車位分配問題數(shù)學(xué)建模

1、停車場車位分配問題研究摘要某寫字樓的停車位數(shù)目一定，主要提供寫字樓辦公人員辦卡包年或包月使 用，為了使停車場空置率減少，以及免于有卡卻沒有車位產(chǎn)生沖突的尷尬， 我們 必須對停車流量進行模擬分析，建立合理的最佳的車位分配管理方法， 并得到最 大的收益。首先對附表中數(shù)據(jù)進行分析，因為我們得到的是四月份的停車流量， 為了方 便分析研究，我們應(yīng)該把數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為停車量。我們從中引入了概率進行模擬。 假 設(shè)停在停車場中的車輛在各個時間段離開是按照泊松分布，即可分別求的到來的和離開的車輛數(shù)目，就可以方便得得到停車量這個關(guān)鍵的數(shù)據(jù)。分析結(jié)果如下表 所示：時 間 段123456789101112131415停 車

2、 量22541472001941941691551471521409462260定義沖突卞S率一1, Ii為第i個時間段進入停車場的車輛數(shù)目。由于第四時212間段為停車高峰期，因此原則這一時間段進行分析。樣本服從正態(tài)分布，用3原則，即可求出當0.05時的最大售卡量為 240張。制定更好的車位分配方案時則將卡的種類分為年卡和月卡， 通過設(shè)定年卡和 月卡的價格來控制相應(yīng)的銷量，從而使收益最大。運用邊際函數(shù)相關(guān)知識，設(shè)立 目標函數(shù)和約束條件，用 Lingo軟件即可計算出當0.05時年卡和月卡最佳銷售價格以及張數(shù)如下表所示：卡的種類小月卡卡的價格/元17023卡的數(shù)量/張125115關(guān)鍵詞：泊松分布，

3、正態(tài)分布，邊際函數(shù)問題分析與重述問題一：題目要求模擬附表中停車流量， 分析停車量的統(tǒng)計規(guī)律。停車流量與停 車量是兩個不同的概念，要分析停車量的統(tǒng)計規(guī)律就必須弄清楚來到停車場的車 輛數(shù)目以及離開停車場的車輛數(shù)目。而題目所給的條件中我們只知道停車流量， 也就是車離開與來到的總的次數(shù)，因此我們假設(shè)車的離開服從泊松分布， 運用概 率來求出單位時間內(nèi)車輛離開的數(shù)目，這樣也就可以知道單位時間內(nèi)車輛到來的 數(shù)目，它們兩者的差值也就是我們所要求的停車量。問題二：定義沖突概率，求若沖突概率低于0.05情形下，計算最大售卡量。根據(jù)附表中停車流量數(shù)據(jù)，以及上題對停車量的分析，我們可以知道在第四個時 問段，即早上9:

4、00-10:00停車量是最多的，也就是在這段時間產(chǎn)生沖突的概率 是最大的，為了計算最大售卡量，我們就取這段時間進行分析。將四月份這段時 問的這些數(shù)據(jù)就行整理，做高峰期停車量與次數(shù)的柱狀圖，近似服從正態(tài)分布， 求出均值后再用3原則，即可求出最多可以停車的數(shù)量，也就是最大售卡量。問題三：此問要求設(shè)計出最佳車位分配管理方式， 使得收益最大。也就是在滿足 沖突概率低于一定值的條件下，找到它與收益的平衡點。我們從售卡種類，價格, 數(shù)量出發(fā)，設(shè)計方案將利潤最大化。首先將卡分為年卡和月卡，兩者的價格和銷 量則按照經(jīng)濟學(xué)的編輯函數(shù)計算得出，列出目標函數(shù)和約束條件，用 Lingo軟件 即可求出我們所需的數(shù)據(jù)。1

5、）問題一.符號定義與說明表1.1符號定義與說明符號定義與說明Ii第i個時間段進入停車場的車輛數(shù)目Oi第i個時間段離開停車場的車輛數(shù)目Ni第i個時間段的停車量Ti第i個時間段的停車流量P泊松分布概率k泊松分布父量泊松分布期望或方差.模型假設(shè)假設(shè)在第i個時間段初了最后一個時間段來到停車場停車的車輛不會在這個時間段離開，都是在第(i 1)之后的時間段離開。假設(shè)在一天結(jié)束之后，所有車都離開停車場。假設(shè)車輛在各個時間段離開的數(shù)量服從泊松分布。假設(shè)售卡數(shù)量為212張。.模型建立與求解已知各時間段的停車流量Ti ,目的是要求出各個時間段的停車量 ni。停車流量是單位時間內(nèi)來到停車場的車輛數(shù)目與離開停車場的車

6、輛數(shù)目的和，單位時間的停車量則是來到停車場的車輛數(shù)目與離開停車場的車輛數(shù)目的差值。這兩者的關(guān)系如下面兩式所示：Ti Ii Oi (1)Ni Ii Oi(2)由(1)式，(2)式可知：Ni Ii 2Oi (3)因此，問題的關(guān)鍵就是要求出 O- 由假設(shè)第三條即：假設(shè)車輛在各個時間段離開的數(shù)量服從泊松分布kP(X k) e (k 0,1,2,)k!再根據(jù)假設(shè)第一條即：假設(shè)在第i個時間段初了最后一個時間段來到停車場停車的車輛不會在這個時間段離開，都是在第(i 1)之后的時間段離開，就可以列出以下式子：第1個時間段：Ii 工 Ni ;Oi 0;第2個時間段：。2 Il P(X 1)；2 T2 O2 ；N

7、2 T2 202 ；第3個時間段：03 I1 P(X 2) I2 P(X 1);I3 T3 O3；N3 T3 2O3；第i個時間段：Oi I1 P(X i 1) I2 P(X i 2) . Ii P(X 1);Ii Ti ONi Ti 2Oi；用上述計算公式即可計算出單位時間內(nèi)也就是每個時間段的進入停車場車 輛的數(shù)目和離開停車場車輛的數(shù)目。用折線圖來表示如下圖所示：代表每個時間段進入停車場的車輛的數(shù)目?代表每個時間段離開停車場的車輛的數(shù)目66 t0 121416 IE 20時間號軍裝各個方較*停妁車羯圖1.1各時間段停車場進出車輛數(shù)目 根據(jù)上圖容易得到各時間段停車量如圖表所示：2口 180 1

8、60 140 120用1QDm80 EB 40 200圖1.2停車場各時間段停車量綜上所述，各時間段的進入停車場的車輛的數(shù)目，離開停車場的車輛的數(shù)目以及停車量如下表所示：表1.2各時間段停車量與停車流量i123456789101112131415Ti2242131161148160143134138135132114724635Ii223711210771805960657060342055Oi0519547780847473657280524130Ni22541472001941941691551471521409462260從圖1.2和表1.2中可以看出，在9點以前停車量是不斷上升的，在

9、9點到10點之間有一個停車量最大值，然后就是稍稍下降和持平。到了 11點，出現(xiàn)一 次明顯的下降，在15點時有一個較小的峰值，等到16點之后，停車量迅速減小 直至所有車都離開停車場。2）問題二.符號定義與說明表2.1符號定義與說明符號定義與說明沖突概率Ii第i個時間段進入停車場的車輛數(shù)目x第4個時間段來到停車場車輛數(shù)目的均值S第4個時間段來到停車場車輛數(shù)目的方差M第4個時間段來到停車場車輛數(shù)目的中位數(shù)J持卡人來停車的概率L取人售K里.模型假設(shè)假設(shè)汽車來到停車場的時間服從均勻分布假設(shè)忽略工作日和休息日的區(qū)別。假設(shè)停車場現(xiàn)售出212張卡。.模型建立與求解a.定義沖突概率：定義可以停車場發(fā)生沖突也就是

10、來到停車場的車的數(shù)量比停車場車位的數(shù)量多有兩種可能：一天中有 的時間段出現(xiàn)車位不夠的現(xiàn)象當來到停車場的車輛數(shù)目大于車位數(shù)的1 時為沖突我們選用第二種方式定義沖突概率，也就是：L 1212b.求最大售卡量：由第一問可知，在第四時間段即 9:00-10:00停車量是最多的，所以這個時 間段發(fā)生沖突的概率最大，如果其他時間段發(fā)生了沖突，這個時間段必然也會發(fā) 生沖突，因此，想要得到最大售卡量，只要考慮這個時間段即可。以9:0010:00這個時間段來到停車場的車輛數(shù)目為橫坐標，以達到相同來車數(shù) 目的次數(shù)為縱坐標作柱狀圖得到這個時間段即最高峰來車數(shù)分布直方圖如下圖 所示：最高峰停車數(shù)分布直方圖圖2.1最高

11、峰來車數(shù)分布直方圖從上圖可以看出，第四時間段來車分布近似服從正態(tài)分布 整理第四個時間段數(shù)據(jù)得出：第4個時間段來到停車場車輛數(shù)目的均值為：x 199的方差為:第4個時間段來到停車場車輛數(shù)目的 中位數(shù):M 181正態(tài)分布檢驗:Q 0.9 M 1,1xx 3可認為樣本大致呈正態(tài)分布根據(jù)正態(tài)分布的3原則，在3倍S的區(qū)間內(nèi)事情發(fā)生的概率為 99%,也就 是說有199+12=211輛車停在停車場的概率為99%。由于該停車場有212各車位, 允許發(fā)生沖突的概率為0.05,所以該時間段的停車上限為212*1.05=223,所以， 加上沖突后可以多讓233-211=22個人來停車。假設(shè)持卡人來停車的概率為LJ的

12、得來：J ,那么計算最大售卡量的公式為:212212 1根據(jù)可能來到停車場中的車和在停車場中的車與時間段作散點圖,并連成折線圖如下圖所示:實現(xiàn)代表可能到停車場的車，虛線代表已經(jīng)在停車場中的車圖2.2各時段停車場占用率折線圖從圖中可以看出，還沒到停車場中的車輛數(shù)目也就是有卡卻遭遇沖突的車輛 數(shù)目，因此：J 1 0.2 0.8綜上所述：當 0.05時，最大售卡量L 240。3)問題三.符號定義與說明表3.1符號定義與說明符號定義與說明Py年卡的單價Pm月卡的單價Qy年卡的銷售量Qm月卡的銷售量Y收益.模型建立與求解將卡的種類分為年卡和月卡，它們價格和銷量不同，我們通過設(shè)定年卡和月 卡的價格來控制相

13、應(yīng)的銷量，從而使收益最大。運用經(jīng)濟學(xué)中邊際函數(shù)的相關(guān)概念，我們可以得到以下關(guān)系式：Qy 90 2Py 3% (1)Qm 70 4Pm Py (2)偏邊際：-Qy 2;Py交叉邊際：& 3 ;Pm偏邊際表示當月卡的價格不變時，年卡的價格每增加1單位，年卡的銷量就 會降低2單位。而交叉邊際表示當年卡的價格不變時，月卡的價格每增加一個單 位，年卡的銷量就會增加3單位。類似的我們有：偏邊際：_Qm4Pm交叉邊際：_Qm 1Py偏邊際表示當年卡的價格不變時，年卡的價格每增加1單位，年卡的銷量就 會降低4單位。而交叉邊際表示當月卡的價格不變時，月卡的價格每增加一個單 位，年卡的銷量就會增加1單位。一年的收

14、益：Y Qy Py 12Qm Pm2Py2 12Pm 51PyPm 90Py 840Pm約束條件：Py 0；Pm 0 ；且當 0.05時有：Qy Qm 240用Lingo軟件計算得：Py 170 ；Pm 23；將結(jié)果帶入（1）、（2）兩式得：Qy 125；Qm 115。從該結(jié)果中可以得到，我們在售卡時在沖突概率小于 0.05的條件下年卡實 125張，月卡賣112張，其中年卡單價為170,月卡單價為23。這樣得到收益最 高的分配方式。四.附錄附錄一：計算持卡人停車概率的程序：st=1:15;x0=0.1,0.9; t,x=ode45(ill,st,x0); plot(t,x(:,1),.,t,x(:,2),-),grid,pausefunction y=ill(t,x)