配套K12高中數(shù)學第1講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)2平行線分線段成比例定理學案1

1、小學+初中+高中+努力=大學二平行線分線段成比例定理學習目標導航.掌握平行線分線段成比例定理及其推論.（重點）.能利用平行線分線段成比例定理及推論解決有關(guān)問題.（難點、易混點）階段1.認知傾習質(zhì)疑知識梳理要點初探基礎(chǔ)初探教材整理1平行線分線段成比例定理閱讀教材RB “定理”及以上部分，完成下列問題.文字語言三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.圖形語言如圖 1-2-1 , iW,則有:A DE bcT樂AB_DE BEF Act df Act DF圖 1-2-1如圖1-2-2所示，DE/ AB DF/BC下列結(jié)論中不正確的是 （）小學+初中+高中+努力=大學CE DE BF甫ABT融B正

2、確;圖 1-2-2CE BF b-CBt AbAF DFD.=BF BCCD CE CE -ACT EBP DF C正確.【答案】 D教材整理2平行線分線段成比例定理的推論閱讀教材P7P9,完成下列問題.文字語言平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例.圖形語言如圖 1-2-3 , l 1 / 12 / l 3,圖 1-2-3o微體驗c如圖1-2-4所示，在 AC計，B, D分別在AC AE上，下列推理不正確的是 （圖 1-2-4小學+初中+高中+努力=大學AD AFA.5CT DeC)CECAD DF【解析】 DF EB DEI FB,四邊形DEB叨平行四邊形，

3、. DE= BF, DF= ERAD AF AFDC= FBT De A正確；AB BD a BD/ ce?AC= CeB. BD/ CE? AD=累AE CE小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學C. BD/ CE?AB_ADBCT DED. BD/CE?AB BDBCT CE【解析】由平行線分線段成比例定理的推論不難得出A, B, C都是正確的，D是錯誤的.【答案】D質(zhì)疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流:疑問1：解惑：疑問2:解惑：疑問3:解惑：階段2合作探究通關(guān)分組時輪疑難細覺證:例如圖1-2-5 , AD為ABCW中線，在 AB上取點E, A

4、C上取點F,使A& AF,求里AC市AB小組合作型證明線段成比例圖 1-2-5【精彩點撥】 在這道題目中所證的比例組合都沒有直接的聯(lián)系，可以考慮把比例轉(zhuǎn)移,過點C作CM EF,交AB于點M交AD于點N,且BC的中點為D,可以考慮補一個平行四邊 形來求解.【自主解答】如圖，過C作CM/ EF,交AB于點M交AD點N. AE= AF, . . AM= AC.AM ABC的中線， BD= CD延長AD到G,使得DG= AD連接BG CG則四邊形 ABG平行四邊形,小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學. .AB= GCEP FP AP CM/ EF，.而 CN AnEP MN.,.

5、FP CN又 AW GC AM= AC GC= ABMN_ AML AC EP- AC名師/EP MN AM ACaCN= GCT麗AB_EG Act吊.解答本題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造平行四邊形.比例線段常由平行線產(chǎn)生，因而研究比例線段問題應(yīng)注意平行線的應(yīng)用，在沒有平 行線時，可以添加平行線來促成比例線段的產(chǎn)生.利用平行線轉(zhuǎn)移比例是常用的證題技巧，當題中沒有平行線條件而有必要轉(zhuǎn)移比例時，也常添加輔助平行線，從而達到轉(zhuǎn)移比例的目的，如本題中,再練一題1.如圖 1-2-6, AD/ BE/ CF, EG/ FH,求證:圖 1-2-6【證明】AD/ BE/ CFegdeFhT D?AB DE =

6、AC DF又. EG/ Fh|ab_eg Act吊例如圖證明線段相等1-2-7,在梯形 ABCD, AD/ BC F為對角線 AC上一點,FE/ BC 交 AB于E, DF的延長線交BC于H, DE的延長線交CB的延長線于G求證：BC= GH【導學號:07370006小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學圖 1-2-7【精彩點撥】從復雜的圖形中找出基本圖形4 ABC DHG而EF是它們的截線，再使用定理或推論即可.【自主解答】 FE/ BCEF AE EF DFBCT AB GH= DH. AD/ EF/ BHAE DFABT DHEF EFBCT GHBO GH.解答本題的

7、關(guān)鍵是構(gòu)造分子或分母相同的比例式.應(yīng)用平行線分線段成比例定理及推論應(yīng)注意的問題:(1)作出圖形，觀察圖形及已知條件，尋找合適的比例關(guān)系；(2)如果題目中沒有平行線，要注意添加輔助線，可添加的輔助線可能很多，要注意圍 繞待證式；(3)要注意“中間量”的運用與轉(zhuǎn)化.再練一題2.如圖1-2-8所示，已知梯形 ABCD勺對角線AC與BD相交于點P,兩腰BA CD的延長線相交于點 O, EF/ BC且EF過點P.求證：(1) EP= PF;O葉分AD和BC(1)EP/ BC圖 1-2-8EPLAEBCT Ab小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學又. PF/ BCPFDFBT DC.

8、AD/ EF/ BC,AE DFABT DCEP PFBcT BCEP= PF(2)在 OEP, AD/ EPAH OH帝OP在 OFP, HD/ PF,HD OHPF Op.ah HP EP PF又由(1)知 EP= PF,AH= HD同理BG= GC探究共研型平行線分線段成比例探究1你還有其它方法證明課本 P8的例3嗎?【提示】過點C作CF/ AB,與DE的延長線交于點 F. DE/ BC CF/ ABAD AE DE AE一=：.一 =1一AB AC DF ACAD DE.AB DF.四邊形BCFD1平行四邊形， DBCad_deAeT BCAD AE DE.AB AC BC探究2如何證

9、明課本中 P9中“探究”？【提示】如果li與12相交于點G（如圖（1）,那么11與12確定一個平面 兀.連接ADBE CF,則AD BE CF均在平面 兀上，且AD/ BE/ CF由平行線分線段成比例定理可知，小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學AB_ DE BcT EF如果l1與l2是異面直線，那么可在直線|2上取一點G過點G作l 3 / l 1 ,設(shè)13與平面分別相交于P, Q R如圖(2),則11與l 3確定一個平面 兀1, 13與|2確定一個平面兀2.在兀1中,連接 AB PQAP BQ CR 則 AP/ BQ/ CR 所以阮=qr在平面兀2中,連接PD QE RF

10、,貝U PD/ QE/ RF,所以 PQ DEQR ErAB DE所以BCEF例圖如圖(1)所示，在梯形1-2-9ABCDK(2)AD/ BC EF經(jīng)過梯形對角線的交點O且EF/ AD求冷凝值; 11求證： -1-|- -llAD BC EF圖 1-2-9【精彩點撥】 (1)利用比例線段轉(zhuǎn)化所求;(2)證出EF= 2OE再利用(1)的結(jié)果證明.OE BE【自主解答】 (1) .OE/ AD7-= 7D B EF/ AD AD/ BCEF/ AD/ BCOE_AE BcT ABOE OE_BE AE_ BE+ AE_/ BCT Ab+ ABF AB =(2)證明：AD/ BC/ EF小學+初中+

11、高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學-OF OD OA OE 可信 BcT BiT ACT BC故O亂OE即EF 2OE上 . OE OE2OE 2OE由(1)知，- ad BcT 1, ad+ Bc= 2.EF EF77 2,AD BC112AD BC EF名師/.本題要證明的結(jié)論較多，證明時要注意與圖形的結(jié)合和對式子的合理變形.運用平行線分線段成比例定理的推論來證明比例式或計算比值，應(yīng)分清相關(guān)三角形中的平行線段及所截邊，并注意在求解過程中運用等比性質(zhì)、合比性質(zhì)等.再練一題.如圖1-2-10 ,已知點E是？ABCDfe C血長線上的一點， 連接BE交AC于點0,交AD 于點F.求證：

12、OB= OE- OF 【導學號：07370007】圖 1-2-10【證明】因為四邊形ABCD1平行四邊形,所以 AB/ CD AD/ BC一 OF OB 所以0r OB等量代換）,OB OE即 OB= OE- OF構(gòu)建體系小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學平行線分線段成比例定理定理推論應(yīng)用證明線段成比例證明線段相等求比值階段3體驍落實評價（源堂回饋即時達標1.如圖1-2-11 ,已知 DE/ BG則下列比例式成立的是（）DA ACA =AB AEEA DAC.ABT AC圖 1-2-11DE DA B-BCABDA AED.ABT AC【解析】由平行線分線段成比例定理的推

13、論知,DA EAACT ABAD 4EC.2.如圖 1-2-12 ,已知 DB= 5，DE/ BC 則出于（）9一5 5一9 A C4一5D-BA- DCB0D圖 1-2-125一4 4一9B 6小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學AB 9一=-DB 5DB 5ABT 9.DB ECABT ACEC 5Act 9.如圖1-2-13所示，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一顆樹,在北岸邊每隔50米有一根電線桿.小麗站在離南岸邊15米的點P處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰 的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為米.北岸X /南岸t P圖

14、 1-2-13設(shè)河寬為x米,據(jù)題意152050?x+ 15解得 x= 22.5.【答案】22.5.如圖1-2-14所示，已知a/b, AF= 3,黑 3,則AE=.【導學號：07370008】BF 5 CD ECa c o圖 1-2-14【解析】a/ b,AE_AG AF_AG EcT Cd Bf= BDbc - TL= 3,CDBC= 3CD小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學，BD= 4CDAF 3又BF= 5，AG AF_ 3BeT Bf= 5，.空:3 .叫”4CD 5， CD 5 AE AG 12 ecT CDT ?,【答案】1275.如圖1-2-15 , AD平

15、分/ BAC DE/ AC EF/ BC AB= 15 cm, AF= 4 cm,求 BE和 DE的長.圖 1-2-15【解】DE/ AC3= / 2.又A計分/ BAC 1=/ 2,./ 1=/ 3,即 AE= ED. DE/ AC EF/ BC.四邊形EDCF1平行四邊形, . ED= FC,即 AE= ED= FC 設(shè) AE= DE= FC= x.4x, A AE AF 口. x由EF/ BC彳#葩無即解得 X1 = 6, X2= 10(舍去).所以 DE= 6(cm) , BE= 156=9(cm).小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學我還有這些不足:(2)我的課下

16、提升方案:(2)學業(yè)分層測評(二)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1.如圖1-2-16 ,梯形ABC珅，AD/ BC E是DC延長線上一點，AE分別交BD于G交BC于F.下列結(jié)論:*EF;黑BG祟黑前靠其中正確的個數(shù)是()CD AF AG GD AG DG CD DEA. 1C. 3【解析】 BO/ ADCD AF普器故正確. BF/ AD.提案故正確.AG GD【答案】 CE圖 1-2-16B. 2D. 42.如圖1-2-17, E是？ABCM邊AB延長線上的一點，且嗎3則第=BE 2 BF小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學圖 1-2-172B.32 D.5【解

17、析】. cd/ ar beCD FD 3EF 2又 AD/ BCBF EFAiT ED,FD 3 /口 FD+ EF 3+2由EF=1由 ef = 2，ED 5即 EF= 2AD ED 5花3BF= ef= 5.故選 C.【答案】C3.如圖1-2-18,平行四邊形 ABCDN是AB延長線上一點，則1cp靜（【導學號：07370009】圖 1-2-18B. 12 D.-31A.23C.2【解析】ABDM AD/ BM由工BN MN又.DC/ ANdmmCMNT BMdmlmnmclbmMN = BM 小學+初中+高中+努力=大學1所以小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學DBC

18、 mNT BmBC AB DN DM MNBMP BNT MNP MNT MNT1.FD1()圖 1-2-19如圖，因為D是BC的中點,1故 AF： FD= AE： DG= 2EC： EC= 4 ： 1.【答案】C5.如圖1-2-20 ,將一塊邊長為 12的正方形紙 ABCD勺頂點A,折疊至邊上的點 E,使DE= 5,折痕為PQ則線段PMF口 MQ勺比是（）B4.如圖1-2-19 , AD是ABC勺中線，E是CA&的三等分點,BE交AD于點F,貝U AF :B. 3 ： 1C. 4 ： 1D. 5 ： 1【解析】過D作DG/ AC交BE于G,圖 1-2-20【解析】 如圖，作MIN/ AD交D

19、C于點N,又. AM= MEA.2 ： 1又 AE= 2ECA.C. 5 ： 19D. 5 ： 21DN AMnE= ME5 ： 12B. 5 ： 13小學+初中+高中+努力=大學.DN=NE=：DE= 22519NG= NEH EC= + 7 =. PD/ MN/ QG5PIDN_ j_-MCT NC7 19=19-2【答案】C二、填空題. （2016 烏魯木齊）如圖 1-2-21 ,在 ABC43,點 D, E分別在 AR AC上，DE/ BC, AD=C 若 AB： AG=3 ： 2, BG= 10,則 DE的長為.圖 1-2-21【解析】 DB/ BQAD： AE= AB： AC=3

20、: 2. AD=CE.CE： AE=3 : 2.- AE： AC= 2 : 5,.DE： BC= 2 : 5. BG=10,DE： 10=2 : 5,解得DP 4.【答案】4.如圖 1-2-22 ,已知 B在 AC, D在 BE,且 AB： BC= 2 ： 1, ED： DB= 2 ： 1,則 AD：D曰.圖 1222【解析】 如圖，過D作DG/ AC交FC于G小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學DG= 2bCntDG ED 2則一 ,= 一BC EB 3一一 1 -2 八又 BC= -AC；，DG= -AC 39DF DG 2. DG/ AC-=-1= 一AF AC 92

21、 DF= -AF97-從而 AD= -AF7, .AD： DF= 7 ： 2.9.如圖1-2-23,在梯形 ABCD, AD/ BC, BD與ACf交于 O過O的直線分別交 AB,CDT E, F,且 EF/ BC 若 AD= 12, BC= 20,貝U EF=圖 1-2-23 EO BE CF FO3 EF BCAct aeT Cd= Ab. EO= FOBC=20, AD=12,EO AE AB-BE EO BE而：=.=.BC AB AB AD AB嗎1.畛1里20 AB 1 12,EO= 7.5 ,EF= 15.【答案】15三、解答題.線段OAL OB點C為OB中點，D為線段OA一點.

22、連接AC BD交于點P.如圖1-2-24 ,當OA= OB且D為OA中點時，求aPa, pcC勺值圖 1-2-24【解】 過D作DE/ CO AC于E,因為D為OA中點,-1 DE 1 所以 AE= CE= ;AG2 CO 2小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=大學DE 1因為點C為O珅點，所以BC= CQ BC 2證:所以PE DE 1 21BC2,所以pu3c9ac所以PC10.如圖2 -ACAP AC- PC 3PC PC1-2-25 , A- BD B, CDL BD于 D,連接AD,BC于點 E, EF，BDT F,求AB CD EF【導學號：07370010】圖 1

23、-2-25【證明】 ABL BD CDL BD, EF BQ.AB/ EF/ CDEF DFABTBDEF BFCDbdEF EFDF BF DF+ BF BD1.如圖 1-2-26 ,已知 ABC43, AE： E氏 1 ： 3, BD： DC= 2 ： 1,AD與CE相交于F,則+ = + = -= = 1.AB CD BD BD BD BD 111+ =.AB CD EF能力提升EF AF,Fc+ fD勺值為()1 A.-2【解析】 過點nAE 1 口.AE DG 而BE= 3,即 Be= R圖 1-2-26B. 1D. 2DG CDD作DG/ AB交EC于點G,則一左BE BC所以 AE= DG 從而有 AF= FD, EF= FG= CG小學+初中+高中+努力=大學小學+初中+高中+努力=