3.1基本軌跡解析課件

1、第三章 基本軌跡 與幾何作圖 本章研究的主要內(nèi)容： 一、基本軌跡 二、幾何作圖第三章 基本軌跡 與幾何作圖3.1 基本軌跡教學要求:1.了解軌跡的意義；2.了解軌跡得基本類型；3.掌握基本軌跡定理；4.掌握軌跡問題求解的基本步驟. 3.1.1 軌跡的意義 1軌跡與圖形 軌跡 性質(zhì)圖形 形狀2軌跡的定義 定義：若滿足如下條件 (1) 適合條件C的任何一點都在圖形F上； (2) 圖形F上的任何一點都適合條件C.那么，圖形F就是適合條件C的點的軌跡. 條件(1)稱為完備性(或充分性)；條件(2)稱為純粹性(或必要性) ；即P點P具有性質(zhì)C(軌跡)11對應(完備性)(純粹性)圖形F即要求“不重不漏”.

2、3軌跡與曲線的異同 3.1.2 軌跡的類型 第一類軌跡問題：命題結(jié)論中明確說明了軌跡圖形的形狀, 位置和大小. 例1 設(shè)不共線3直線a, b, c兩兩相交，則到此3直線距離皆相等的點的軌跡，是由內(nèi)心、旁心所組成的點集.bacBACI 第一類軌跡問題的解題步驟：只需證明(完備性, 純粹性)即可. 解 如圖, 證明略. 第二類軌跡問題：命題結(jié)論中說出了軌跡圖形的形狀, 但位置和大小或缺, 或敘述不全. 例2 設(shè) A, B是二定點, d是給定的正數(shù), 試求滿足條件 的點P的軌跡是一條直線.lABHP 解 探求：設(shè)P是合乎條件的任一點(如圖), 自P作PHAB于H , 則有 因d, AB是常量,故H是

3、AB上的定點, 因而過H垂直AB的直線l也是定直線. 此探求亦即證明了完備性.lABHP 純粹性：(證明略) 第二類軌跡問題的解題步驟： 1. 探求； 2. 證明(完備性, 純粹性). 第三類軌跡問題：命題結(jié)論中只求適合某條件的軌跡, 對軌跡圖形的形狀、位置和大小沒有直接提供任何信息. 例3 已知AB是定弦， 是張在AB上且視角為 (90)的圓弧，當C在 上移動時, 求ABC之垂心的軌跡.HAEDCB 解 1.探求：設(shè)C是 上任一點, 自A作ADBC于D, 自B作BEAC于E, 則AD, BE的交點H即為ABC之垂心, 就是合乎軌跡條件的任一點. 易知H, D, C, E共圓.(定值). 第三

4、類軌跡問題的解題步驟： 1. 探求； 2. 證明(完備性, 純粹性). 2. 證明(純粹性)：HAEDCB 故, 合乎條件的任一點都在以AB為弦視角為定值 的一條弧 上. 再連接HC交AB于F, 則HFAB, 顯然垂足F只能在A, B之間 ,因而H也只能在A, B兩端的垂線之間, 因 故 也有位于兩垂線之外的點, 從而可知合乎條件的點的軌跡應為 (不包括端點), 如圖. 如上亦為完備性證明. 3.1.3 基本軌跡定理(P102) 定理1 與一個定點的距離等于定長的點的軌跡, 是以定點為圓心, 定長為半徑的圓周. 定理2 與兩個定點距離相等的點的軌跡, 是連結(jié)這兩定點的線段的中垂線. 定理3 與

5、一條已知直線的距離等于定長的點的軌跡, 是平行于已知直線且位于此直線兩側(cè), 并和這直線的距離等于定長的兩條平行直線. 定理4 與兩條平行線距離相等的點的軌跡, 是和這兩條平行線距離相等的一條平行線. 定理5 與相交兩直線距離相等的點的軌跡是, 分別平分兩已知直線交角的互相垂直的兩直線. 定理6 對已知線段的視角等于定角的點的軌跡, 是以已知線段為弦, 所含圓周角等于定角的兩段弓形. 推論 對已知線段視角為直角的點的軌跡, 是以已知線段為直徑的一個圓. 3.1.4 軌跡命題及證明研究 1. 阿波羅尼斯(Apollonius)圓 例4 到兩定點A, B之比為常數(shù)k (不等于1 的正數(shù))之點的軌跡是

6、一圓周. 稱為阿波羅尼斯圓, 簡稱阿氏圓.PAB 解 1. 探求 首先, 易知軌跡關(guān)于AB對稱, 圓心在AB上. 其次, 為確定圓心, 還應在AB上找出合條件的特殊點, 故在AB上, 以定比 k 作出它的內(nèi)、外分點 , 即有在AB內(nèi)；在AB外.PAB于是所求阿氏圓可能是以 為直徑的圓. 2. 證明 完備性：設(shè)P是不在AB上而合條件的任一點, 即故由角平分線逆定理： 平分APB.同理 平分APB的外角. 故合乎條件的任一點P在以 為直徑的圓周上. 純粹性： 2. 等冪軸(根軸) (1) 圓冪的概念OPDCBAAODCBP(定值)P在O外；P在O上；P在O內(nèi). 稱p為定點對O的冪. (2) 等冪軸

7、 例5 對于非同的心圓二圓有有等冪之點的軌跡是垂直于連心線且過連心線上一定點的一條直線, 此線常被稱作等冪軸或根軸. 解 轉(zhuǎn)化法 . 設(shè)非同心的兩圓半徑分別為 , 則有 P點合乎條件 由此問題轉(zhuǎn)化為：“到兩定點的距離的平方差為定值的點的軌跡”. (3) 等冪軸的作法 3. 轉(zhuǎn)化之例 例6 長為h和k的兩根旗桿樹立在一個平面上, 且兩桿相隔2a單位, 求此水平面上對旗桿仰角相等之點的軌跡.(加拿大第三屆(1971年)數(shù)學競賽題)khPDCBA 例7 設(shè)A, B是O上的二定點, 而M是O上的動點, 從線段MB的中點K作KPMA于P. (1) 證明：所有直線KP都過同一個點； (2) 求點P的軌跡. (前蘇聯(lián)第三屆(1963年)數(shù)學競賽題)AKOBPM 例8 設(shè)AB是圓的直徑, C是直徑 AB 內(nèi)上的一定點, Q是圓上的變動點, 設(shè)P在由Q和C所確定的直線上, 且AC:CBQC:CP, 描述并證明P點的軌跡.(加拿大第八屆(1976年)數(shù)學競賽題)AQPCOB 4. 軌跡的探求與檢查 軌跡探求的一般方法 (1) 考察對稱性 (2) 考察范圍 (3) 考察特殊點、極限點 探索之例 例9 在長為a的線段AB上選一內(nèi)點M, 然后在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為邊作正方形AMCD、和MBEF, 分別是這兩個正方形的中心, 當M