簡單應(yīng)力狀態(tài)下的彈塑性力學(xué)問題PPT

1、第一章 簡單應(yīng)力狀態(tài)下的 彈塑性力學(xué)問題 1.1 引言 1.2 材料在簡單拉壓時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 1.3 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 簡化模型 1.4 軸向拉伸時(shí)的塑性失穩(wěn)1.5 簡單桁架的彈塑性分析1.6 強(qiáng)化效應(yīng)的影響1.7 幾何非線性的影響1.8 彈性極限曲線1.9 加載路徑的影響1.10 極限載荷曲線（面）1.11 安定問題1.1 引言一、變形彈性變形：物質(zhì)微元的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有單一的 對應(yīng)關(guān)系 非彈性變形：應(yīng)力和應(yīng)變之間不具有單一的對應(yīng)關(guān)系 非彈性變形塑性變形粘性變形（是指物體在除去外力后所殘留下 的永久變形）（隨時(shí)間而改變，如蠕變、應(yīng)力松 弛等）二、塑性與脆性如果變形很小就破壞，便稱是脆性如果經(jīng)受

2、了很大的變形才破壞，材料具有較好的韌性或延性，這時(shí)材料的塑性變形能力較強(qiáng)，便稱是塑性。在這種情況下，物體從開始出現(xiàn)永久變形到最終破壞之間仍具有承載能力。采用彈性理論分析采用塑性力學(xué)分析研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位的應(yīng)力超過彈性極限的范圍，以充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度潛力 研究物體在不可避免地產(chǎn)生某些塑性變形后，對承載能力和（或）抵抗變形能力的影響 研究好何利用材料的塑性性質(zhì)以達(dá)到加工成形的目的 三、塑性力學(xué)目的 塑性力學(xué)是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個分支，故研究時(shí)仍采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的假設(shè)和基本方法。 四、塑性力學(xué)的方法基本方程: 幾何關(guān)系 守恒定律 本構(gòu)方程1.2 材料在簡單拉壓時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果材料：金

3、屬多晶材料受力：單向拉伸或壓縮實(shí)驗(yàn)(名義)應(yīng)力：=P/A0(名義)應(yīng)變：=（-0）/0 一、實(shí)驗(yàn)描述二、實(shí)驗(yàn)曲線線彈性階段 非線性彈性階段屈服階段強(qiáng)化階段頸縮階段實(shí)驗(yàn)曲線加載過程實(shí)驗(yàn)曲線卸載過程彈性階段：卸載沿原路返回塑性階段：卸載沿直線返回，斜率與彈性 階段相同應(yīng)變強(qiáng)化：三、兩種現(xiàn)象包氏效應(yīng)：實(shí)驗(yàn)曲線反向加載：單晶體，其壓縮時(shí)的屈服應(yīng)力也有相似的提高(圖2（a）中的M點(diǎn))多晶體，其壓縮屈服應(yīng)力（M點(diǎn)）一般要低于一開始就反向加載時(shí)的屈服應(yīng)力（A點(diǎn)）。這種由于拉伸時(shí)強(qiáng)化影響到壓縮時(shí)弱化的現(xiàn)象稱為包氏效應(yīng)（Bauschinger effect）。材料經(jīng)過塑性變形得到強(qiáng)化圖2（a）1、在材料的彈塑性

4、變形過程中，應(yīng)力與應(yīng)變之間已不再 具有單一的對應(yīng)關(guān)系。四、實(shí)驗(yàn)總結(jié)加載路徑與之間的關(guān)系依賴于加載路徑內(nèi)變量宏觀參量，用來刻畫加載歷史例如，作為最簡單的近似，可以取內(nèi)變量為塑性應(yīng)變p，而將簡單受拉（壓）時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系寫為 =/E+p （1）其中E為楊氏模量上式表明，當(dāng)P（內(nèi)變量）一定時(shí)，與之間有單一的對應(yīng)關(guān)系。2. 與之間的線性關(guān)系 =/E+p （1）式是有適用范圍的。對于固定的內(nèi)變量P，或并不能隨意取值。例如，對處于圖2（a）中的M點(diǎn)，當(dāng)加載時(shí)即應(yīng)力（或應(yīng)變）繼續(xù)增長時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變曲線將沿AMM1方向延伸，公當(dāng)卸載時(shí)即應(yīng)力（或應(yīng)變）減小時(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線才以（1）式的規(guī)律沿MN向下降。為了區(qū)分以上

5、這種加載和卸載所具有的不同規(guī)律，就必須給出相應(yīng)的加卸載準(zhǔn)則。圖2（a）五、影響材料性質(zhì)的其它幾個因素1、溫度 當(dāng)溫度上升時(shí)，材料的屈服應(yīng)力將會 降低而塑性變形的能力則有所提高。 3靜水壓力 當(dāng)靜水壓力不太大時(shí)，材料體積的變化服從彈性規(guī)律而不產(chǎn)生永久的塑性體積改變。2、應(yīng)變速率 如果實(shí)驗(yàn)時(shí)將加載速度提高幾個數(shù)量級，則屈服應(yīng)力也會相應(yīng)地提高，但材料的塑性應(yīng)變形能力會有所下降。當(dāng)材料有較大的塑性變形時(shí)（彈性變形相對地很?。?， 可近似地認(rèn)為體積是不可壓的。靜水壓力對屈服應(yīng)力的影響也是不大的。 1.3 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系關(guān)系的簡化模型 類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：1理想彈塑性模型適用：強(qiáng)化率較低的材料，在

6、應(yīng)變不太大時(shí)可忽略強(qiáng)化效應(yīng)2線性強(qiáng)化彈塑性模型類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：適用：材料的強(qiáng)化率較高且在一定范圍內(nèi)變化不大（假定拉伸和壓縮時(shí)屈服應(yīng)力的絕對值和強(qiáng)化模量都相同）表示圖5（a）中的 線段比 3一般加載規(guī)律對于一般的單向拉伸曲線，在不卸載時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：注：這種模型在 =0處的斜率為無窮大，近似性較差，但在數(shù)學(xué)上比較容易處理。 （8）4冪次強(qiáng)化模型（其中B0，0m1）其加載規(guī)律可寫為： （9）如取 就有 說明：這對應(yīng)于割線余率為0.7E的應(yīng)力和應(yīng)變，上式中有三個參數(shù)可用來刻畫實(shí)際材料的拉伸特性，而在數(shù)學(xué)表達(dá)式上也較為簡單。 5Ramberg-Osgood模型等向強(qiáng)化模型6. 等向強(qiáng)化模

7、型及隨動強(qiáng)化模型例如：可取適用：拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力和壓縮時(shí)的屈服應(yīng)力始終是相等的。 是刻畫塑性變形歷史的參數(shù)圖2（a）或該模型不論拉伸還是壓縮都使屈服應(yīng)力提高，對應(yīng)圖2（a）中的 和 。隨動強(qiáng)化模型 上式在線性強(qiáng)化情形下也可寫為 （ 是塑性應(yīng)變 的單調(diào)遞增函數(shù)）適用：考慮包氏效應(yīng)，認(rèn)為拉伸屈服應(yīng)力和壓縮屈服應(yīng)力的代數(shù) 值之差，即彈性響應(yīng)的范圍始終是不變的。是一個常數(shù) （）圖2（a）該模型對應(yīng)圖2（a）中的 和 。1.4 軸向拉伸時(shí)的塑性失穩(wěn)一、拉伸失穩(wěn)的概念1、拉伸失穩(wěn)：注意：拉伸試件在出現(xiàn)頸縮后，試件局部區(qū)域的截面積會有 明顯減少，再用名義應(yīng)力和應(yīng)變來描述此時(shí)的材料特 性是不適當(dāng)?shù)模ㄒ妶D2）在

8、最高點(diǎn)以后，增加應(yīng)變時(shí)應(yīng)力反而下降，在通常意義下稱試件是不穩(wěn)定的。圖2（a）2、真應(yīng)力3、對數(shù)應(yīng)變4、截面積收縮比q=（A0-A）/A0假定材料是不可壓縮的：A0l0=Al，并認(rèn)為名義應(yīng)力達(dá)到最高點(diǎn)C時(shí)出現(xiàn)頸縮： 二、真應(yīng)力則在頸縮時(shí)真應(yīng)力應(yīng)滿足條件拉伸失穩(wěn)分界點(diǎn)的斜率正好和該點(diǎn)的縱坐標(biāo)值相等。 由結(jié)論：1注意到頸縮時(shí)的條件也可寫為：即 拉伸失穩(wěn)點(diǎn) 的斜率為其縱坐標(biāo)值除以 結(jié)論：23以截面積收縮比q為自變量則由頸縮時(shí)的條件拉伸失穩(wěn)時(shí)真應(yīng)力所滿足的條件:隨著材料的變形，微裂紋和（或）孔洞的生成及匯合也將會造成材料的弱化而導(dǎo)致失穩(wěn)。稱之為應(yīng)變?nèi)趸?。三、材料本身的失穩(wěn)現(xiàn)象例如，在低碳鋼拉伸實(shí)驗(yàn)中由上

9、屈服應(yīng)力突然下降到下屈服應(yīng)力的現(xiàn)象，它與材料變形的內(nèi)部微觀機(jī)制的變化有關(guān)。在許多問題（如拉伸失穩(wěn)等）中，以上兩種現(xiàn)象往往是耦合的 1.5 簡單桁架的彈塑性分析 一、問題的提出以圖示的一次靜不定三桿桁架為例進(jìn)行彈塑性分析。圖中三根桿的截面積均為A，中間第二桿的桿長為 ，它與相鄰的第一桿和第三桿的夾角均為=450，在其交匯點(diǎn)O處作用水平力Q和垂直向下的力P ，O點(diǎn)將產(chǎn)生水平位移 和垂直位移 。二、問題的解答已知：解：如定義第 根桿的名義應(yīng)力為 ,名義應(yīng)變?yōu)?,則有如下平衡方程和幾何關(guān)系和協(xié)調(diào)條件為了得到問題的解，還必須補(bǔ)充本構(gòu)方程 。我們假定材料是理想彈塑性。(1) Q=0時(shí)的彈性解和彈塑性解由彈

10、性解:由1、應(yīng)力 為屈服應(yīng)力為垂直方向上的彈性極限載荷2、位移（14）（17）由（14）、（17）和（18），得垂直向下位移載荷-位移曲線則當(dāng)P由零增至Pe時(shí)，在圖9的坐標(biāo)中為區(qū)間0，1上斜率等于1的直線段OA。若令彈塑性解:當(dāng)P由零逐漸增大到Pe時(shí)，第2桿的應(yīng)力也逐漸增大而達(dá)到屈服狀態(tài)： 如果P的值再繼續(xù)增加，則（17）式已不再適用，相應(yīng)的本構(gòu)方程應(yīng)改寫為由應(yīng)力應(yīng)變 說明：（1） 這時(shí)的第2桿雖然已經(jīng)屈服而失去了進(jìn)一步的承載能力，但由于它還受到第1桿和第3桿彈性變形的制約，其塑性變形不能任意增和，這種狀態(tài)稱為約束塑性變形。 （2） 直到P值逐漸增大到使 時(shí)，三根桿將全部進(jìn)入屈服階段，變形已不

11、再受任何約束，結(jié)構(gòu)才完全喪失進(jìn)一步的承載能力。這時(shí)的載荷P為稱為塑性極限載荷由和位移當(dāng)P=PS時(shí)，或注：（24）式對應(yīng)于圖9中在區(qū)間1，2上斜率為 的直線段AB當(dāng)考慮塑性變形時(shí)，結(jié)構(gòu)的變形要比純彈性變形為大，但仍屬同一數(shù)量級，而相應(yīng)的承載能力將會有相當(dāng)?shù)奶岣?。結(jié)論 (2) 卸載現(xiàn)將P的值加載到處于PePPs范圍內(nèi)的某一值P*，然后再卸載使P的改變量PPe時(shí)，有將上式與（15）式和（16）式聯(lián)立，可解得（3）當(dāng)P增至使 時(shí)，第1桿和第3桿也開始屈服。此時(shí)的載荷值為1、如取E/E=1/10，則P1=1.04Ps。與理想彈塑性材料相比，相應(yīng)的載荷值并沒有很大的增加。這說明采用理想彈塑性模型可得到較好

12、的近似，而計(jì)算卻有相當(dāng)?shù)暮喕?說明：2、當(dāng)P小于P1時(shí)，結(jié)構(gòu)的變形仍屬于彈性變形的量級，而當(dāng)P超過P1后繼續(xù)增加時(shí)，由于強(qiáng)化效應(yīng)，結(jié)構(gòu)并不會進(jìn)入塑性流動狀態(tài)，但這時(shí)的變形將會有較快的增長。1.7 幾何非線性的影響一、問題的提出求解基本方程：是在小變形的假設(shè)下建立的當(dāng)桿件的塑性變形很大時(shí)，結(jié)構(gòu)幾何尺寸的改變將會產(chǎn)生顯著的影響。這時(shí)應(yīng)采用真應(yīng)力和對數(shù)應(yīng)變來進(jìn)行討論。二、問題的解答仍考慮Q=0的情形，假定材料是剛塑性線性強(qiáng)化的：而且滿足不可壓條件：令則由幾何分析于是在變形后的結(jié)構(gòu)上建立的平衡方程為：其中為變形后第2桿與第1桿（和第3桿）之間的夾角可見（33）式中有三個未知量在不卸載的情況下，由本構(gòu)

13、方程：得到 與 之間的非線性關(guān)系結(jié)論：隨著 的增長， 的值將會由于強(qiáng)化效應(yīng)和 角的減小而提高，但也會隨著桿件截面積的收縮而下降。故當(dāng) 很大時(shí)，結(jié)構(gòu)將可能變成不穩(wěn)定的。1.8 彈性極限曲線本節(jié)我們將考慮前述桁架同時(shí)受垂直載荷P和水平載荷Q作用的情形。如果桁架中的三根桿件都處于彈性階段，則由（13）(14）15）和（17）各式，平衡方程幾何方程協(xié)調(diào)條件本構(gòu)方程其中 ，表示只作用水平力時(shí)的彈性極限載荷。可求得桿中應(yīng)力為（35）式成立的條件為這相當(dāng)于對P和Q的限制條件：上式對應(yīng)于圖12中實(shí)線六邊形區(qū)域，其中等號則對應(yīng)于該六邊形的邊界，稱為彈性極限曲線，表示至少有一根桿件已達(dá)到屈服狀態(tài)。如果作用于結(jié)構(gòu)上

14、的載荷先是超出了彈性極限曲線，然后又完全卸回到零，那么結(jié)構(gòu)中將存在殘余應(yīng)力。由于殘余應(yīng)力與零外載相平衡，故可寫成（27）式的形式：其中 是一個可以變化的參數(shù)，其值可由（28）式來表示。在存在殘余應(yīng)力的情況下，如果再重新對結(jié)構(gòu)施加載荷而未能再次屈服，那么結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力值就應(yīng)該是以上的殘余應(yīng)力與（35）式的疊加。不產(chǎn)生新的塑性變形的限制條件：其中 值滿足（37）式對應(yīng)于圖12中虛線所構(gòu)成的六邊形區(qū)域。說明：可見在加載方向一側(cè)屈服載荷有所提高而與加載方向相反的一側(cè)屈服載荷有所降低?？捎脕韺?yīng)變硬化和包氏效應(yīng)等現(xiàn)象做一個比較形象的解釋。1.9 加載路徑的影響塑性力學(xué)的特點(diǎn)之一就是解對加載路徑的依賴性。例

15、計(jì)算上述的理想彈塑性三桿桁架在不同加載路徑下O點(diǎn)的最終水平位移和垂直位移。第一種路徑（圖13（a)中的路徑1）當(dāng) 時(shí) 第一種路徑：（Q，P）先由（0，0）線性地變化為（0，PS），再在垂直位移保持不變的條件下增加Q使達(dá)到Qe如保持y=2e不變而施加水平方向的載荷Q，使點(diǎn)O有一個水平方向的位移增量 ，則由幾何關(guān)系（14）式：可知第1桿和第2桿并未卸載而第3桿以彈性規(guī)律卸載于是，由（13）式可求得載荷增量為：即Q與P之間的變化規(guī)律是線性的當(dāng)?shù)?桿卸載到3=-s時(shí)由3=-2s得此時(shí)三桿同時(shí)屈服，即結(jié)構(gòu)再次進(jìn)入塑性流動狀態(tài)。三桿的應(yīng)力為：水平位移x可由（38）式求得，垂直位移y始終不變。因此：第二種路

16、徑：（Q，P）由（0，0）作單調(diào)的比例如載而達(dá)到（ ）第二種路徑（圖13（a）中的路徑）由于加載時(shí)始終有關(guān)系 式，故將其代入（35）式可得初始彈性階段的解為：，表明隨著P的增長，第1桿最先達(dá)到屈服。當(dāng)各桿的應(yīng)力此時(shí)O點(diǎn)的位移值為 如繼續(xù)加載，則第1桿進(jìn)入屈服階段，即由和（13）式的增量形式表明第2桿繼續(xù)受拉，第3桿繼續(xù)受壓。各桿的應(yīng)力由（41）式和（43）式計(jì)算當(dāng) 三桿同時(shí)進(jìn)入塑性狀態(tài)，即 利用（43）式和（14）式的增量形式便可求出對應(yīng)于 時(shí)的位移增量：最終位移則是上式和（42）式的疊加：結(jié)論：可知在兩種加載路徑下雖然可得到相同的應(yīng)力值，但各桿的應(yīng)變和O點(diǎn)最終位移值卻是不同的。1.10極限載

17、荷曲線（面）一、概念兩個不等式同時(shí)取等號時(shí)，（P，Q）的值將處于虛線六邊形的頂點(diǎn)。1、塑性極限載荷此時(shí)結(jié)構(gòu)變?yōu)橐粋€能產(chǎn)生塑性流動的機(jī)構(gòu)而喪失了進(jìn)一步承載的能力。相應(yīng)的載荷就是塑性極限載荷。2、極限載荷曲線隨著*的改變，這個極限載荷在（Q，P）平面上的軌跡將形成一條曲線，稱為極限載荷曲線（在多維載荷空間中則稱為極限載荷曲面）。特點(diǎn)：與彈性極限曲線不同，極限載荷曲線是 結(jié)構(gòu)的固有屬性，它不依賴于加載歷史。作法：1、求得（Q，P）平面在第一象限內(nèi)的極限載荷曲線；2、根據(jù)Q和P的四種組合和拉、壓屈服應(yīng)力相等的假設(shè)， 由對稱性條件來獲得整個平面上的餓極限載荷曲線。（Q，P）平面在第一象限內(nèi)的極限載荷曲線可由以下方法求得：設(shè)加載是按比例 增至極限載荷的很大時(shí)，第1桿和第2桿先達(dá)到拉伸屈服故由（13）式得其中這對應(yīng)于圖a中的線段FG。 1、2、當(dāng) 很小時(shí)，第1桿達(dá)到拉伸屈服而第3桿達(dá)到壓縮屈服：故由（13）式得其中這對應(yīng)于圖a中的線段GH 此時(shí)三桿同時(shí)進(jìn)入屈