[教學(xué)設(shè)計]直角三角形中成比例的線段

1、直角三角形中成比例的線段內(nèi)容教學(xué)目標1.掌握直角三角形中成比例的線段的性質(zhì)，并能初步用它解決“直角三角形斜邊上的高”圖形中的計算和證明問題.2.培養(yǎng)特殊化研究問題的方法和方程、轉(zhuǎn)化思想.教學(xué)重點和難點直角三角形中成比例線段性質(zhì)的證明和應(yīng)用.教學(xué)過程設(shè)計一、探索基本圖形中的重要性質(zhì)讓學(xué)生復(fù)習(xí)并挖掘圖5100中的基本性質(zhì).已知：在圖5100中，CB=90，CDAB于D.(1)圖中有幾條線段?(答：6條，分別記為AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.)(2)圖中有幾個銳角?數(shù)量有何關(guān)系?(3)圖中有幾對相似三角形?可寫出幾組比例式?(4)觀察第(3)題的結(jié)果，有幾個帶有比例中項

2、的比例式?如何用一句話概括敘述這幾個比例中項的表達式?(5)圖中由面積公式可推出怎樣一個等積式?說明：(1)通過這幾個問題，以新帶舊，引導(dǎo)學(xué)生挖掘圖5100中所蘊含的重要性質(zhì).如果學(xué)生的程度較好，教師可只給出圖形，讓學(xué)生嘗試展開豐富聯(lián)想，自己從幾個方面歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力.(2)由圖中ABDCBDABC，可分別寫出三組比例式： (ACDCDB);(CBDABC); (ACDABC).在教師啟發(fā)下，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)只有三個比例中項的表達式，即CD2=ADBD，CD2=BDBA，CD2=ADAB，簡稱“射影定理”.(3)因為課本中刪掉了“射影”的概念，而且射影定理的兩個結(jié)論無法將以上三個比例中

3、項統(tǒng)一表達，為了減少學(xué)生所需記憶的概念，教師可啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想基本圖形5101(公邊共角)中的重要結(jié)論有公邊共角的兩個相似三角形中，公邊是兩個三角形落在一條直線上的兩邊的比例中項.讓學(xué)生用特殊化的方法結(jié)合圖形對號記憶，教師用彩色粉筆，或加顏色的復(fù)合投影片突出顯示，讓學(xué)生加深印象，切實掌握這種簡捷的記憶方法：相似ABD與CBD的公邊是CD，共角是90(推廣理解)，公邊CD是ACD與CBD落在一直線上的AD，BD的比例中項.相似CBD與ABC的公邊是CB，共角是B，公邊CB是CBD與ABC落在一條直線上的兩邊BD與BA的比例中項.相似ACD與ABC的公邊是AC，共角是A，公邊AC是ACD與ABC落在一

4、條直線上的兩邊AD與AB的比例中項.(4)圖中由三角形的面積公式很快能得到一個常用結(jié)論：ACCB=ABCD，在“已知直角三角形的兩邊，求斜邊上的高”這一類問題中，使用它能迅速得到答案.(5)“直角三角形中成比例線段”的這些結(jié)論，書上都未作為定理出現(xiàn)，熟悉它們能迅速找到解題的思路.但使用時，必須先從證明相似三角形入手，寫一篇證明過程.(6)利用“射影定理”可證明“勾股定理”，在圖5100中，a2=nc,b2=mc,a2+b2=nc+mc=c(n+m)=c2.例1 如圖5100，CD是RtABC的斜邊上的高.(1)已知AD=9 cm，CD=6 cm，求BD.還能求出哪些線段的長?(2)已知AB=2

5、5 cm,BD=15 cm，求BD.還能求出哪些線段的長?說明：(1)在學(xué)生練習(xí)的基礎(chǔ)上，教師可進行講評，注意根據(jù)線段間的關(guān)系選擇簡捷的方法進行計算，并注意糾正學(xué)生只顧計算，而過程跳步等書寫不嚴謹?shù)腻e誤.(2)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：在圖5100的六條線段中，知道其中的任何兩條，都可以求出其余四條，只不過解題順序不同.可讓學(xué)生課下將例題中已知的兩條線段換成其他四條線段中的任意兩條，以尋找各種情況下最簡捷的方法.例2 圖5102(a)中，CD垂直平分AB，點E在CD上，DFAC，DGBE，F(xiàn)，G分別為垂足.求證：AFAC=BGBE.分析：引導(dǎo)學(xué)生將圖1102(a)分解出兩個基本圖形5102(b)和(c)，

6、再觀察結(jié)論，就會發(fā)現(xiàn)，所要證的等積式的左、右兩邊分別滿足圖5102(b)和(c)中的射影定理AFAC=AD2，BGBE=DB2，通過代換線段的平方(AD2=DB2)就可以證明所要的結(jié)論.說明：教師可制作投影片(復(fù)合、翻轉(zhuǎn)、抽拉、旋轉(zhuǎn))對此題作變形推廣，使學(xué)生在圖形的變化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，見圖5103.(1)在圖5103(c)中，求證：CFCA=CGCB.(2)在圖5103(a)中，求證：FGBC=CEBG.(3)(選用)在圖5103(d)中，求證：CD3=AFBGAB；BC2：AC2=CF:FA;BC3：AC3=BG：AE.在課堂上，可讓學(xué)生按難易順序練習(xí)第(1)，(2)題，第(

7、3)題留待本意復(fù)習(xí)課時專門學(xué)習(xí)a3,a2:b2,a3:b3類型題的解法.思路：在第(1)題中，觀察圖形則發(fā)現(xiàn)分別使用CD2=CFCA和CD2=CGCB即可得到證明.第(2)題培養(yǎng)學(xué)生用綜合分析法探求解題的思路.逆探：欲證FGBC=CEBG，只需證，而這四條線段分別屬于BFG和BEC，能發(fā)現(xiàn)這兩個三角形存在公共角EBC，可選用“兩角對應(yīng)相等”或“兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等”來證明相似.順推：圖5103(a)可分解出兩個射影定理的基本圖形“RtADE中DGBE”及“RtBDC中DFBC”，在兩個三角形中分別使用射影定理中的BD2進行代換，得到BGBE=BFBC，化成比例式后，可用“兩邊對應(yīng)成比例，夾

8、角相等”來證明含有公共角EBC和BFG和BEC相似.三、師生共同小結(jié)1.直角三角形中重要的比例式和比例中項的表達式射影定理.2.已知“直角三角形斜邊上的高”圖形中六條線段中的任意兩條，就可求出其余四條線段，有時需要用到方程的思想.3.在復(fù)雜圖形中分解出射影定理的基本圖形來使用它的性質(zhì)進行證明，是一種常用的證明段段等積式的方法，必要時需結(jié)合代換線段或線段的等積式來解決問題.四、作業(yè)課本第246頁第6項，選作第247頁B組第3題.補充題：1.已知：如圖5104，RtACB中，CDAB于D，在CB的延長線上截取BE=BC，連結(jié)EA，ED.求證：1=2.(提示：利用射影定理，并代換線段得到EB2=BDBA，證明EBDABE.)2.已知：如圖5105.RtABC中，CDAB于D，E為BC上的任一點，EFAB于F.求證：AC2=ADAF+CDEF.(提示：結(jié)合射影定理AC2=ADAB，逆向探索解題思路：分析法得出只需證