全國卷Ⅰ理數(shù)數(shù)學(xué)高考試題(含答案)

1、2019年全國卷I理科數(shù)學(xué)、選擇題:1.已知集合Mx 4 x 2, Nxx2 x 6 0,則 M N =A. x 4 x 3B. x 4 x 2 C x 2 x 2 D. x 2 x 3(x, y),則2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z i =1, z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為 TOC o 1-5 h z -22(x+1) y 122,(x 1) y 1 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document x (y 1)1 HYPERLINK l bookmark39 o Current Doc

2、ument 22 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document x (y+1)13.已知 a log20.2, b-0.20.32 , c 0.2 ，則a b ca c bc a bb c a4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是痛1.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為105 cm,頭頂至脖子下端的長度為26 cm,則其身高2可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmsinx x5.函數(shù)f(x)=

3、r在,的圖像大致為cosx xD. 190 cm6.我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化.每一 “重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻和陰爻“一 一”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是7.8.9.A. 316B. 1132已知非零向量a, b滿足|a| 2|b|,且(a b)C.如圖是求A.B.A.A= 21C. A=12ASn為等差數(shù)列an 2n 52132D.b,則a與b的夾角為的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入B.D.11162jt3D.1A=2 AA=1 2Aan的前n項(xiàng)和.已知S4 0, a5an 3n 10C. Sn 2n2 8n10.已

4、知橢圓C的焦點(diǎn)為F(1,0)則C的方程為2A. 2y2 12xB. 一311.關(guān)于函數(shù)Sn in22nF41,0),過F2的直線與C交于A, B兩點(diǎn).若| AF2 |2|FzB|,|AB| |BFJ,2 x C.一42 x D.一5f(x) sin | x| |sin x|有下述四個(gè)結(jié)論:f (x)是偶函數(shù)f (x)在區(qū)間(一, 2)單調(diào)遞增f(x)在,有4個(gè)零點(diǎn)其中所有正確結(jié)論的編號是f(x)的最大值為2A.B.C.D.已知三棱錐 P-ABC勺四個(gè)頂點(diǎn)在球 O的球面上，PA=PB=PC 4ABC是邊長為2的正三角形，E, F分別是PA AB 的中點(diǎn)，/ CEF=90 ,則球 O的體積為A 8

5、、.6B, 4、6C. 2、,6D. 6二、填空題：.曲線y 3(x2 x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為 .C記&為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a1 a2 a6,則&=.3甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為，客場取勝的概率為，且各場 比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4 ： 1獲勝的I率是 .22C： x2 4 1(a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于a b已知雙曲線FA 總 FB F2B0 ,則C的離心率為A B兩點(diǎn).

6、三、解答題：(12分)ZXABC 的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)(sin Bsin C)2sin2 A sin Bsin C .(1)求 A;(2)若 J2a b 2c,求 sin C.(12分)如圖，直四棱柱 ABCb ABCD的底面是菱形,AD的中點(diǎn).(1)證明：MM平面CDE(2)求二面角 AMAN的正弦值.(12分)已知拋物線 C: y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為3的直線l與C的交點(diǎn)為A, B,與x軸的交點(diǎn)為P.2(1)若|AF+| BF=4 ,求l的方程;Ap 3pB,(12 分)已知函數(shù) f(x) sin x ln(1 x) , f (x)為 f (x)的導(dǎo)數(shù).證明：(1

7、) f (x)在區(qū)間(1,)存在唯一極大值點(diǎn)；2(2) f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).(12分)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案 如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一 輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得 1分，乙藥得1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得 1分；若都治愈或都

8、未治愈則兩種藥均得 0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為 a和B , 一輪試 驗(yàn)中甲藥的得分記為 X.(1)求X的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi0,1,|,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0 0, p8 1, pi api 1 bpi cpi 1 (i 1,2,“|,7),其中 a P(X 1),b P(X 0), c P(X 1) .假設(shè) 0.5,0.8 .(i)證明：pi 1pi (i 0,1,2,|,7)為等比數(shù)列；(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.22.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系x

9、Oy中，曲線C的參數(shù)方程為U22，1 t (t為參數(shù))4tt2以坐標(biāo)原點(diǎn) O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l的極坐標(biāo)方程為cos 、3 sin(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.23.選彳4-5:不等式選講(10分)已知a, b, c為正數(shù)，且滿足 abc=1.證明:1112,22一 一 a b c ；a b c333(a b) (b c) (c a) 24 .、選擇題1. C 2. C3. B 4.B 5. D6. A 7. B 8. A 9. A 10. B 11. C12.二、填空題13. y=3x12115.16. 2三、解答題217.解：（

10、1）由已知得sin B由余弦定理得cos Ab2. 2 、 sin C2bc因?yàn)?A 180所以(1)知 B120.22sin A sinBsinC,故由正弦定理得 b,由題設(shè)及正弦定理得.2 sinA sin 120 C2sin C即一62由cosC21 .-sin 22sin C,可得 cos C 60-22由于0C 120所以sin60二故2sin Csin C6060sin C 60cos60 cos60sin 6018.解：（1）連結(jié)BC, ME 因?yàn)镸的另J為BB, BC勺中點(diǎn),r 1所以ME/ BC,且吊=一 BC.2 1又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以N=-AD.2由題設(shè)知AB卜D

11、G可得A1D,故Mq ND因此四邊形MNDE平行四邊形，MN ED又MN 平面EDC,所以MN/平面GDE(2)由已知可得 DEL DA以曲坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz ,則A(2,0,0) , A(2, 0, 4), M (1,73,2) , N(1,0,2), AA(1,百,2), TNI(1,0, 2), MN (0, 73,0)m 71M(x,y,z)為平面AMA勺法向量，則Tm A A所以x .3y 2z 0可取 m(V3,1,0).4z 0.n MN(p,q,r)為平面AMN勺法向量，則n AN0,0.(0,0, 4),所以鳥0,可取n

12、(2,0, 1). p 2r 0.曰m n2.3指走 cos m,n-1mlI n | 2 .55所以二面角A MA1N的正弦值為10519.解：設(shè)直線l : yt, A X1,y1 , B X2,y2 . TOC o 1-5 h z 335(1)由題設(shè)得F-,0，故| AF | |BF|xx2一，由題設(shè)可得xx2一42220.3-x23x從而弛9t ,可得9x21)2，得t12(t 1)x所以l的方程為由aP4t2則“X212(t 1)93y 2x3PB可得所以y1y22 .從而代入C的方程得x1解：(1)設(shè) g(x)1,時(shí),2設(shè)為則當(dāng)x所以g(x)在(1,yi3y23, x2y2f(x),

13、則 g(x)3x23x2y 2t 0 .故y2故 |AB|cosx1,y13.4 1331rv g(x)sin x1(1 x)2g(x)單調(diào)遞減,而(1,)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，在在1,存在唯一極大值點(diǎn).(2) f (x)的定義域?yàn)?1,).(i )當(dāng) x ( 1,0時(shí)，由(1)知,g(0) 0, g(-) 20;當(dāng) x ,20,可得g(x)在 1-有唯一零點(diǎn),時(shí)，g(x) 0.，-單調(diào)遞減，故g(x)在1,存在唯一極大值點(diǎn),尸(刈在(1,0)單調(diào)遞增，而f(0) 0,所以當(dāng)x (即 f(x)1,0)時(shí),f(x) 0,故3在(1,0)單調(diào)遞減，又f(0)=0,從而x 0是屋)在(1,0的唯一零

14、點(diǎn).(ii )當(dāng)X 0,-時(shí)，由(1)知，f(x)在(0,)單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，而f(0)=0 TOC o 1-5 h z 22，f 0,所以存在 ，一，使得f( ) 0,且當(dāng)X (0,)時(shí)，f(x) 0;當(dāng)X ，時(shí),222f(x) 0.故f(x)在(0,)單調(diào)遞增，在 ，一單調(diào)遞減. 2又 f(0)=0 , f 1 ln 1 0,所以當(dāng) x 0,-時(shí)，f(x) 0.從而，f (x)在 0,- 沒有2222零點(diǎn).(iii )當(dāng)*-,時(shí)，f(x) 0,所以f(x)在，單調(diào)遞減.而f0,f() 0,所以f(x)222在一，有唯一零點(diǎn).2(iv)當(dāng)x (,)時(shí)，ln(x 1) 1,所以f(x)0

15、,從而院)在(，)沒有零點(diǎn).綜上，f (x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).21 .解：X的所有可能取值為1,0,1. TOC o 1-5 h z P(X 1) (1),P(X 0)(1)(1),P(X 1)(1),所以X的分布列為X J I01(i )由(1)得 a 0.4, b 0.5, c 0.1.Pi 0.4 PiPi 1 ,即因此 Pi=0.4p 1+0.5 Pi+0.1 Pi 1,故 0.1 pi 1Pi iPi4 piR i又因?yàn)镻iPoPl0,所以Pi iPi （i 0,1,2，W，7）為公比為4,首項(xiàng)為Pi的等比數(shù)歹U.（ii ）由（i ）可得P8P8 P7 P7 P6I Pi P0 P0

16、P8P7P7 P6 WPi P0841PiP4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率,認(rèn)為甲藥更有效的概率為P4 2570.0039,此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方 TOC o 1-5 h z .3 一 .由于P8=1 ,故P1 8,所以4 144 11P4P4P3P3P2P2P1P1P0 P1 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 3257由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為，乙藥治愈率為時(shí),案合理.22 .解：（1 ）因?yàn)?1 1,且1 t21 t21 t24/竺 1,所以C的直角坐標(biāo)方程為t2x2 亡 1(x1).4l的直角坐標(biāo)方程為 2x J3y 11 0 .（2）由（1）可設(shè)C勺參數(shù)方程為x cosy 2sin為參數(shù)，冗 冗）I 2cosC的點(diǎn)到l的距離為1292、；3sin 11|74cos -113號時(shí)，4cos-11取得最小值7,故Ch的點(diǎn)到l距離的最小值為 防