導(dǎo)：微分形式 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)動(dòng)能定理共八十頁(yè)a 動(dòng)能定理表明，動(dòng)能定理與狀態(tài)相聯(lián)系b 動(dòng)能定理中的合外力，包含所有外力保守力和非保守力c 單質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的動(dòng)能守恒定理例2.4.6 質(zhì)量 m 的滑塊以初速度 v0 沿切線方向進(jìn)入(jnr)固定于光滑水平桌面上的 半圓形屏障，滑塊和屏障間的摩擦系數(shù)為 求：滑塊滑過(guò)屏障的過(guò)程中，摩擦力的功 解：借助動(dòng)能定理，摩擦力的功為 為求速度v，在法向與切向應(yīng)用牛頓定律法向 切向 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)動(dòng)能定理共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)動(dòng)能定理將積分(jfn)變量換為 ，

12、有 分離變量積分得 于是 共八十頁(yè)2.4.4 質(zhì)點(diǎn)系的功能(gngnng)原理 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能(gngnng)原理(1) 質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能定理 質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能定理：多質(zhì)點(diǎn)體系的勢(shì)能應(yīng)該等于兩兩質(zhì)點(diǎn)間勢(shì)能之和求和式中使 ji 是為了保證在進(jìn)行逐項(xiàng)計(jì)算中避免重復(fù) 例2.4.7 先將質(zhì)量m=1.00104 kg 的登月艙構(gòu)件從地面發(fā)射到地球的同步軌道 (r1=4.20107 m) 站，裝配后再發(fā)射到月球。地月距離 r2=3.90108 m，地 球半徑 Re=6.37106 m，質(zhì)量 me=5.971024 kg ，月球 Rm=1.74106 m，質(zhì) 量 mm=7.351022 kg求：(1) 只考慮

13、克服地球引力，上述兩步驟發(fā)射中火箭推力各應(yīng)做多少功？ (2) 考慮地球和月球的引力，上述兩步驟發(fā)射中火箭應(yīng)做多少功?共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能原理解：(1) 選無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)， A1 、 A2 分別表從地面到同步軌道(gudo)和從同步 軌道到月球表面火箭所做功?；鸺龉χ辽賾?yīng)等于登月艙勢(shì)能的增量(2) 萬(wàn)有引力是保守力，登月艙在地球表面的引力勢(shì)能為 登月艙在同步定點(diǎn)的引力勢(shì)能為 共八十頁(yè)登月艙在月球(yuqi)表面的引力勢(shì)能為 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能(gngnng)原理于是 考慮到月球引力后，A1無(wú)多大變化，但 A2 的變化比較大，減少了大約35% 例2.4.8 如圖，

14、求任意形狀物體的重力勢(shì)能 解：設(shè)質(zhì)量密度分布為(x,y,z)，總質(zhì)量為m，選擇 xoy 平 面為零勢(shì)能面，建立圖示坐標(biāo)系，體微元 dV 重力勢(shì)能 共八十頁(yè)(2) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理(dn nn dn l)質(zhì)點(diǎn)系所受的所有合外力及所有內(nèi)力(nil)所作的功，等于物體系動(dòng)能的增量 其中，zc 為物體質(zhì)心的 z 分量坐標(biāo) 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能原理微分形式 積分形式 推導(dǎo)：質(zhì)點(diǎn) i 的初動(dòng)能記為 Ei0，末動(dòng)能記 Ei ，由單質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理 共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能原理將上述(shngsh)各式相加 記 由于 于是 或共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能原理A 適用條件：慣性

15、系，所有質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于同一參考系 B 動(dòng)能定理中的合外力，包含所有外力保守力和非保守力C 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能守恒定理：當(dāng) 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能守恒 例2.3.9 鏈條總長(zhǎng)為 l，質(zhì)量為 m，鏈條與桌面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，鏈 條伸出桌面長(zhǎng)度為 a，令鏈條由靜止(jngzh)開(kāi)始運(yùn)動(dòng) 求(1) 到鏈條離開(kāi)桌面的過(guò)程中，摩擦力對(duì)鏈條做了多少功(2) 鏈條離開(kāi)桌面時(shí)的速率是多少？ 解(1) 如圖建坐標(biāo)系，某一時(shí)刻的摩擦力為 摩擦力做的功 共八十頁(yè)(2) 鏈條(lintio)在下化過(guò)程中，重力做功為 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能(gngnng)原理應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，考慮到鏈條得初速度 v0=0，有 求解上式，可得 共八十

16、頁(yè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能(gngnng)原理(3) 質(zhì)點(diǎn)系的功能(gngnng)原理 考慮質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 同時(shí)令 聯(lián)立上述三個(gè)方程，得 定義機(jī)械能：物體系動(dòng)能與勢(shì)能的總和稱(chēng)為機(jī)械能 功能原理：外力與非保守內(nèi)力對(duì)物體系所作的功，等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量 共八十頁(yè)A 成立條件：慣性系B 功能原理中，只計(jì)及非保守(boshu)內(nèi)力和合外力作功質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能(gngnng)原理(4) 機(jī)械能守恒與能量守恒定律 當(dāng)外力與非保守內(nèi)力做功的代數(shù)和為零時(shí)，物體系機(jī)械能守恒 孤立系，開(kāi)放系 能量守恒定律 能量守恒定律對(duì)應(yīng)物理規(guī)律的時(shí)間平移對(duì)稱(chēng)性或不變性 共八十頁(yè)例2.4.10 倔強(qiáng)系數(shù)為 k 的輕彈簧豎直放

17、置，下端連接一質(zhì)量為 m 的物體， 開(kāi)始時(shí)使彈簧為原長(zhǎng)而物體 m 恰好(qiho)與地面接觸求 將彈簧緩慢提起，使 m 剛能脫離地面時(shí)止，此過(guò)程中外力作的功 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能原理解 建立如圖所示的坐標(biāo)系，物體 m 脫離地面的條件所以外力作的功為例2.4.11 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)在 xoy 平面上運(yùn)動(dòng)，位矢量式中 a、b、 是正值常數(shù)，且 ab求 t=0 到 t=/(2) 時(shí)間內(nèi)合外力的功及分力 Fx、Fy 的功共八十頁(yè)解：合外力(wil)所作的功合外力當(dāng) t=0 時(shí)，x=a， y=0；當(dāng) t= /(2) 時(shí)，x=0， y=b質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能(gngnng)原理合外力的

18、功為分力 Fx、Fy 的功為 共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能原理例2.4.12 光滑地面上有一輛質(zhì)量為 M 的小車(chē)，小車(chē)上一長(zhǎng)為 l 的輕繩將小 球 m 懸掛于 o 點(diǎn)。把繩拉至水平(shupng)并靜止釋放求 小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速率解： 取小車(chē)、小球和地球?yàn)橄到y(tǒng)，只有保守內(nèi)力重力作功(1)水平方向(不受外力)動(dòng)量守恒(2)解式(1)、(2)得小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速率為共八十頁(yè)例2.4.13 半徑為 R 、質(zhì)量為 M 且表面光滑的半球置于光滑水平面上，在其 正上方放置一質(zhì)量為 m 的物體，當(dāng)物體從頂端無(wú)初速地下滑，在如 圖所示的 角位置處，開(kāi)始脫離球面求 (1) 角滿(mǎn)足(mnz

19、)的關(guān)系式 (2) 分別討論 m/M1 時(shí) cos 的取值 解 (1) 小物體脫離球面(qimin)前相對(duì)球面(qimin)作圓運(yùn)動(dòng)，沿法向有 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能原理(1)脫離球面的條件是：N=0取地面為參考系，以 m、M 為系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒(2) 共八十頁(yè)以 m、M 和 地球 為系統(tǒng)(xtng)，機(jī)械能守恒，于是(3)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能原理式(2)、(3)中的 vx、v 是 m 相對(duì)地面的速度(4)(5)解式(1)-(5)得共八十頁(yè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系的功能原理(2) 當(dāng) m/Mm 時(shí)，cos=2/3，這相當(dāng)于 M 不動(dòng) 當(dāng) m/M1，即 mM 時(shí)，有：cos3 -3cos +2=0， 分解(fnji)因式： (cos -1)2(cos +2)=0，即 cos =1，=0，M 瞬時(shí)滑出，m 豎直下落例2.4.14 質(zhì)量為 M 的彈簧振子水平放置并靜止在平衡位置， 質(zhì)量為 m 的子 彈以水平速度 v 射入振子并隨之運(yùn)動(dòng)。M 與地面間的摩擦系數(shù)為 求：彈簧的最大壓縮量解：碰撞過(guò)程 忽略(M+m)在水平方向受到的摩擦力和彈性力，動(dòng)量守恒(1)壓縮過(guò)程 由功能原理得(2