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1、直角三角形中成比例的線(xiàn)段內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1.掌握直角三角形中成比例的線(xiàn)段的性質(zhì),并能初步用它解決“直角三角形斜邊上的高”圖形中的計(jì)算和證明問(wèn)題.2.培養(yǎng)特殊化研究問(wèn)題的方法和方程、轉(zhuǎn)化思想.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)直角三角形中成比例線(xiàn)段性質(zhì)的證明和應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、探索基本圖形中的重要性質(zhì)讓學(xué)生復(fù)習(xí)并挖掘圖5100中的基本性質(zhì).已知:在圖5100中,CB=90,CDAB于D.(1)圖中有幾條線(xiàn)段?(答:6條,分別記為AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.)(2)圖中有幾個(gè)銳角?數(shù)量有何關(guān)系?(3)圖中有幾對(duì)相似三角形?可寫(xiě)出幾組比例式?(4)觀察第(3)題的結(jié)果,有幾個(gè)帶有比例中項(xiàng)
2、的比例式?如何用一句話(huà)概括敘述這幾個(gè)比例中項(xiàng)的表達(dá)式?(5)圖中由面積公式可推出怎樣一個(gè)等積式?說(shuō)明:(1)通過(guò)這幾個(gè)問(wèn)題,以新帶舊,引導(dǎo)學(xué)生挖掘圖5100中所蘊(yùn)含的重要性質(zhì).如果學(xué)生的程度較好,教師可只給出圖形,讓學(xué)生嘗試展開(kāi)豐富聯(lián)想,自己從幾個(gè)方面歸納總結(jié),培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力.(2)由圖中ABDCBDABC,可分別寫(xiě)出三組比例式: (ACDCDB);(CBDABC); (ACDABC).在教師啟發(fā)下,學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)只有三個(gè)比例中項(xiàng)的表達(dá)式,即CD2=ADBD,CD2=BDBA,CD2=ADAB,簡(jiǎn)稱(chēng)“射影定理”.(3)因?yàn)檎n本中刪掉了“射影”的概念,而且射影定理的兩個(gè)結(jié)論無(wú)法將以上三個(gè)比例中
3、項(xiàng)統(tǒng)一表達(dá),為了減少學(xué)生所需記憶的概念,教師可啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想基本圖形5101(公邊共角)中的重要結(jié)論有公邊共角的兩個(gè)相似三角形中,公邊是兩個(gè)三角形落在一條直線(xiàn)上的兩邊的比例中項(xiàng).讓學(xué)生用特殊化的方法結(jié)合圖形對(duì)號(hào)記憶,教師用彩色粉筆,或加顏色的復(fù)合投影片突出顯示,讓學(xué)生加深印象,切實(shí)掌握這種簡(jiǎn)捷的記憶方法:相似ABD與CBD的公邊是CD,共角是90(推廣理解),公邊CD是ACD與CBD落在一直線(xiàn)上的AD,BD的比例中項(xiàng).相似CBD與ABC的公邊是CB,共角是B,公邊CB是CBD與ABC落在一條直線(xiàn)上的兩邊BD與BA的比例中項(xiàng).相似ACD與ABC的公邊是AC,共角是A,公邊AC是ACD與ABC落在一
4、條直線(xiàn)上的兩邊AD與AB的比例中項(xiàng).(4)圖中由三角形的面積公式很快能得到一個(gè)常用結(jié)論:ACCB=ABCD,在“已知直角三角形的兩邊,求斜邊上的高”這一類(lèi)問(wèn)題中,使用它能迅速得到答案.(5)“直角三角形中成比例線(xiàn)段”的這些結(jié)論,書(shū)上都未作為定理出現(xiàn),熟悉它們能迅速找到解題的思路.但使用時(shí),必須先從證明相似三角形入手,寫(xiě)一篇證明過(guò)程.(6)利用“射影定理”可證明“勾股定理”,在圖5100中,a2=nc,b2=mc,a2+b2=nc+mc=c(n+m)=c2.例1 如圖5100,CD是RtABC的斜邊上的高.(1)已知AD=9 cm,CD=6 cm,求BD.還能求出哪些線(xiàn)段的長(zhǎng)?(2)已知AB=2
5、5 cm,BD=15 cm,求BD.還能求出哪些線(xiàn)段的長(zhǎng)?說(shuō)明:(1)在學(xué)生練習(xí)的基礎(chǔ)上,教師可進(jìn)行講評(píng),注意根據(jù)線(xiàn)段間的關(guān)系選擇簡(jiǎn)捷的方法進(jìn)行計(jì)算,并注意糾正學(xué)生只顧計(jì)算,而過(guò)程跳步等書(shū)寫(xiě)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)腻e(cuò)誤.(2)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):在圖5100的六條線(xiàn)段中,知道其中的任何兩條,都可以求出其余四條,只不過(guò)解題順序不同.可讓學(xué)生課下將例題中已知的兩條線(xiàn)段換成其他四條線(xiàn)段中的任意兩條,以尋找各種情況下最簡(jiǎn)捷的方法.例2 圖5102(a)中,CD垂直平分AB,點(diǎn)E在CD上,DFAC,DGBE,F(xiàn),G分別為垂足.求證:AFAC=BGBE.分析:引導(dǎo)學(xué)生將圖1102(a)分解出兩個(gè)基本圖形5102(b)和(c),
6、再觀察結(jié)論,就會(huì)發(fā)現(xiàn),所要證的等積式的左、右兩邊分別滿(mǎn)足圖5102(b)和(c)中的射影定理AFAC=AD2,BGBE=DB2,通過(guò)代換線(xiàn)段的平方(AD2=DB2)就可以證明所要的結(jié)論.說(shuō)明:教師可制作投影片(復(fù)合、翻轉(zhuǎn)、抽拉、旋轉(zhuǎn))對(duì)此題作變形推廣,使學(xué)生在圖形的變化中熟悉并掌握射影定理的使用方法,見(jiàn)圖5103.(1)在圖5103(c)中,求證:CFCA=CGCB.(2)在圖5103(a)中,求證:FGBC=CEBG.(3)(選用)在圖5103(d)中,求證:CD3=AFBGAB;BC2:AC2=CF:FA;BC3:AC3=BG:AE.在課堂上,可讓學(xué)生按難易順序練習(xí)第(1),(2)題,第(
7、3)題留待本意復(fù)習(xí)課時(shí)專(zhuān)門(mén)學(xué)習(xí)a3,a2:b2,a3:b3類(lèi)型題的解法.思路:在第(1)題中,觀察圖形則發(fā)現(xiàn)分別使用CD2=CFCA和CD2=CGCB即可得到證明.第(2)題培養(yǎng)學(xué)生用綜合分析法探求解題的思路.逆探:欲證FGBC=CEBG,只需證,而這四條線(xiàn)段分別屬于BFG和BEC,能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形存在公共角EBC,可選用“兩角對(duì)應(yīng)相等”或“兩邊對(duì)應(yīng)成比例,夾角相等”來(lái)證明相似.順推:圖5103(a)可分解出兩個(gè)射影定理的基本圖形“RtADE中DGBE”及“RtBDC中DFBC”,在兩個(gè)三角形中分別使用射影定理中的BD2進(jìn)行代換,得到BGBE=BFBC,化成比例式后,可用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例,夾
8、角相等”來(lái)證明含有公共角EBC和BFG和BEC相似.三、師生共同小結(jié)1.直角三角形中重要的比例式和比例中項(xiàng)的表達(dá)式射影定理.2.已知“直角三角形斜邊上的高”圖形中六條線(xiàn)段中的任意兩條,就可求出其余四條線(xiàn)段,有時(shí)需要用到方程的思想.3.在復(fù)雜圖形中分解出射影定理的基本圖形來(lái)使用它的性質(zhì)進(jìn)行證明,是一種常用的證明段段等積式的方法,必要時(shí)需結(jié)合代換線(xiàn)段或線(xiàn)段的等積式來(lái)解決問(wèn)題.四、作業(yè)課本第246頁(yè)第6項(xiàng),選作第247頁(yè)B組第3題.補(bǔ)充題:1.已知:如圖5104,RtACB中,CDAB于D,在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取BE=BC,連結(jié)EA,ED.求證:1=2.(提示:利用射影定理,并代換線(xiàn)段得到EB2=BDBA,證明EBDABE.)2.已知:如圖5105.RtABC中,CDAB于D,E為BC上的任一點(diǎn),EFAB于F.求證:AC2=ADAF+CDEF.(提示:結(jié)合射影定理AC2=ADAB,逆向探索解題思路:分析法得出只需證
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