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文檔簡介

1、復數(shù)的概念復數(shù)的兒何意義復數(shù)同四劉運算方山匚高考要求數(shù)系的擴充與復數(shù)的引 入要求層 次重難點復數(shù)的基本概念,復數(shù) 相等的條件B了解數(shù)系的擴充的基本過程與復數(shù)的概 念;掌握復數(shù)的幾何意義與復數(shù)的代數(shù)形式 的四則運算法則復數(shù)的代數(shù)表示法及 幾何意義A復數(shù)代數(shù)形式的四則 運算C復數(shù)代數(shù)形式加減法 的幾何意義A刖就 知識內容一、復數(shù)的概念1.虛數(shù)單位i:它的平方等于-1,即i2 = -1;實數(shù)可以與它進行四則運算,進行四則運算時,原有加、乘運算律仍然成立.i與一1的關系:i就是-1的一個平方根,即方程尤2 =1的一個根,方程尤2 =1的另一個根是-i.(4)i的周期性:i4n+1 = i , i4n+

2、2 = 1 , i4n+3 = i , i4n = 1.2 .數(shù)系的擴充:復數(shù)a + bi J實數(shù) a(b = 0)虛數(shù)a + bi(b。0)純虛數(shù)bi(a = 0)非純虛數(shù)a + bi(a A 0)3.復數(shù)的定義:形如a + bi(a,b e R)的數(shù)叫復數(shù),a叫復數(shù)的實部,b叫復數(shù)的虛部.全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集,用字母C表示 4.復數(shù)的代數(shù)形式:復數(shù)通常用字母乙表示,即z = a + bi (a, b e R),把復數(shù)表示成a +布的形式,叫做 復數(shù)的代數(shù)形式.復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關系:對于復數(shù)a + bi (a, b e R),當且僅當b = 0時,復數(shù)a + bi (a

3、, b e R)是實數(shù)a ;當b A 0時,復數(shù)z = a + bi叫做虛數(shù);當a = 0且b A 0時,z = bi叫做純虛數(shù);當且僅當 a = b = 0時,z就是實數(shù)0三正實數(shù)I, 之是實數(shù)冰J 2實數(shù)0復數(shù)I上負實數(shù)3 屯虛數(shù)阮、旦點虛數(shù)(Q3,低R)、三曳非純虛數(shù)的虛數(shù)復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關系:N荷Z Q荷R C兩個復數(shù)相等的定義:如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等,那么我們就說這兩個復數(shù)相等.這就是說, 如果a,b,c,d e R,那么 a + bi = c + di o a = c,b = d二、復數(shù)的幾何意義復平面、實軸、虛軸:復數(shù)z = a +貝a,beR)與有序實數(shù)對(a,

4、b)是一一對應關系.建立一一對應的關系.點Z的橫坐標是a,縱坐標是b,復數(shù)z = a + bi(a,b e R)可用點Z(a,b)表示, 這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面,也叫高斯平面,工軸叫做 實軸,J軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數(shù).對于虛軸上的點要除原點外,因為原點對應的有序實數(shù)對為(0,0),它所確定的復數(shù)是z = 0 + 0i = 0表示是實數(shù).除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù).3.復數(shù)z = a + bi 一一對感復平面內的點Z(a,b)這就是復數(shù)的一種幾何意義.也就是復數(shù)的另一種表示方法,即幾何表示方法.三、復數(shù)的四則運算1.復數(shù)zi與z2的和的定義:z + z

5、= (a + bi)+ (c + di) = (a + c )+ (b + d )i 2.復數(shù)zi與z2的差的定義:zi - z2 = (a + bi)-(c + di)= (a - c)+(b - d)i3.復數(shù)的加法運算滿足交換律:z + z = z +z1221復數(shù)的加法運算滿足結合律:(z + z ) + z = z + (z + z )123123乘法運算規(guī)則:設 z = a + bi, z = c + di (a、b、c、 d e R)是任意兩個復數(shù),12那么它們的積 z z =(a + bi)(c + di)= (ac 一bd)+(bc + ad)i其實就是把兩個復數(shù)相乘,類似兩

6、個多項式相乘,在所得的結果中把i 2換成-1, 并且把實部與虛部分別合并.兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù).乘法運算律:z (z z )=(z z ) z12 31 23( z - z ) - z = z - (z - z )123123z1 (z+ zg= z1 z2 + z1 z3滿足(c + di)G + yi)= (a + bi)的復數(shù)x + yi (x、y e R)叫復數(shù)a + bi 除以復數(shù)c + di的商,記為:(a + bi) + (c + di)或者冬 c + di除法運算規(guī)則:設復數(shù)a + bi (a、b e R),除以c + di (c , d e R),其商為 x + yi

7、(工、y e R),即(a + bi) + (c + di)= x + yi(x + yi)(c + di) = (cx - dy)+ (dx + cy)i得ac + bdx =c 2 + d 2bc 一 ady =c2 +d2.(cx - dy)+ (dx + cy)i = a + biI cx - dy = a, 由復數(shù)相等定義可知(,解這個方程組I dx + cy = b.ac + bd bc 一 ad .于是有:(a + bi) + (c + di) =+ic 2 + d 2 c 2 + d 2利用(c + di)(c - di)= c2 + d2于是將業(yè)的分母有理化得: c + di

8、原式=a + bi _(a + bi)(c 一 di) _ ac + bi - (-di) + (bc 一 ad)i c + di(c + di)(c 一 di)c 2 + d 2(ac + bd) + (bc 一 ad )i ac + bd bc 一 ad .=+ i.c 2 + d 2c 2 + d 2 c 2 + d 2.(a + bi) :(c + di)= ac + b + bc-ad ic 2 + d 2 c 2 + d 2點評:是常規(guī)方法,是利用初中我們學習的化簡無理分式時,都是采用的分 母有理化思想方法,而復數(shù)c+di與復數(shù)c-di,相當于我們初中學習的.3 + .J2 的對偶式提-克,它們之積 為1是有理數(shù),而(c + di)(c - di)= c2 + d2是正實 數(shù).所以可以分母實數(shù)化.把這種方法叫做分母實數(shù)化法.共軛復數(shù):當兩個復數(shù)的實部相等,虛部互為相反數(shù)

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